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1、第 1 页，共 18 页 高三（上）期中数学试卷 高三（上）期中数学试卷 题号一二三总分 得分 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 设集合 = |1| 2， = |1 1”是“| 1”的充分不必要条件 D. 若命题：p：“0 ，使得20+0+1 0， 0，若 2 是 2a 与 2b 的等比中项，则 1 + 1 的最小值为() A. 8B. 4C. 2D. 1 第 2 页，共 18 页 7. 若双曲线C： 2 2 2 2 = 1( 0, 0)的一条渐近线被圆(2)2+ 2= 4所截得的弦 长为 2，则 C 的离心率为( ) A. 2B. 3C. 2D. 23 3 8. 某
2、程序框图如图所示，则输出的结果 S 等于() A. 7 B. 16 C. 28 D. 43 9. 函数 = | 4的图象可能是() A. B. C. D. 10.我国古代数学名著九章算术记载 ： “刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈刍， 草也；甍，屋盖也”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条 棱刍甍字面意思为茅草屋顶”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯 形，侧视图为等腰三角形则它的体积为() 第 3 页，共 18 页 A. 160 3 B. 160C. 256 3 D. 64 11.若函数() = 1 42在(, + )上单调递增，则实数 a 的取值范围是 () A. 1
3、 2, 1 2 B. 1, 1 2 C. 1,1D. 1, 1 2 12.已知函数() = 22|1|, 2 1 3(2), 2 ，若函数() = ()有 6 个零点，则实数 a 的取值范围为() A. 9 2 27 2 B. 9 2 45 2 C. 2 9 2 D. 45 2 = 4，() () = 1，则|的最 大值为_ 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 第 4 页，共 18 页 17.已知函数() = ( + )( 0, 0,| 2)的图象的相邻两条对称轴的 距离是 2，当 = 6时取得最大值 2 (1)求函数()的解析式； (2)若函数() = () 6 5的零点为0
4、，求cos( 320) 18.已知等比数列的前 n 项和为( ),22,3,44成等差数列，且2+23+ 4= 1 16 (1)求数列的通项公式； (2)若= ( + 2)log2|，求数列 1 的前 n 项和 19.如图，在 中， = 3, = 2 3，点 D 在边 AB 上， = ， ，E 为垂足 ()若 的面积为3 3 2 ，求 CD 的长； ()若 = 33 2 ，求角 A 的大小 第 5 页，共 18 页 20.设函数() = 2 +( 2 +)(为常数) (1)当 = 1时，求曲线 = ()在点 = 1处的切线方程； (2)若函数()在(0,1)内存在唯一极值点 =0， 求实数 a
5、 的取值范围， 并判断 = 0是()在(0,1)内的极大值点还是极小值点 21.已知函数() = ( + 1)(为实数常数) (1)当 1时，() 1 2 第 6 页，共 18 页 22.在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1的极坐标方程为 = 4 ()为曲线1上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足| = 16，求点 P 的 轨迹2的直角坐标方程; ()设点 A 的极坐标为(2, 3)，点 B 在曲线2上，求 面积的最大值 23. 已知函数() = |2 + 1| + |45|的最小值为 M (1)求 M； (2)若正实数 a，b，c 满足 +
6、 + = 2，求：( + 1)2+(2)2+(3)2的最 小值 第 7 页，共 18 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】A 【解析】解： 集合 = |1| 2 = |1 3， = |1 1得 1或 1是“| 1”的充分不必要条件，故 C 正确， D.命题的否定为： ，均有2+ + 1 0，故 D 正确 第 8 页，共 18 页 故选：B A.根据逆否命题的定义进行判断 B.根据复合命题真假关系进行判断 C.根据充分条件和必要条件的定义进行判断 D.根据特称命题的否定是全称命题进行判断 本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题，复合命题真假关系，充分条件和必要条 件以及含有量词的命题的否定，
7、涉及知识点较多，综合性较强，但难度不大 5.【答案】C 【解析】解： 平面向量，满足| = 1 3| = 1， | = 1，| = 3 |2 + | = | + |， 4 +4 +2=2+2 +2， 3 +2 = 0， 设与的夹角为， 0,，则3 + 2 1 3 = 0， 求得 = 1 2， = 2 3， 故选：C 设与的夹角为，由题意求得的值，可得的值 本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题 6.【答案】C 【解析】解： 0， 0，若 2 是 2a 与 2b 的等比中项，则2 2 = 4，化为 = 1 1 + 1 2 1 1 = 2，当且仅当 = = 1时取等号 故选：C 0， 0，
8、根据 2 是 2a 与 2b 的等比中项，可得 ab 关系式，再利用基本不等式的 性质即可得出 本题考查了指数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 7.【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，直线和圆的位置关系，属于中档 题 第 9 页，共 18 页 通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可 【解答】 解：双曲线 C： 2 2 2 2 = 1( 0, 0)的一条渐近线不妨设为： = 0， 圆(2)2+ 2= 4的圆心(2,0)，半径为 2， 由双曲线C： 2 2 2 2 = 1( 0, 0)的一条渐近线被圆(2
