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1、系统的机械能守恒定律专题系统的机械能守恒定律专题 由两个或两个以上的物体所构成的系统，其机械能是否守恒，就看除了重由两个或两个以上的物体所构成的系统，其机械能是否守恒，就看除了重 力、弹力之外，系统内的各个物体所受到的各个力做功之和是否为零，为零， 则系统的机械能守恒；做正功，系统的机械能就增加，做做多少正功，系统的 机械能就增加多少；做负功，系统的机械能就减少，做多少负功，系统的机械 能就减少多少。 力、弹力之外，系统内的各个物体所受到的各个力做功之和是否为零，为零， 则系统的机械能守恒；做正功，系统的机械能就增加，做做多少正功，系统的 机械能就增加多少；做负功，系统的机械能就减少，做多少负
2、功，系统的机械 能就减少多少。 系统间的相互作用力分为三类： 1、刚体产生的弹力：比如轻绳的弹力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力等 2、弹簧产生的弹力：系统中包括有弹簧，弹簧的弹力在整个过程中做功，弹 性势能参与机械能的转换。 3、其它力做功：比如炸药爆炸产生的冲击力，摩擦力对系统对功等。 在前两种情况中，轻绳的拉力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力做功，使机械能 在相互作用的两物体间进行等量的转移，系统的机械能还是守恒的。虽然弹簧的 弹力也做功，但包括弹性势能在内的机械能也守恒。但在第三种情况下，由于其 它形式的能参与了机械能的转换，系统的机械能就不再守恒了。 归纳起来，系统的机械能守恒问题有以下四个
3、题型： （1）轻绳连体类）轻绳连体类 （2）轻杆连体类）轻杆连体类 （3）在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类。）在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类。 （4）悬点在水平面上可以自由移动的摆动类。）悬点在水平面上可以自由移动的摆动类。 （1）轻绳连体类）轻绳连体类 这一类题目，系统除重力以外的其它力对系统不做功，系统内部的相互作用 力是轻绳的拉力， 而拉力只是使系统内部的机械能在相互作用的两个物体之间进 行等量的转换， 并没有其它形式的能参与机械能的转换， 所以系统的机械能守恒。 例：如图，倾角为的光滑斜面上有一质量为 M 的物体，通过一根跨过定滑 轮的细绳与质量为m的物体相连，开始时两物 体均处
4、于静止状态，且 m 离地面的高度为 h， 求它们开始运动后 m 着地时的速度？ 分析：对 M、m 和细绳所构成的系统，受到外 界四个力的作用。它们分别是 ： M 所受的重力 Mg，m 所受的重力 mg，斜面对 M 的支持力 N，滑轮对细绳的作用力 F。 M、m 的重力做功不会改变系统的机械能，支持力 N 垂直于 M 的运动方向对系 统不做功，滑轮对细绳的作用力由于作用点没有位移也对系统不做功，所以满足 系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是细绳的拉力，拉力做功只 能使机械能在系统内部进行等量的转换也不会改变系统的机械能， 故满足系统机 械能守恒的外部条件。 在能量转化中，m 的重力势
5、能减小，动能增加，M 的重力势能和动能都增加， 用机械能的减少量等于增加量是解决为一类题的关键 可得 22 2 1 2 1 sinmvMvMghmgh mM Mmgh v )sin(2 需要提醒的是，这一类的题目往往需要利用绳连物体的速度关系来确定两个 物体的速度关系 例：如图，光滑斜面的倾角为 ，竖直的光 滑细杆到定滑轮的距离为 a，斜面上的物体 M 和穿过细杆的 m 通过跨过定滑轮 的轻绳相连，开始保持两物体静止，连接 m 的轻绳处于水平状态，放手后两物 体从静止开始运动，求 m 下降 b 时两物体的速度大小？ （2）轻杆连体类）轻杆连体类 这一类题目，系统除重力以外的其它力对系统不做功，
