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1、 1 / 99 第第 1 课时二次根式的概念课时二次根式的概念 1了解二次根式的概念；(重点) 2理解二次根式有意义的条件；(重点) 3理解(a0)是一个非负数，并会应用(a0)的非负性解决实际问题(难点)aa 一、情境导入 1小明准备了一张正方形的纸剪窗花，他算了一下，这张纸的面积是 8 平方厘米，那 么它的边长是多少？ 2已知圆的面积是 6，你能求出该圆的半径吗？ 大家在七年级已经学习过数的开方，现在让我们一起来解决这些问题吧！ 二、合作探究 探究点一：二次根式的概念 【类型一】 二次根式的识别 (2015安顺期末)下列各式：； ，其中二次 1 2 2xx2y25 3 5 根式的个数有()
2、 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解析：根据二次根式的概念可直接判断，只有满足题意故选 B. 方法总结：判断一个式子是否为二次根式，要看式子是否同时具备两个特征：含有二 次根号“” ；被开方数为非负数两者缺一不可 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 2 题 【类型二】 二次根式有意义的条件 代数式有意义，则 x 的取值范围是() x1 x1 Ax1 且 x1 Bx1 Cx1 且 x1 Dx1 解析：根据题意可知 x10 且 x10，解得 x1 且 x1.故选 A. 方法总结：(1)要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数，而不是所含字母为非 2 / 99 负数；(2)若式
3、子中含有多个二次根式，则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数；(3) 若式子中含有分母，则字母的取值必须使分母不为零 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 4 题 探究点二：利用二次根式的非负性求值 【类型一】 利用被开方数的非负性求字母的值 (1)已知 a，b 满足|b1|0，求 2ab 的值；2a8 (2)已知实数 a，b 满足 a3，求 a，b 的值b22b 解析：根据二次根式的被开方数是非负数及绝对值的意义求值即可 解：(1)由题意知得 2a8，b1，则 2ab9； 2a80， b10，) (2)由题意知解得 b2.所以 a0033. b2 0， 2b 0，) 方法总结：
4、当几个非负数的和为 0 时，这几个非负数均为 0；当题目中，同时出现 和时(即二次根式下的被开方数互为相反数)，则可得 a0. a a 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 8 题 【类型二】 与二次根式有关的最值问题 当 x_时，3 的值最小，最小值为_3x2 解析：由二次根式的非负性知0，当0 即 x 时，3 的 3x23x2 2 3 3x2 值最小，此时最小值为 3.故答案为 ，3. 2 3 方法总结：对于二次根式0(a0)，可知其有最小值 0. a 变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 8 题 三、板书设计 本节课的内容是在我们已学过的平 方根、算术平方根知识的基础
5、上，进一步引入二次根式的概念教学过程中，应鼓励学生积 3 / 99 极参与，并让学生探究和总结二次根式在实数范围内有意义的条件 第 2 课时二次根式的性质 1理解和掌握()2a(a0)和|a|；(重点)aa2 2能正确运用二次根式的性质 1 和性质 2 进行化简和计算(难点) 一、情境导入 如果正方形的面积是 3，那么它的边长是多少？若边长是，则面积是多少？3 如果正方形的面积是 a，那么它的边长是多少？若边长是，则面积是多少？你会计算a 吗？ 二、合作探究 探究点一：利用二次根式的性质进行计算 【类型一】 利用()2a(a0)计算a 计算： (1)()2; (2)()2；0.313 (3)(
6、2)2; (4)(2)2.3xy 解析 ： (1)可直接运用()2a(a0)计算， (2)(3)(4)在二次根号前有一个因数， 先利用(ab)2 a a2b2，再利用()2a(a0)进行计算 a 解：(1)()20.3；0.3 (2)()2(1)2()213；1313 (3)(2)222()212；33 (4)(2)222()24(xy)4x4y.xyxy 方法总结：形如(n)2(m0)的二次根式的化简，可先利用(ab)2a2b2，化为 n2( mm )2(m0)后再化简 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 3 题 【类型二】 利用|a|计算a2 计算： (1)；(2)；(3).2
7、2（2 3） 2 （）2 解析：利用|a|进行计算 a2 解：(1)2；22 (2)| | ；（2 3） 2 2 3 2 3 (3)|.（）2 方法总结：|a|的实质是求 a2的算术平方根，其结果一定是非负数 a2 4 / 99 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 9 题 【类型三】 利用二次根式的性质化简求值 先化简，再求值：a，其中 a2 或 3.12aa2 解析：先把二次根式化简，再代入求值，即可解答 解 ： aaa|a1|， 当 a2 时， 原式2|21|212aa2（a1）2 11；当 a3 时，原式3|31|347. 方法总结：本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是
8、先化简，再求值 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 10 题 探究点二：利用二次根式的性质进行化简 【类型一】 与数轴的综合 如图所示为 a，b 在数轴上的位置，化简 2.a2（ab）2（ab）2 解析：由 a，b 在数轴上的位置确定 a0，ab0，ab0.再根据|a|进行化简 a2 解 ： 由数轴可知2a1， 0b1， 则 ab0， ab0.原式2|a|ab|ab| 2aab(ab)2a2b. 方法总结：利用|a|化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包 a2 括两个步骤：把被开方数的底数移到绝对值符号中；根据绝对值内代数式的正负性去掉 绝对值符号 变式训练：见学练
