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1、 1 / 9 一、填空题：（每空格 2 分，共 16 分） 1、线性规划的解有唯一最优解、无穷多最优解、 无界解 和无可行解 四种。 2、在求运费最少的调度运输问题中，如果某一非基变量的检验数为 4，则说明 如果在该空格中增加一个运量运费将增加 4 。 3、 “如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题一定存在可行解” ，这句 话对还是错？ 错 4、如果某一整数规划： MaxZ=X1+X2 X1+9/14X251/14 -2X1+X21/3 X1,X20 且均为整数 所对应的线性规划（松弛问题）的最优解为 X1=3/2，X2=10/3，MaxZ=6/29，我 们现在要对 X1进行分枝，应该分
2、为 X11 和 X12 。 5、在用逆向解法求动态规划时，fk(sk)的含义是 ： 从第 k 个阶段到第 n 个阶段 的最优解 。 6. 假设某线性规划的可行解的集合为 D，而其所对应的整数规划的可行解集合为 B，那么 D 和 B 的关系为 D 包含 B 7. 已知下表是制订生产计划问题的一张 LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条 件均为“”型不等式）其中 X3,X4,X5 为松驰变量。 XBbX1X2X3X4X5 X4300-213 X14/310-1/302/3 X210100-1 Cj-Zj00-50-23 问：（1）写出 B-1= 100 3/2 0 . 3/1 312 (2)对偶问
3、题的最优解： Y（5，0，23，0，0）T 8. 线性规划问题如果有无穷多最优解， 则单纯形计算表的终表中必然有_某一 个非基变量的检验数为 0_； 9. 极大化的线性规划问题为无界解时，则对偶问题_无解_； 10. 若整数规划的松驰问题的最优解不符合整数要求，假设 Xi=bi不符合整数要 求，INT（bi）是不超过 bi的最大整数，则构造两个约束条件 ： XiINT（bi）1 和 XiINT（bi） ，分别将其并入上述松驰问题中，形成两个分支， 即两个后继问题。 2 / 9 11. 知下表是制订生产计划问题的一张 LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条 件均为“”型不等式）其中 X4,X5,
4、X6 为松驰变量。 XBbX1X2X3X4X5X6 X12110201 X32/3001104 X510-20116 Cj-Zj000-40-9 问：(1)对偶问题的最优解： Y(4,0,9,0,0,0)T （2）写出 B-1= 611 401 102 二、计算题（60 分） 1、已知线性规划（20 分） MaxZ=3X1+4X2 X1+X25 2X1+4X212 3X1+2X28 X1,X20 其最优解为： 基变量X1X2X3X4X5 X33/2001-1/8-1/4 X25/20103/8-1/4 X11100-1/41/2 j000-3/4-1/2 1）写出该线性规划的对偶问题。 2）若
5、 C2从 4 变成 5，最优解是否会发生改变，为什么？ 3）若 b2的量从 12 上升到 15，最优解是否会发生变化，为什么？ 4）如果增加一种产品 X6，其 P6=(2,3,1)T，C6=4 该产品是否应该投产？为什么？ 解： 1)对偶问题为 Minw=5y1+12y2+8y3 y1+2y2+3y33 y1+4y2+2y34 y1,y20 2)当 C2从 4 变成 5 时， 4=-9/8 5=-1/4 3 / 9 由于非基变量的检验数仍然都是小于 0 的，所以最优解不变。 3）当若 b2的量从 12 上升到 15 X9/8 29/8 1/4 由于基变量的值仍然都是大于 0 的，所以最优解的基
6、变量不会发生变化。 4）如果增加一种新的产品，则 P6=(11/8,7/8，1/4)T 6=3/80 所以对最优解有影响,该种产品应该生产 2、已知运输问题的调运和运价表如下，求最优调运方案和最小总费用。 （共 15 分） 。 销地 产地 B1B2B3产量 A159215 A231711 A362820 销量181216 解：初始解为 计算检验数 由于存在非基变量的检验数小于 0，所以不是最优解，需调整 调整为： B1B2B3产量/t A11515 A21111 A3181120 销量/t181216 B1B2B3产量/t A1513015 A220011 A300020 销量/t181216
7、 B1B2B3产量/t A11515 A21111 A3712120 销量/t181216 4 / 9 重新计算检验数 所有的检验数都大于等于 0，所以得到最优解 3、某公司要把 4 个有关能源工程项目承包给 4 个互不相关的外商投标者，规定 每个承包商只能且必须承包一个项目， 试在总费用最小的条件下确定各个项目的 承包者，总费用为多少？各承包商对工程的报价如表 2 所示： （15 分） 项目 投标者 ABCD 甲15182124 乙19232218 丙26171619 丁19212317 答最优解为： X= 0 1 0 0 X= 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