9、)2+ 2= 4所截得的弦长为 2， 可得圆心到 = 0的距离为 =2212= 3 = |2| 2+ 2，及即 2= 32， 又2= 2+ 2= 42， 可得2= 4，即 = 2 故选 A 8.【答案】C 【解析】解：第一次执行循环体， = 2， = 7，不满足退出循环的条件， 第二次执行循环体， = 3， = 16，不满足退出循环的条件， 第三次执行循环体， = 4， = 28，满足退出循环的条件， 故选：C 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟 程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序
10、框图的运行过程，以便得出正确的 结论，是基础题 9.【答案】C 【解析】解：函数为奇函数，图象关于原点对称，排除 B， 当 = 1时， = 4= 4， 则(4,0)，(2,2)，设(,)， () () = 1， 则2+ 262 + 9 = 0， 即(3)2+(1)2= 1表示以(3,1) 为圆心，1 为半径的圆，|的表示点 A，C 的距离， 即圆上的点与(4,0)的距离，因为圆心到 A 的距离为 2，所以|的最大值为 2 +1 故答案为： 2 +1 = , = , = ，以 OA 所在的直线为 x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系， 利用向量的数量积的坐标表示整理出 x，y 的关系，结合圆
11、的性质及几何意义可求解 本题考查了向量的坐标运算，及向量模的集合意义，属于中档题 17.【答案】解：(1)由题意知，振幅 = 2， 周期 = 2 = 2 2， = 2， () = 2(2 + ) 将点( 6,2)代入得：2( 3+) = 2sin( 3+) = 1，又| 0， 因此函数()在(0,1)内单调递增 (1) = ；0+时，() 0； (0,1)时，() 0 断 =0是()在(0,1)内的极大值点 第 16 页，共 18 页 【解析】(1) = 1时，() = 2 + 2 +，(1) = + 2.利用导数运算性质可得： ()，可得(1)，利用点斜式即可得出曲线 = ()在点 = 1处
12、的切线方程 (2)() = (2)(+ ) 3 .由函数()在(0,1)内存在唯一极值点 =0，可得方程 + = 0，在(0,1)内存在唯一实数根 =0，令 = = ()， (0,1).利用导数研究其单调性即可得出 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方 法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 21.【答案】解：(1)() = ( + 1) + 1 = + 2， 令() = 0，则 = ， 1， 当 (1,)时，() 0，()单增， 当 (, + )时，() 1时，不等式 + 2 22，即2 + 2 1，则() = 2= (1) ，令() = 0，解得 =
13、 1 ， 当 0时，() 0，不符题意； 0 1时，令() 1 ，故函数()在( 1 , + )单减，令() 0， 解得1 0成立， 即 + 2 0成立，显然当 (0,1)时不恒成立； 当 1时， 1 1，() 0，函数()在(1, + )上单减，此时() = (1) = ，则需 1 2成立 【解析】(1)求导，利用导数法判断即可； (2)构造函数() = 2 + 2， 1，分三种情况判断函数的单调性和最值， 第 17 页，共 18 页 根据题意，确定 a 的范围，即可证明结论 考查了含参问题的单调性和不等式问题，用导数法解决，考查了学生综合能力，中档 题 22.【答案】解：()设 P 的极坐
14、标为(,)( 0)，M 的极坐标为(1,)(1 0)， 由题设知| = ， 由| = 16， 得2的极坐标方程 = 4( 0)， 因此2的直角坐标方程为(2)2+ 2= 4( 0)； ()设点 B 的极坐标为(,)( 0)， 由题设知| = 2，= 4， 于是 面积 = 1 2|sin = 4| sin( 3)| = 2|sin(2 3) 3 2 | 2 + 3 当 = 12时，S 取得最大值2 + 3 所以 面积的最大值为2 + 3 【解析】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，极坐标方程 的运用，属于中档题 ()设 P 的极坐标为(,)( 0)，M 的极坐标为(1,)(
15、1 0)，则| = ， ， 由| = 16， 得2的极坐标方程 = 4( 0)， 把2= 2+ 2, = cos, = sin代入即可求2的直角坐标方程； ()设点 B 的极坐标为(,)( 0)，则 面积 = 1 2|sin = 2|sin(2 3) 3 2 |，利用正弦函数的性质即可得出最大面积 23.【答案】解：(1)() = 6 + 4, 5 4 ，函数图象如图所示： 第 18 页，共 18 页 由图可知， = 7 2； (2)由(1)可知， + + = 7 ( + + )42= ( + 1) + (2) + (3)2 = ( + 1)2+ (2)2+ (3)2+ 2( + 1)(2) + 2( + 1)(3) + 2(2)(3) 3( + 1)2+(2)2+(3)2， ( + 1)2+(2)2+(3)2 3， ( + 1)2+(2)2+(3)2的最小值为 3 【解析】(1)作出分段函数的图象，数形结合即可求得函数() = |2 + 1| + |45|的 最小值为 M； (2)由 + + = 7，得( + + )42= ( + 1) + (2) + (3)2，把等式右侧 展开平方，然后利用基本不等式求最值 本题考查分段函数最值的求法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题
