《高中抛物线知识点归纳总结与练习题及-修订编选》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中抛物线知识点归纳总结与练习题及-修订编选（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、抛 物 线 )0( 2 2 p pxy )0( 2 2 p pxy )0( 2 2 p pyx )0( 2 2 p pyx 定义 平面内与一个定点和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线， 点叫FlF 做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线。l =点 M 到直线 的距离 MFM l 范围 0,xyR0,xyR,0 xR y,0 xR y 对称性关于轴对称x关于轴对称y (,0) 2 p (,0) 2 p (0,) 2 p (0,) 2 p 焦点 焦点在对称轴上 顶点 (0,0)O 离心率=1e 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 准线 方程 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离
2、相等。 顶点到准 线的距离2 p 焦点到准 线的距离 p 焦半径焦半径 11 ( ,)A x y 1 2 p AFx 1 2 p AFx 1 2 p AFy 1 2 p AFy 焦 点弦 长焦 点弦 长 AB 12 ()xxp 12 ()xxp 12 ()yyp 12 ()yyp x y O l Fx y O l F l F x y O x y O l F 以为直径的圆必与准线 相切以为直径的圆必与准线 相切ABl 若的倾斜角为，则若的倾斜角为，则AB 2 2 sin p AB 若的倾斜角为，则若的倾斜角为，则AB 2 2 cos p AB 2 12 4 p x x 2 12 y yp 焦点弦
3、 的几AB 条性质 11 ( ,)A x y 22 (,)B xy 112AFBFAB AFBFAFBFAFBFp 切线 方程 00 ()y yp xx 00 ()y yp xx 00 ()x xp yy 00 ()x xp yy 一直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系 直线，抛物线， ，消 y 得： （1）当 k=0 时，直线 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；l （2）当 k0 时， 0，直线 与抛物线相交，两个不同交点；l =0， 直线 与抛物线相切，一个切点；l 0，直线 与抛物线相离，无公共点。l （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 二关于
4、直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法二关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线 ： 抛物线，lbkxy)0(p 联立方程法：联立方程法： pxy bkxy 2 2 0)(2 222 bxpkbxk 设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出),( 11 yxA),( 22 yxB0 2121 ,xxxx o o x 22 ,B xy F F y y 11 ,A x y ，bxxkbkxbkxyy2)( 212121 2 2121 2 2121 )()(bxxkbxxkbkxbkxyy 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 1. 相交弦 AB 的弦长1. 相交弦 AB
5、的弦长 21 2 21 2 21 2 4)(11xxxxkxxkAB a k 2 1 或 21 2 21 2 21 2 4)( 1 1 1 1yyyy k yy k AB a k 2 1 b. 中点中点, ， ),( 00 yxM 2 21 0 xx x 2 21 0 yy y 点差法：点差法： 设交点坐标为，代入抛物线方程，得),( 11 yxA),( 22 yxB 1 2 1 2pxy 2 2 2 2pxy 将两式相减，可得 )(2)( 212121 xxpyyyy 2121 21 2 yy p xx yy a. 在涉及斜率问题时，在涉及斜率问题时， 21 2 yy p kAB b. 在
6、涉 及 中 点 轨 迹 问 题 时在 涉 及 中 点 轨 迹 问 题 时 ， 设 线 段的 中 点 为，AB),( 00 yxM ， 002121 21 2 22 y p y p yy p xx yy 即， 0 y p kAB 同理，对于抛物线，若直线 与抛物线相交于两点，点)0(2 2 ppyxlBA、),( 00 yxM 是弦的中点，则有AB p x p x p xx kAB 0021 2 2 2 （注意能用这个公式的条件 ： 1） 直线与抛物线有两个不同的交点， 2） 直线的斜率存在， 且不等于零） 抛物线练习及答案抛物线练习及答案 1、已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上，那么点
7、P 到点 Q（2，1）的距离与点 P 到抛物线焦点距离之 和取得最小值时，点 P 的坐标为 。 （,1） 4 1 2、已知点 P 是抛物线上的一个动点，则点 P 到点（0，2）的距离与 P 到该抛物线准线的 2 2yx 距离之和的最小值为 。 17 2 3、直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分3yx 2 4yx,A B,A B 别为，则梯形的面积为 。,P QAPQB48 4、设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正OF 2 2(0)ypx pAFA x 向的夹角为，则为 。60OA 5、抛物线的焦点为，准线为 ，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部 2 4
