环形行程问题--修订编选

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1、“华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 1 页 环形行程问题环形行程问题 例 1.甲、乙两人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。这条公路长 3000 米， 甲骑一圈需要 10 分钟。如果第一次相遇时甲骑了 1800 米，求： （1）乙骑一圈需要多少分钟？ （2）再过多久他们第二次相遇？ 图示： 答疑编号 0518420101 【答案】15 分钟，6 分钟。 【解答】（1）甲骑行的速度：300010300（米/分） 相遇时间：18003006（分钟） 相遇时乙骑行的距离：300018001200（米）， 乙骑行的速度： 120061200（米/分）， 乙骑一圈的时间： 30002

2、0015（分钟）； （2）将每次相遇看成路程为 3000 米的相遇问题， 3000（300200）6（分钟）。 因此每次相遇所需的时间是相同的，都是 6 分钟。 例 2.将例 1 中的条件改为两人从环形公路上同一地点同时出发，同向而行，那么甲第一次追上 乙时需要多少分钟？ 图示： 答疑编号 0518420102 【答案】30 分钟。 【解答】 当甲追上乙时， 甲比乙多走的路程恰好等于环形公路一圈的长度， 利用追及问题的方法， 可以得到追及时间是 3000（300200）30（分钟） 进一步思考：再过多久甲第二次追上乙？ 出发 100 分钟后，甲已经追上乙多少次？ 总结：在环形公路（或跑道）上，

3、当两人背向而行时，相当于相遇问题 相遇时间周长速度和； 当两人同向而行时，相当于追及问题 追及时间周长速度差 请你思考：运用这些公式的前提条件是什么？ 例 3.在 800 米长的环形跑道上，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，同向而行。8 分钟后， 甲第一次追上乙，又经过 20 分钟后甲第二次追上乙。已知甲的速度是每秒 3 米，那么A、B两地之 间的跑道有多少米？ “华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 2 页 图示： 答疑编号 0518420103 【答案】320 米。 【解答】甲、乙两人的速度差是：8002040（米/分钟）， 甲的速度是： 360180（米/分钟）， 乙的速度是： 1

4、8040140（米/分钟）， 第一次追及的路程是： （180140）8320（米）， 这也就是A、B两地之间的跑道长度。 注：从解法中可见，重要的是两人的速度差，因此解法可以简化为 800208320 米。 例 4.甲、乙和丙三只蚂蚁爬行的速度之比是 8： 6： 5，它们沿一个圆圈从同一点同时同向爬行， 当它们首次同时回到出发点时， 就结束爬行。 问蚂蚁甲追上蚂蚁乙一共多少次？（包括结束时刻）。 分析：这是一个正比关系，因为蚂蚁运动时间相同，所以所行的路程比与其速度比成正比，圈 数比与速度比成正比。 答疑编号 0518420104 【答案】2 次。 【解答】甲、乙、丙三只蚂蚁的速度之比为 8：

5、6：5， 所以，当它们首次同时回到出发点时，它们所爬行的圈数比也为 8：6：5。 因此，甲运动 8 圈，乙运动 6 圈，蚂蚁甲比蚂蚁乙每多运动 1 圈， 就追上蚂蚁乙 1 次，所以，甲一共追上乙 2 次。 例 5.在一次汽车耐力赛中， 甲、 乙两车从A点同时出发， 绕着周长为 3000 米的跑道逆时针行驶。 甲、乙两车的速度分别是每小时 90 千米和每小时 117 千米，但是由于雨后跑道泥泞的原因，两车在 每圈最后 400 米（从B到A）的速度都是每小时 72 千米。那么乙车在出发后第 5 次追上甲车的地点 距离A有多少米？（结果用假分数表示） 图示： 答疑编号 0518420105 【答案】