6、物体的重力做功不会 改变系统的机械能，系统内部的相互作用力是轻杆的弹力，而弹力只是使系统内 部的机械能在相互作用的两个物体之间进行等量的转换， 并没有其它形式的能参 与机械能的转换，所以系统的机械能守恒。 例：如图，质量均为 m 的两个小球固定在轻杆的端，轻杆可绕水平转轴在竖 直平面内自由转动，两小球到轴的距离分别为 L、 2L， 开始杆处于水平静止状态， 放手后两球开始运 动，求杆转动到竖直状态时，两球的速度大小 分析 ：分析 ： 由轻杆和两个小球所构成的系统受到外 界三个力的作用，即 A 球受到的重力、B 球受到的重力、轴对杆的作用力。 两球受到的重力做功不会改变系统的机械能， 轴对杆的作
7、用力由于作用点没有位 移而对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用 力是轻杆的弹力，弹力对 A 球做负功，对 B 球做正功，但这种做功只是使机械 能在系统内部进行等量的转换也不会改变系统的机械能， 故满足系统机械能守恒 的外部条件。 在整个机械能当中，只有 A 的重力势能减小，A 球的动能以及 B 球的动能和重力 势能都增加，我们让减少的机械能等于增加的机械能。有： 22 2 1 2 1 2 BA mvmvmgLLmg 根据同轴转动，角速度相等可知 所以： BA vv2 gLvgLv BA 5 2 5 2 2 需要强调的是，这一类的题目要根据同轴转动，角速度相等来确定
8、两球之间的速 度关系 （3）在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类。）在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类。 光滑的圆弧放在光滑的水平面上，不受任何水平外力的作用，物体在光滑的圆 弧上滑动，这一类的题目，也符合系统机械能守恒的外部条件和内部条件，下面 用具体的例子来说明 例： 四分之一圆弧轨道的半径为 R， 质量为 M，放 在光滑的水平地面上，一质量 为m的球（不计体积）从光滑圆弧轨道的顶端从静 止滑下，求小球滑离轨道时两者的速度？ 分析：分析：由圆弧和小球构成的系统受到三个力作用，分别是 M、m 受到的重 力和地面的支持力。m 的重力做正功，但不改变系统的机械能，支持力的作用点 在竖直方向上没有位
9、移， 也对系统不做功， 所以满足系统机械能守恒的外部条件， 系统内部的相互作用力是圆弧和球之间的弹力， 弹力对 m 做负功， 对 M 做正功， 但这种做功只是使机械能在系统内部进行等量的转换，不会改变系统的机械能， 故满足系统机械能守恒的外部条件。 在整个机械能当中， 只有 m 的重力势能减小， m 的动能以及 M 球的动能都增加， 我们让减少的机械能等于增加的机械能。有： 22 2 1 2 1 mM mvMvmgR 根据动量守恒定律知 Mm Mvmv 0 所以： )( 2 )( 2 mMM gR Mv mMM gR mv Mm （4）悬点在水平面上可以自由移动的摆动类。）悬点在水平面上可以自
10、由移动的摆动类。 悬挂小球的细绳系在一个不受任何水平外力的物体上，当小球摆动时，物体能在 水平面内自由移动， 这一类的题目和在水平面内自由移动的光滑圆弧类形异而质 同，同样符合系统机械能守恒的外部条件和内部条件，下面用具体的例子来说明 例：质量为 M 的小车放在光滑的天轨上，长为 L 的轻绳一端系在小车上另一端拴一质量为m的金 属球，将小球拉开至轻绳处于水平状态由静止释 放。求（1）小球摆动到最低点时两者的速度？ （2）此时小球受细绳的拉力是多少？ 分析：分析：由小车和小球构成的系统受到三个力作 用，分别是小车、小球所受到的重力和天轨的支 持力。 小球的重力做正功，但重力做功不会改变系统的机械
11、能，天轨的支持力，由于作 用点在竖直方向上没有位移，也对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部 条件，系统内部的相互作用力是小车和小球之间轻绳的拉力，该拉力对小球做负 功，使小球的机械能减少，对小车做正功，使小车的机械能增加，但这种做功只 是使机械能在系统内部进行等量的转换，不会改变系统的机械能，故满足系统机 械能守恒的外部条件。 在整个机械能当中，只有小球的重力势能减小，小 球的动能以及小车的动能都增加，我们让减少的 机械能等于增加的机械能。有： 22 2 1 2 1 mM mvMvmgL 根据动量守恒定律知 Mm Mvmv 0 所以： )( 2 )( 2 mMM gL Mv mMM gL
