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1、初中数学 竞贤老师专属讲义 n n 第 1 页 共 13 页 线段的垂直平分线与角平分线线段的垂直平分线与角平分线 【知识框架】【知识框架】 1、1、线段垂直平分线的性质 （1） 垂直平分线性质定理：垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 相等. 定理的数学表示：如图 1， CDAB，且 ADBD ACBC. 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线的判定定理：2、线段垂直平分线的判定定理： 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图 2， ACBC 点 C 在
2、线段 AB 的垂直平分线 m 上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于线段垂直平分线性质定理的推论3、关于线段垂直平分线性质定理的推论 （1）关于三角形三边垂直平分线的性质： 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相 等. 性质的作用：证明三角形内的线段相等. （2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系： 若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点； m 图图1 1 DAB C m 图图2 2 DAB C j i k 图图3 3 O BC A 初中数学 竞贤老
3、师专属讲义 n n 第 2 页 共 13 页 若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。 4、角平分线的性质定理：4、角平分线的性质定理： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离 相等. 定理的数学表示：如图 4， OE是AOB的平分线，F是OE上一点，且CFOA于点C， DF OB 于点 D， CFDF. 定理的作用：证明两条线段相等；用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理：5、角平分线性质定理的逆定理： 角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
4、 定理的数学表示：如图 5， 点 P 在AOB 的内部，且 PCOA 于 C， PDOB 于 D， 且 PCPD， 点 P 在AOB 的平分线上. 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角 平分线 注意角平分线的性质定理与判定定理的区别和联系. 6、关于三角形三条角平分线的定理：6、关于三角形三条角平分线的定理： （1）关于三角形三条角平分线交点的定理： 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相 等. 定理的数学表示：如图 6，如果 AP、BQ、CR 分别是ABC 的内角BAC、 ABC、ACB 的平分 线，那么： 图图5 5 C D OA B P 图图6 6 E
5、 F D I P R Q BC A 图图4 4C D OA B F E 初中数学 竞贤老师专属讲义 n n 第 3 页 共 13 页 AP、BQ、CR 相交于一点 I； 若 ID、IE、IF 分别垂直于 BC、CA、AB 于点 D、E、F，则 DIEIFI. 定理的作用：用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆 心）. 7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图： （1）会作已知线段的垂直平分线；
6、（2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形. 初中数学 竞贤老师专属讲义 n n 第 4 页 共 13 页 【典型例题】【典型例题】 例 1、例 1、如图 1，在ABC 中，BC8cm，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，BCE 的周长 等于 18cm，则 AC 的长等于（） A6cm B8cmC10cm D12cm 【跟踪练】【跟踪练】 （1）如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E， 如果EBC 的周长是 24cm，那么 BC=_; （2）如图，AB=AC=14cm,AB 的
7、垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E， 如果 BC=8cm，那么EBC 的周长是_; （3）如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E， 如果A=28 度，那么EBC=_. 例 2、例 2、已知： AB=AC，DB=DC，E 是 AD 上一点，求证：BE=CE. 初中数学 竞贤老师专属讲义 n n 第 5 页 共 13 页 图图8 8B BC CD D A A 【跟踪练】【跟踪练】 已知：在ABC 中，ON 是 AB 的垂直平分线,OA=OC.求证：点 O 在 BC 的垂直平分线. 例 3、例 3、在ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线与边 A
