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1、第 1 页 共 8 页 北师大版数学 （八年级上册）知识点总结北师大版数学 （八年级上册）知识点总结 第一章 勾股定理第一章 勾股定理 1、勾股定理1、勾股定理 （1）直角三角形两直角边a，b 的平方和等于斜边c 的 平方，即 222 cba （2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积 法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法 （通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法 或等积法） （3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b，c 有关系， 222 cba 那么这个三角形是直角三角形。 3、 勾股数、 勾股数 ：满足
2、的三个正整数a， b， c， 222 cba 称为勾股数。 常见的勾股数常见的勾股数有：（6,8,10） （3,4,5） （5,12，,13） （9,12,15） （7,24,25） （9,40,41） 规律规律：（1） ，短直角边为奇数，另一条直角边与斜边 是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。 即当a 为奇数且ab 时， 如果b+c=a2那么a,b,c 就是 一 组 勾 股 数 .如 （ 3,4,5） （ 5,12， ,13） （ 7,24,25） （9,40,41） （2）大于2 的任意偶数，2n(n1)都可构成一组 勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如：（6,8,10）
3、（8,15,17） （10,24,26） 4、常见题型应用：、常见题型应用： （1） 已知任意两条边的长度， 求第三边/斜边上的 高线/周长/面积 （2） 已知任意一条的边长以及另外两条边长之 间的关系， 求各边的长度/斜边上的高线/周长/面积 （3）判定三角形形状： a2 +b2c2锐角，a2 +b2=c2直角，a2 +b2c2钝角 判定直角三角形a.找最长边 ； b.比较长边的 平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c. 确定形状 （4）构建直角三角形解题 例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3： 4，斜边为 10。求直角三角形的两直角边。 解：解：设两直角边为3x，4x，由题意知
4、： ()()34100916100251004 222222 xxxxxx， x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。 中考突破中考突破 （1）中考典题 例. 如图 （1） 所示， 一个梯子AB 长2.5 米， 顶端A 靠在墙AC上， 这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米， 梯子滑动后停在DE 位置上，如图（2）所示，测得得 BD=0.5 米，求梯子顶端A 下落了多少米？ A A E C B C B D （1）（2） 思维入门指导：思维入门指导：梯子顶端A 下落的距离为AE，即 求AE 的长。已知AB 和BC，根据勾股定理可求AC， 只要求出EC 即可。 解：解：在RtACB 中，A
5、C2=AB2-BC2=2.52-1.52=4， AC=2 BD=0.5，CD=2 在中，Rt ECDECEDCD 22222 252225. EC=1.5 AEACEC21505. 答：梯子顶端下滑了0.5 米。 点拨：点拨：要考虑梯子的长度不变。 例 5. 如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m， ADC=90，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。 A D C B 思维入门指导：思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形，若连结BD， 似乎不得要领，连结 ，求出即可。ACSS ABCACD 解：解：连结AC，在RtADC 中， 第 2 页 共 8 页 A D C B
6、ACCDAD 22222 129225 AC15 在ABC 中，AB2=1521 ACBC 2222 15361521 ABACBCACB 222 90， SSAC BCAD CD ABCACD 1 2 1 2 1 2 1536 1 2 12927054216 2 ()m 答：这块地的面积是216 平方米。 点拨：点拨：此题综合地应用了勾股定理和直角三角 形判定条件。 第二章 实数第二章 实数 基本知识回顾基本知识回顾 1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。 2 0 2 00 00 2 2 3 3 . . 无理数的表示 算术平方根定义如果一个非负数 的平方等于 ，即 那么这个非负数
7、就叫做 的算术平方根，记为， 算术平方根为非负数 平方根 正数的平方根有个，它们互为相反数 的平方根是 负数没有平方根 定义：如果一个数的平方等于 ，即，那么这个数就 叫做 的平方根，记为 立方根 正数的立方根是正数 负数的立方根是负数 的立方根是 定义：如果一个数 的立方等于 ，即，那么这个数 就叫做 的立方根，记为 xaxa xaa a axa aa xaxax aa 3 0 . 实数及其相关概念 概念有理数和无理数统称实数 分类 有理数 无理数或 正数 负数 绝对值、相反数、倒数的意义同有理数 实数与数轴上的点是一一对应 实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则 运算规律相同。 一、实
8、数的概念及分类一、实数的概念及分类 1、实数的分类、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无 限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小 数 负无理数 2、无理数：、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时， 要抓住 “无限不循环” 这一时之， 归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如等； 3 2,7 （2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含 有 的数，如/3+8 等； （3）有一定规律，但并不循环的数，如 0.1010010001等； （4）某些三角函数值，如sin60o等 二、实数的倒数、相反数和绝对值二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它