9、优本课时练习“课堂达标训练”第 7 题 【类型二】 与三角形三边关系的综合 已知 a、b、c 是ABC 的三边长，化简.（abc）2（bca）2（cba）2 解析：根据三角形的三边关系得出 bca，bac，根据二次根式的性质得出含有 绝对值的式子，最后去绝对值符号后合并即可 解 ： a、 b、 c是ABC的三边长， bca， bac， 原式|abc|bca|c ba|abc(bca)(bac)abcbcabac3abc. 方法总结：解答本题的关键是根据三角形的三边关系(三角形中任意两边之和大于第三 边)，得出不等关系，再结合二次根式的性质进行化简 变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第
10、 9 题 三、板书设计 5 / 99 二次根式的性质是建立在二次根式概念的基础上，同时又为学习二次根式的运算打下基 础 本节教学始终以问题的形式展开， 使学生在教师设问和自己释问的过程中萌生自主学习 的动机和欲望，逐渐养成思考问题的习惯性质 1 和性质 2 容易混淆，教师在教学中应注意 引导学生辨析它们的区别，以便更好地灵活运用 第第 1 课时二次根式的乘法课时二次根式的乘法 1掌握二次根式的乘法运算法则；(重点) 2会进行二次根式的乘法运算(重点、难点) 一、情境导入 小颖家有一块长方形菜地，长m，宽m，那么这个长方形菜地的面积是多少？63 二、合作探究 探究点一：二次根式的乘法法则成立的条
11、件 式子成立的条件是()x12x（x1）（2x） Ax2 Bx1 C1x2 D1x2 解析：根据题意得解得1x2.故选 C. x1 0， 2x 0. ) 方法总结：运用二次根式的乘法法则：(a0，b0)，必须注意被开方数是 a bab 非负数这一条件 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 2 题 探究点二：二次根式的乘法 【类型一】 二次根式的乘法运算 计算： 6 / 99 (1)； 5 3 27 125 (2)9()；18 1 6 54 (3)2()；13 5 3 3 4 1 6 (4)2a()(a0，b0)8ab 2 3 6a2b3a 解析：第(1)小题直接按二次根式的乘法法则进
12、行计算，第(2)，(3)，(4)小题把二次根式 前的系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘 解：(1)原式 ； 5 3 27 125 3 5 (2)原式(9 )27； 1 6 18 54 3 2 182 33 (3)原式(2 )； 3 4 8 5 3 1 6 3 2 4 5 3 5 5 (4)原式2a16a3b. 2 3 8ab6a2b3a 方法总结 ： 二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式相乘，把系数与系数相 乘，被开方数与被开方数相乘最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 4 题 【类型二】 逆用性质 3(即，a0，b0)
13、进行化简abab 化简： (1)；(2)；196 0.25（1 9） （ 64 81） (3)(a0，b0)225a6b2 解析：利用积的算术平方根的性质，把它们化为几个二次根式的积，(2)小题中先确定 符号 解：(1)140.57；196 0.251960.25 (2) ；（1 9） （ 64 81） 1 9 64 81 1 9 64 81 1 3 8 9 8 27 (3)15a3b.225a6b2225a6b2 方法总结 ： 利用积的算术平方根的性质进行计算或化简，其实质就是把被开方数中的完 全平方数或偶次方进行开平方计算，要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符 号进行转化，如(
14、2)小题 7 / 99 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 8 题 【类型三】 二次根式的乘法的应用 小明的爸爸做了一个长为cm，宽为cm 的矩形木板，还想做一个与58848 它面积相等的圆形木板，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号) 解析：根据“矩形的面积长宽”“圆的面积半径的平方”进行计算 解：设圆的半径为 rcm. 因为矩形木板的面积为168(cm)2，58848 所以r2168，r2(r2舍去)4242 答：这个圆的半径为 2cm.42 方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想 变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 9 题
15、 三、板书设计 本节课学习了二次根式的乘法和积的算术平方根的性质， 两者是可逆的， 它们成立的条件都 是被开方数为非负数 在教学中通过情境引入激发学生的学习兴趣， 让学生自主探究二次根 式的乘法法则，鼓励学生运用法则进行二次根式的乘法运算 第第 2 课时二次根式的除法课时二次根式的除法 1会利用商的算术平方根的性质化简二次根式；(重点，难点) 2掌握二次根式的除法法则，并会运用法则进行计算；(重点、难点) 3掌握最简二次根式的概念，并会熟练运用(重点) 一、情境导入 计算下列各题，观察有什么规律？ (1)_；_ 36 49 36 49 (2)_；_ 9 16 9 16 _；_. 36 49 3
16、6 49 9 16 9 16 8 / 99 二、合作探究 探究点一：二次根式的除法 计算： (1)；(2)；(3)； 48 72 6 12 5 18 27a2b3 12ab2 (4)()(a0，b0) 1 2 a3b5 2 3 a2b6 解析：(1)直接把被开方数相除；(2)把系数与系数相除，被开方数与被开方数相除；(3) 被开方数相除时，注意约分；(4)系数相除时，把除法转化为乘法，被开方数相除时，写成 商的算术平方根的形式，再化简 解：(1)； 48 72 48 72 2 3 6 3 (2)； 6 12 5 18 6 5 12 18 6 5 2 3 2 5 6 (3)； 27a2b3 12ab2 27a2b3 12ab2 9ab 4 3 2 ab (4)() 1 2 a3b5 2 3 a2b6 ( ). 1 2 3 2 a3b5 a2b6 3 4 a b 3 4b ab 方法总结 ： 二次根式的除法运算