8、C 所在的直线相交所成锐角为 50，ABC 的底角 B 的大小为_。 【跟踪练】【跟踪练】 在ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 40，则底角 B 的大小为 _。 例 4、如图 8，已知 AD 是ABC 的 BC 边上的高，且C2B，求证：BDACCD. C 初中数学 竞贤老师专属讲义 n n 第 6 页 共 13 页 A P B F E C 例 5、例 5、已知：如图，点 B、C 在A 的两边上，且 AB=AC，P 为A 内一点，PB=PC，PEAB，PFAC， 垂足分别是 E、F。求证：PE=PF 【跟踪练】【跟踪练】 已知： PA、PC 分别是A
9、BC 外角MAC 和NCA 平分线，它们交于 P，PDBM 于 D，PFBN 于 F，求 证：BP 为MBN 的平分线。 初中数学 竞贤老师专属讲义 n n 第 7 页 共 13 页 例 6例 6、 如图 10， 已知在直角梯形 ABCD 中， ABCD， ABBC， E 为 BC 中点， 连接 AE、 DE， DE 平分ADC， 求证：AE 平分BAD. 【跟踪练】【跟踪练】 如图所示，AB=AC，BD=CD，DEAB 于 E，DFAC 于 F，求证：DE=DF。 初中数学 竞贤老师专属讲义 n n 第 8 页 共 13 页 例 7、如图 11，已知在四边形 ABCD 中，对角线 BD 平分
10、ABC，且BAD 与BCD 互补， 求证：ADCD. 【课堂练】【课堂练】 1.如图，AC=AD，BC=BD，则（ ） A. CD 垂直平分 AD B. AB 垂直平分 CD C. CD 平分ACB D. 以上结论均不对 2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（ ） A.直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 初中数学 竞贤老师专属讲义 n n 第 9 页 共 13 页 图图7 7 E D D A A C CB B 3. ABC 中，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，如果 AC=5 cm，BC=4cm，那么DBC 的周长是（ ） A.6 cmB
11、.7 cmC.8 cmD.9 cm 4. 如图所示，AB/CD，O 为A、C 的平分线的交点，OEAC 于 E， 且 OE=2，则 AB 与 CD 之间的距离等于_。 5. 已知，如图，在ABC中，AB=AC，O是ABC内一点，且OB=OC， 求证：AOBC. 6. 如图 7，在ABC 中，AC23，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，ACE 的周长为 50， 求 BC 边的长. 初中数学 竞贤老师专属讲义 n n 第 10 页 共 13 页 7. 已知：如图所示，ACB，ADB 都是直角，且 AC=AD，P 是 AB 上任意一 点，求证：CP=DP. 8. 如图，ADD
12、C，BCDC，E 是 DC 上一点，AE 平分DAB (1)如果 BE 平分ABC，求证：点 E 是 DC 的中点； (2)如果 E 是 DC 的中点，求证：BE 平分ABC 9. 如图，在ABC 中，AB=BC=AC，ADBC 于 D，E、F 分别为 AB、AC 中点求证：DA 平分EDF C A B D P 初中数学 竞贤老师专属讲义 n n 第 11 页 共 13 页 10. 如图，在直线 MN 上找一点 P，使点 P 到直线 AB 和射线 OC 的距离相等 初中数学 竞贤老师专属讲义 n n 第 12 页 共 13 页 【课后作业】【课后作业】 1.下列命题中正确的命题有（ ） 线段垂
13、直平分线上任一点到线段两端距离相等； 线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；经过线段中点的直线只有一条； 点 P 在线段 AB 外且 PA=PB，过 P 作直线 MN，则 MN 是线段 AB 的垂直平分线； 过线段上任一点可以作这条线段的中垂线. A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 2. ABC中， AB=AC， AC的中垂线交AB于E， EBC的周长为20cm， AB=2BC， 则腰长为_。 3. 如图所示，直线表示三条互相交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公lll 123 ， ， 路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A. 一处B. 二处C. 三处D. 四处 4.如图，在ABC中，AB=AC，A=120，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N. 求证 ：CM=2BM. 5. 如右图，已知BEAC于E，CFAB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分BAC. 初中数学 竞贤老师专属讲义 n n 第 13 页 共 13 页 6. 如图，ABC 中，ABC=1000，ACB 的平分线交 AB 于 E，在 AC 上取一点 D，使CBD=200，连结 DE求CED 的度数