9、的相反数时一对数（只有符号不同的两 个数叫做互为相反数， 零的相反数是零） ， 从数轴上看， 互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称， 如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=b，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上， 一个数所对应的点与原点的距离， 叫做 该数的绝对值。 （|a|0） 。零的绝对值是它本身，也可看 第 3 页 共 8 页 成它的相反数，若|a|=a，则a0；若|a|= -a，则a0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。 倒数等于本身的数是1 和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 （画数轴时，要注意上述规定的
10、三要素缺一不可） 。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与 数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 利用非负数解题的常见类型利用非负数解题的常见类型 例1. 已知，求的值。xyxy 5302 2 | 解：解： xyxy 5030530，且| xy5030，| xy5030， xy53， xy 2 225619 点拨：点拨：利用算术平方根，绝对值非负性解题。 三、平方根、算数平方根和立方根三、平方根、算数平方根和立方根 1、 算术平方根 ： 一般地， 如果一个正数x 的平方等于a， 即 x2=a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根。特 别地，0 的算术平方根是0。 表示方法
11、：记作“” ，读作根号a。a 性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的 算术平方根是零。 2、 平方根 ： 一般地， 如果一个数x的平方等于a， 即x2=a， 那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根） 。 表示方法：正数a 的平方根记做“” ，读作“正、a 负根号a” 。 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零 的平方根是零；负数没有平方根。 开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。 注意的双重非负性：被开方数与结果均为非 a 负数。即a0， 3、立方根 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3=a 那 么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根） 。 表示方法
12、：记作 3 a 性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有 一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：，这说明三次根号内的负号可 33 aa 以移到根号外面。 四、实数大小的比较四、实数大小的比较 1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正 数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边 的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。 2、实数大小比较的几种常用方法 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的 数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a、b 是实数， ,0baba ,0baba baba0 （3）求商比较法：设a、b 是两正实数， ;1;1;1ba b a ba b a ba b
13、 a （4）绝对值比较法：设 a、b 是两负实数，则 。baba （ 5） 平 方 法 ： 设 a、 b 是 两 负 实 数 ， 则 。baba 22 （6）倒数法 ： 设a、b 是同正,如果1/a1/b，则ab; 同负，如果1/a1/b，则ab 五、算术平方根有关计算（二次根式）五、算术平方根有关计算（二次根式） 1、含有二次根号“” ；被开方数 a 必须是非 负数。 2、性质： （1）)0()( 2 aaa （2） aa 2 )0( aa 第 4 页 共 8 页 )0( aa （3） （)0, 0(babaab ）)0, 0(baabba （ 4） （)0,0(ba b a b a ）)0
14、, 0(ba b a b a 3、运算结果若含有“”形式，必须满足： a （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因 式 六、实数的运算六、实数的运算 （1）六种运算：）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方 （2）实数的运算顺序 先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果 有括号，就先算括号里面的。 （3）运算律）运算律 加法交换律 abba 加法结合律 )()(cbacba 乘法交换律 baab 乘法结合律 )()(bcacab 乘法对加法的分配律 acabcba )( 例. 计算： （ ）；12121 （ ）；23232 （ ）；323 23 （
15、）45252. 通过以上计算， 观察规律， 写出用n（n 为正整数） 表示上面规律的等式_。 解：解： 211321431541 22222 ； 规律： nnnn111 第三章 图形的平移与旋转第三章 图形的平移与旋转 一、平移一、平移 1、定义定义：在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一 定的距离，这样的图形运动称为平移。 2、要素（或条件）要素（或条件） ： 方向，即前后对应点的射线方向 ； 距离，即对应点之间的距离 3、性质性质：平移前后两个图形的形状和大小不变（即全 等图形） ，对应点连线平行（或在同一条直线上）且相 等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对 应角相等。 4、平移作图平移作图： 线段的平移作法： 作法1： 将线段两端点分别平移，然后将两个平移 后的点连成线段，即为原线段平移后的线段； 作法2：将线段一端点平移，然后过平移 后的点 作原线