12、 mv Mm 当小球运动到最低点时，受到竖直向上的拉力 T 和重力作用，根据向心力的公式 但要注意，公式中的 v 是 m 相对于悬点的速度，这一点是非常 L mv mgT 2 重要的 解得： L vvm mgT Mm 2 )( M mM mgT 23 巩 固 练 习巩 固 练 习 1、 如图所示，质量相等的甲、乙两小球从一光滑直角斜面的顶端同时由静止释 放，甲小球沿斜面下滑经过 a 点，乙小球竖直下落经过 b 点，a、b 两点在同一水平面上，不计空气阻力，下列说 法中正确的是() A甲小球在 a 点的速率等于乙小球在 b 点的速率 B甲小球到达 a 点的时间等于乙小球到达 b 点的时间 C甲小
13、球在 a 点的机械能等于乙小球在 b 点的机械能(相对同一个零势能参 考面) D甲小球在 a 点时重力的功率等于乙小球在 b 点时重力的功率 解析：由机械能守恒得两小球到达 a、b 两处的速度大小相等，A、C 正确； 设斜面的倾角为 ，甲小球在斜面上运动的加速度为 agsin ，乙小球下落 的加速度为 ag，由 t 可知 t甲t乙，B 错误；甲小球在 a 点时重力的功 v a 率 P甲mgvsin ，乙小球在 b 点时重力的功率 P乙mgv，D 错误 答案：AC 2 图 5316 一根质量为M的链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半挂在桌边，如图53 16(a)所示将链条由静止释放，链条刚离开桌
14、面时的速度为 v1.若在链条两端 各系一个质量均为 m 的小球， 把链条一半和一个小球放在光滑的水平桌面上， 另一半和另一个小球挂在桌边，如图 5316(b)所示再次将链条由静止释 放，链条刚离开桌面时的速度为 v2，下列判断中正确的是() A若 M2m，则 v1v2 B若 M2m，则 v1v2 C若 M2m，则 v1v2 D不论 M 和 m 大小关系如何，均有 v1v2 答案：D 3. 图 5317 在奥运比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项质量为 m 的跳水运动员 进入水中后受到水的阻力而做减速运动，设水对他的阻力大小恒为 F，那么 在他减速下降高度为 h 的过程中，下列说法正确的是(g
15、 为当地的重力加速 度)() A他的动能减少了 Fh B他的重力势能增加了 mgh C他的机械能减少了(Fmg)h D他的机械能减少了 Fh 解析：由动能定理，EkmghFh，动能减少了 Fhmgh，A 选项不正确； 他的重力势能减少了 mgh，B 选项错误；他的机械能减少了 EFh，C 选项 错误，D 选项正确 答案：D 4 图 5318 如图 5318 所示，静止放在水平桌面上的纸带，其上有一质量为 m0.1 kg 的铁块，它与纸带右端的距离为 L0.5 m，铁块与纸带间、纸带与桌面间 动摩擦因数均为 0.1.现用力 F 水平向左将纸带从铁块下抽出， 当纸带全部 抽出时铁块恰好到达桌面边缘
16、， 铁块抛出后落地点离抛出点的水平距离为 s 0.8 m已知 g10 m/s2，桌面高度为 H0.8 m，不计纸带质量，不计铁块大 小，铁块不滚动求： (1)铁块抛出时速度大小；(2)纸带从铁块下抽出所用时间 t1；(3)纸带抽出过程 产生的内能 E. 解析 ： (1)水平方向 ： svt 竖直方向 ： H gt2 由联立解得 ： v2 1 2 m/s. (2)设铁块的加速度为 a1，由牛顿第二定律，得 mgma1 纸带抽出时， 铁块的速度 va1t1 联立解得 t12 s. (3)铁块的位移 s1 a1t 设纸带的位移为 s2；由 1 2 2 1 题意知，s2s1L 由功能关系可得 Emgs2mg(s2s1) 由联立解得 E0.3 J. 答案：(1)2 m/s(2)2 s(3)0.3 J 5. 图 5319 如图 5319 所示为某同学设计的节能运输系统斜面轨道的