8、yxFlF3x 分相交于点，垂足为，则的面积是 。AAKlKAKF4 3 6、 已知抛物线的焦点为， 准线与轴的交点为， 点在上且， 2 :8C yxFxKAC2AKAF 则的面积为 。AFK8 7、已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程 22 1 45 xy 为 。 8、在平面直角坐标系中，有一定点,若线段的垂直平分线过抛物线xoy(2,1)AOA 则该抛物线的方程是 。 2 2(0)ypx p 9、在平面直角坐标系中，已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且过点P(2，4)，则该抛xoyxO 物线的方程是 。 2 8yx 10、抛物线上的点到直线距离的最小值是 。
9、2 yx 4380 xy 4 3 11、已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则 y12+y22的最小 值是 。32 12、若曲线|1 与直线没有公共点，则、分别应满足的条件 2 yxykxbkb 是 。=0,-12 时， 点 P（x,0） 存在无穷多条 “相关弦”.给定 x02. （1）证明：点 P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同； （2）试问 ： 点 P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用 x0表示） ： 若不存在，请说明理由. 解: （1）设 AB 为点 P（x0,0）的任意
10、一条“相关弦”，且点 A、B 的坐标分别是（x1,y1） 、 （x2,y2） （x1 x2）,则 y21=4x1, y22=4x2,两式相减得（y1+y2） （y1-y2）=4（x1-x2）.因为 x1x2,所以 y1+y20.设直 线 AB 的斜率是 k，弦 AB 的中点是 M（xm, ym）,则 k=. 12 1212 42 m yy xxyyy 从而 AB 的垂直平分线 l 的方程为 (). 2 m mm y yyxx 又点 P（x0,0）在直线 上，所以 l 0 (). 2 m mm y yxx 而于是故点 P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是 x0-2.0, m y 0
11、2. m xx (2)由(1)知，弦 AB 所在直线的方程是，代入中，() mm yyk xx 2 4yx 整理得 （） 222 2 ()2()0. mmmm k xk ykxxykx 则是方程（）的两个实根，且 12 xx、 2 12 2 () . mm ykx xx k 设点 P 的“相关弦”AB 的弦长为 l，则 22222 121212 ()()(1)()lxxyykxx 2222 121212 2 2 2 2 2242 222222 00 (1)()44(1)() 2 () 4 4(1) 4 (4)(4)4(1) 16 4(1)2(1)4(1)2(3) . m mm m m m m
12、mmmmmmm mmmm kxxx xkxx x yx y x y y yxyyyxx xyxxyx 因为 03,则 2(x0-3) (0, 4x0-8),所以当 t=2(x0-3),即=2(x0-3)时,l 2 m y 有最大值 2(x0-1).若 2x03,则 2(x0-3)0,g(t)在区间（0，4 x0-8）上是减函数，所以 0l23 时，点 P（x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为 2（x0-1） ； 当 20)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、B 两点， 交准线于C点， 点A在x轴上方，AKl， 垂足为K， 若|BC|2|BF|， 且|AF|4， 则
13、AKF的面积是 () A4 B3 C4 D833 例 4例 4、过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C， 若|BC|2|BF|，且|AF|3 则此抛物线的方程为 ( ) Ay2xBy29x Cy2x Dy23x 3 2 9 2 三、抛物线的综合问题三、抛物线的综合问题 例 5例 5、(2011江西高考)已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为 2的直线交抛2 物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)上，M点到抛物线C的焦点F的距离 为 2，直线l：yxb与抛物线C交于A，B两点 1 2 (1)求抛物线C的方程； (2)若以AB为直径的圆与x轴
14、相切，求该圆的方程 例题答案解析例题答案解析 一、抛物线的定义及其应用一、抛物线的定义及其应用 例 1例 1、(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1. 由抛物线的定义知：点P到直线x1 的距离等于点P到焦点F的距离 于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0) 的距离之和最小显然，连结AF交曲线于P点，则所求的最小值为|AF|，即为.5 (2)如图， 自点B作BQ垂直准线于Q， 交抛物线于点P1， 则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF| |P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值为 4. 例 2例 2、解析 ： 圆心到抛物线准
15、线的距离为p，即p4，根据已 知只要|FM|4 即可根 据抛物线定|FM|y02 由y024，解得y02，故y0 的取值范围是(2，) 二、抛物线的标准方程和几何性质二、抛物线的标准方程和几何性质 例 3例 3、设点A(x1，y1)，其中y10.由点B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1.则有 |BF|BB1|； 又|CB|2|FB|，因此有|CB|2|BB1|，cosCBB1 ，CBB1 |BB1| |BC| 1 2 .即直线AB与x轴的夹角为.又|AF|AK|x1 4，因此y14sin2， 3 3 p 2 3 3 因此AKF的面积等于 |AK|y1 424. 1 2 1 2 33 例 4例 4 分别过点A、B作AA1、BB1垂直于l， 且垂足分别为A1、B1， 由已知条件|BC|2|BF| 得|BC|2|BB1|，BCB130，又|AA1|AF|3， |AC|2|AA1|6，|CF|AC|AF|633，F为线段AC的中点故点F 到准线的距离为p |AA1| ，故抛物线的方程为y23x. 1 2 3 2 三、抛物线的综合问题三、抛物线的综合问题 例 5例 5、 (1)直线AB的方程是y2(x )， 与y22px联立， 从而有 4x25pxp20，2 p 2 所以：x1x2，由抛物线定义得：|
