《高中数学必修2第二章知识点+习题+ (2)-修订编选》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学必修2第二章知识点+习题+ (2)-修订编选（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第 1 页 共 12 页 第二章第二章 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边 形，锐角画成 450，且横边画成邻边的 2 倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母、等表示，如平面、平 面等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相 对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC、平面 ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为
2、 AL BL = L A B 公理 1 作用：判断直线是否在平面内 （2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A、B、C 三点不共线 = 有且只有一个平面， 使 A、B、C。 公理 2 作用：确定一个平面的依据。 （3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共 直线。 符号表示为：P =L，且 PL 公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；
3、 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设 a、b、c 是三条直线 ab cb 强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： a与 b所成的角的大小只由 a、 b 的相互位置来确定， 与O的选择无关， 为了简便， 点O 一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角(0， )； DC BA A L C B A P L 共面直线 =ac 2 第 2 页 共 12
4、页 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a 来表示 a a=A a 2.2.直线、平面平行的判定及其性质.2.直线、平面平行的判定及
5、其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与 此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： a b = a ab 2.2.2 平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面 平行。 符号表示： a b ab = P a b 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质直线与平面、平面与平面平行
6、的性质 1、 定理 ： 一条直线与一个平面平行， 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示： 第 3 页 共 12 页 a a ab = b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： = a ab = b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 1、定义 如果直线 L 与平面内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线 L 与平面互相垂直， 记 作 L，直线 L 叫做平面的垂线
7、，平面叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时, 它们唯一公共点 P 叫做垂足。 L p 2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学 思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B 2、二面角的记法：二面角-l-或-AB- 3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面
8、的垂线，则这两个平面垂直。一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 第 4 页 共 12 页 第二章 点、直线、平面之间的位置关系第二章 点、直线、平面之间的位置关系 A 组A 组 一、选择题一、选择题 1设 ，为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且l，m，有如下 的两个命题：若，则lm；若lm，则那么( ) A是真命题，是假命题B是假命题，是真命题 C都是真命题D都是假命
9、题 2如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( ) ABD平面CB1D1 BAC1BD CAC1平面CB1D1 D异面直线AD与CB1角为 60 3关于直线m，n与平面，有下列四个命题： m，n且， 则mn；m，n且， 则mn； m，n且， 则mn；m，n且， 则mn 其中真命题的序号是( ) ABCD 4给出下列四个命题： 垂直于同一直线的两条直线互相平行 垂直于同一平面的两个平面互相平行 若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行 若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线 其中假命题的个数是( ) A1B2C3D4 5下列命题
10、中正确的个数是( ) 若直线l上有无数个点不在平面内，则l 若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行 如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行， 那么另一条直线也与这个平面平行 若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点 (第 2 题) 第 5 页 共 12 页 A0 个B1 个C2 个D3 个 6 两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面( ) A不存在B有唯一的一个C有无数个D只有两个 7把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时， 直线BD和平面ABC所成的角的大小为( ) A90B60C45D30 8下
11、列说法中不正确的是( ) A空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B同一平面的两条垂线一定共面 C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内 D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 9给出以下四个命题： 如果一条直线和一个平面平行， 经过这条直线的一个平面和这个平面相交， 那么这条 直线和交线平行 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直 其中真命题的个数是( ) A4 B3 C2 D1 10异面直线a
12、，b所成的角 60，直线ac，则直线b与c所成的角的范围为 ( ) A 30， 90 B 60， 90 C 30， 60D 30， 120 二、填空题二、填空题 11已知三棱锥PABC的三条侧棱PA，PB，PC两两相互垂直，且三个侧面的面积分别 为S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为 12P是ABC 所在平面外一点， 过P作PO平面， 垂足是O， 连PA，PB，PC (1)若PAPBPC，则O为ABC 的 心； (2)PAPB，PAPC，PCPB，则O是ABC 的 心； (3)若点P到三边AB，BC，CA的距离相等，则O是ABC 的 心； 第 6 页 共 12 页 (4)若PAPBPC，C9
13、0，则O是AB边的 点； (5)若PAPBPC，ABAC，则点O在ABC的 线上 13如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J 分别为AF，AD，BE，DE的中点，将ABC沿DE，EF，DF折成 三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为 14直线l与平面 所成角为 30，lA，直 线m，则m与l所成角的取值范围 是 15 棱长为 1 的正四面体内有一点P， 由点P向各面引垂线， 垂线段长度分别为d1，d2，d3， d4，则d1d2d3d4的值为 16 直二面角l的棱上有一点A， 在平面， 内各有一条射线AB，AC 与l成 45，AB，AC，则BAC 三、解答题三、解答题
14、 17在四面体ABCD中，ABC与DBC都是边长为 4 的正三角形 (1)求证：BCAD； (2)若点D到平面ABC的距离等于 3， 求二面角ABC D的正弦值； (3)设二面角ABCD的大小为 ，猜想 为何 值时，四面体ABCD的体积最大(不要求证明) J (第 13 题) (第 17 题) 第 7 页 共 12 页 18 如图， 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E为D1C1的中点， 连结ED，EC， EB和DB (1)求证：平面EDB平面EBC； (2)求二面角EDBC的正切值. 19*如图，在底面是直角梯形的四棱锥ABCD中，ADBC，ABC90， SA面ABC
15、D，SAABBC，AD 2 1 (1)求四棱锥SABCD的体积； (2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值 (第 18 题) 第 8 页 共 12 页 (提示：延长 BA，CD 相交于点 E，则直线 SE 是 所求二面角的棱.) (第 19 题) 20*斜三棱柱的一个侧面的面积为 10，这个侧面与它所对棱的距离等于 6，求这个棱 柱的体积(提示：在 AA1 上取一点 P，过 P 作棱柱的截面，使 AA1 垂直于这个截面.) (第 20 题) 第 9 页 共 12 页 第二章 点、直线、平面之间的位置关系第二章 点、直线、平面之间的位置关系 参考答案参考答案 一、选择题一、选择题 1D 解析：命题有反例，如图中平面平面直线n， l，m， 且ln，mn， 则ml， 显然平面不垂直平面 ， (第 1 题) 故是假命题；命题显然也是假命题， 2D 解析：异面直线AD与CB1角为 45 3D 解析：在、的条件下，m，n的位置关系不确定 4D 解析：利用特殊图形正方体我们不难发现均不正确，故选择答案 D 5 B 解析 ： 学会用长方体模型分析问题，A1A有无数点在