6、米。 【解答】甲跑一圈的时间为 124 秒，乙跑一圈的时间为 100 秒。 2500 秒时，甲跑了 20 圈多 20 秒，乙跑了 25 圈，说明乙已经追上甲 4 次， 并且此时两车的距离为 500 米。 “华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 3 页 乙下一次追上甲需要秒， 离A有米或者说是米。 例 6.有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙 相背而行.甲每分钟走 40 米，乙每分钟走 38 米，丙每分钟走 36 米.出发后，甲和乙相遇后 3 分钟和 丙相遇.这花圃的周长是多少米？ 答疑编号 0518420106 【答案】8892 米。 【解答】由已

7、知可知，甲先与乙相遇.在甲乙相遇这段时间里， 乙丙所行的路程差正是甲丙在 3 分钟内相向而行的路程之和： （米）. 从出发到甲乙相遇所用时间为：（分钟）. 所以，花圃的周长为（4038）1148892（米）. 例 7.在一个圆形跑道上，甲、乙、丙三人同时从同一点出发，其中甲按逆时针方向前进，乙和 丙按顺时针方向前进.甲首先和乙相遇，4 分钟后甲和丙相遇.当甲和乙第二次相遇时，乙转身以原 来速度逆时针前进，10 分钟后乙与丙相遇.已知甲每分钟走 80 米，丙每分钟走 40 米. （1）求乙每分钟走多少米？ （2）这个跑道的周长是多少米？ 答疑编号 0518420107 【答案】56 米/分钟，4

8、080 米。 【解答】甲乙相遇时，甲丙之间的距离为（8040）4480 米 第二次甲乙相遇时，他们与丙之间的距离为 4802960 米 乙的速度：960104056 米/分钟 甲乙相遇所需时间：480（5640）30 分钟 跑道周长：（8056）304080 米。 例 1.如图，在正六边形的跑道上，甲乙二人分别从A、D同时出发，各自以固定不变的速度逆 时针方向跑步.只有当两人在同一条边上时， 他们才能相互看到对方.出发 256 秒后， 甲第二次跑到C， 此时他第一次看到了乙.他立刻返身继续按原来的速度跑， 又过了 88 秒， 甲再次看到了乙.那么乙跑 完一圈需要秒. 答疑编号 05184202

9、01 “华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 4 页 【答案】258 秒 【解答】甲在每一条边上需要跑的时间是：256832（秒）， 因为 32288323，所以第二次看到乙时，甲跑到了AF边上， 经过分析可知此时乙恰好跑到了F点， 因此乙在每一条边上需要跑的时间是（25688）843 秒。 那么乙跑完一圈需要 436258 秒。 备注：大家可以做一做第九届华杯赛全国总决赛的行程问题。 例 2.如图，甲乙两人沿着长方形跑道ABCD以逆时针方向练习跑步，在跑道每条边的三等分点 处各有一个写着数字的标志牌.甲从A出发， 始终以每秒 5.4 米的速度前进， 乙从B同时出发， 在BC、 CD、DA

10、三条边上以不同的速度前进（但是在同一条边内速度不变）.当甲到达B、C、D时，发现乙 正跑到 4 号、6 号和 7 号标志牌处，并且最终两个人同时到达A点，那么乙从B出发时的速度是每 秒米. 答疑编号 0518420202 【答案】4.5 米。 【解答】当甲从D跑回A时，乙同时从 7 号标志牌跑到A，两人的路程之比是 3:2，而所用时间 相同，可得乙在DA边上的速度是米/秒。 记当乙跑到点D时，甲的位置是E。考察乙从D到 7 号标志牌和从 7 号标志牌到 A 这两段路程， 乙的速度没有变化，因此这两段的时间比就是路程比，即 1:2。 而在此期间， 甲相应的从E跑到D， 和从D跑到A， 速度也没有