8、 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 总费用为 50 4. 考虑如下线性规划问题（24 分） Max z=-5x1+5x2+13x3 s.t. -x1+x2+3x320 12x1+4x2+10 x390 x1，x2， x30 回答以下问题： 1）求最优解 2）求对偶问题的最优解 3）当 b1由 20 变为 45，最优解是否发生变化。 4）求新解增加一个变量 x6，c6=10，a16=3，a26=5，对最优解是否有影响 5）c2有 5 变为 6，是否影响最优解。 答：最优解为 1) Cj-551300 CBXBbX1X2X3X4X5 0X420-1131020/3 0X5901241
9、0019 Cj-Zj-551300 B1B2B3产量/t A1513015 A202211 A300020 销量/t181216 5 / 9 13X320/3-1/31/311/3020 0X570/346/322/30-10/3170/22 Cj-Zj-2/32/30-13/30 13X3185/33-34/33012/11-1/22 5X235/1123/1110-5/113/22 -68/3300-1/11-1/11 最优解为 X1=185/33, X3=35/11 2)对偶问题最优解为 Y（1/22,1/11,68/33,0,0）T 3) 当 b1=45 时 X= 45/11 -11/
10、90 由于 X2的值小于 0，所以最优解将发生变化 4）P6=(3/11,-3/4)T 6=217/200 所以对最优解有影响。 5）当 C2=6 1=-137/33 4=4/11 5=-17/22 由于4大于 0 所以对最优解有影响 5. 求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集)，每弧旁的数字是（cij , fij ） 。 （15 分） V1 (5,0) (3,3) (3,3) VS （4,1） V2 (4,0) (9,3) (8,4) V3 Vt (6,0) 最大流为：14 V1 (5,3) (3,3) (3,0) V2 Vs (4,4) (4,1) (9,7) (8,8) Vt V3
11、(6,6) 6 / 9 6. 考虑如下线性规划问题（20 分） Max z=3x1+x2+4x3 s.t. 6x1+3x2+5x39 3x1+4x2+5x38 x1，x2， x30 回答以下问题： 1）求最优解； 2）直接写出上述问题的对偶问题及其最优解； 3）若问题中 x2列的系数变为（3，2）T，问最优解是否有变化； 4）c2由 1 变为 2，是否影响最优解，如有影响，将新的解求出。 Cj31400 CBXBbX1X2X3X4X5 0X4963510 0X5834501 Cj-Zj31400 0X413-101-1 4X38/53/54/5101/5 Cj-Zj3/5-11/500-4/5
12、 3X1 1/31-1/301/3-1/3 4X37/5011-1/52/5 Cj-Zj0-20-1/5-3/5 最优解为 X1=1/3,X3=7/5,Z=33/5 2)对偶问题为 Minw=9y1+8y2 6y1+3y23 3y1+4y21 5y1+5y24 y1,y20 对偶问题最优解为 y1=1/5,y2=3/5 3) 若问题中 x2列的系数变为（3，2）T 则 P2=(1/3,1/5)T 2=-4/50 所以对最优解没有影响 4）c2由 1 变为 2 2=-10 所以对最优解没有影响 7. 求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集)，每弧旁的数字是（cij , fij ） 。 （10
13、分） V1 (4,4 ) V3 (9,5) (6,3) VS (3,1) (3,0) (4,1) Vt 7 / 9 (5,3) (7,5) V2 (5,4) V4 解： V1 (4,4) V3 (9,7) (6,4) (3,2) (4,0) Vs Vt (5,4) (7,7) V2 (5,5) V4 最大流11 8. 某厂、三种产品分别经过 A、B、C 三种设备加工。已知生产单位各种产品 所需的设备台时，设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见表： 某厂、三种产品分别经过 A、B、C 三种设备加工。已知生产单位各种产品 所需的设备台时，设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见表： 设备能力(台
14、.h) A B C 1 1 1 10 4 5 2 2 6 100 600 300 单位产品利润(元)10 6 4 1)建立线性规划模型，求获利最大的产品生产计划。(15 分) 2)产品每件的利润到多大时才值得安排生产？如产品每件利润增加到 50/6 元，求 最优计划的变化。(4 分) 3)产品的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变。(2 分) 4)设备 A 的能力在什么范围内变化时，最优基变量不变。(3 分) 5)如有一种新产品，加工一件需设备 A、B、C 的台时各为 1、4、3h，预期每件为 8 元， 是否值得生产。(3 分) 6)如合同规定该厂至少生产 10 件产品，试确定最优计划的变化。(3 分) 解：1）建立线性规划模型为： MaxZ=10 x1+6x2+4x3 x1+x2+x3100 8 / 9 10 x1+4x2+5x3