11、变化， 因此这两段的路程比也是1:2， 即。 记当乙跑到点C时，甲的位置是F。考察乙从B到 4 号标志牌和从 4 号标志牌到C这两段路程， 乙的速度没有变化，因此这两段的时间比就是路程比，即 2:1。 而在此期间， 甲相应的从A跑到B， 和从B跑到F， 速度也没有变化， 因此这两段的路程比也是2:1， 即。 考察乙从C到 6 号标志牌和从 6 号标志牌到D这两段路程，乙的速度没有变化，因此这两段的 时间比就是路程比，即 2:1。 而在此期间， 甲相应的从F跑到C， 和从C跑到E， 速度也没有变化， 因此这两段的路程比也是2:1， 即。 那么，即，由此得到。 “华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲

12、座 第 5 页 当甲从A到B时， 乙从B到 4 号标志牌， 路程比是， 这也就是这一阶段的速度比。 因此乙从B出发时的速度是每秒米。 例 3.如图 1，A、B两地位于圆形公路一条直径的两个端点.一天上午 8 点甲从A出发，沿顺时 针方向步行，同时乙从B出发，骑自行车沿逆时针方向行进.8 点 40 分时乙将自行车放在路边，自 己改为步行.当甲走到自行车停放的地点时， 就骑上车继续前进.结果在 10 点的时候两人同时到达A 地.已知两人步行速度相同，都是每小时 5 千米，而甲骑车的速度是乙骑车速度的 3 倍，那么乙骑车 的时速是千米. 答疑编号 0518420203 【答案】10 千米。 【解答】

13、如图 2，假设乙在C点停靠自行车. 甲、乙二人步行的路程都是一样的，等于圆弧AC的长度.由于二人步行速度也一样，那么他们 步行的时间也相等，所以根据题意可知甲骑车从C到B再到A的时间等于乙骑车从B到C的时间. 又知道甲骑车的速度等于乙骑车速度的 3 倍，所以从C到B再到A的路程等于从B到C的路程 的 3 倍，那么从A到B的路程等于从B到C的路程的 3 倍，从A到C的路程就等于从B到C的路程 的 2 倍. 乙骑车从B到C花了 40 分钟，步行从C到A花了 80 分钟，时间比为 1:2，刚才已经得出路程 的比也是 1:1，所以乙骑车与步行的速度比为 2:1，那么乙骑车的速度是每小时 10 千米.

14、例 4.在河上有A、B两个港口相距 144 千米， 水流速度是每小时 1.2 千米， 一条货船第一天从B 港口逆流而上到达A港口， 第二天顺流而下从A港口到B港口.已知第一天比第二天多用了的时间， 那么货船在A、B港口间往返一次共用多少小时？ 答疑编号 0518420204 “华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 6 页 【答案】35 小时。 【解答】 分析：流水行船问题的关键点： 逆流速度静水船速水速 顺流速度静水船速水速 解：两天的时间比是 4:3， 于是静水船速与水速的比是 7:1。 那么静水船速是每小时 1.278.4 千米。 往返一次的时间是 144（8.41.2）144（8.4

15、1.2）35 小时。 例 5.甲、乙两船从上游A地驶向下游B地，丙船从B地驶向A地，且它们同时出发.甲、丙两 船在途中相遇 1 小时后， 丙船与乙船相遇， 这时甲船距离B地还有 10 千米 ； 第二天三艘船同时返航， 丙船与乙船的相遇地点与前一天的相遇地点相距 50 千米.如果乙船每小时行驶 25 千米， 丙船每小时 行驶 15 千米，那么水速是每小时多少千米？ 答疑编号 0518420205 【答案】3 千米。 【解答】丙船和乙船的速度和不变，相遇时间不变 相遇时间为 50（2515）5 小时 两地距离为（2515）5200 千米 甲船速度为 20041535 千米/小时 甲船顺水速度为（20010）538 千米/小时 水速为每小时 3 千米。 例 6.有甲、 乙两名选手在一条河中进行划船比赛.如图， 赛道是在河中央的长方形ABCD， 其中，AD 100 米，AB=80 米.已知水流从左到右，速度为每秒 1 米.甲、乙两名选手从A处同时出发，甲沿