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1、离散型随机变量的均值第一课时,问题：某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？,把环数看成随机变量的概率分布列：,权数,加权平均,一般地,若离散型随机变量X的概率分布为,则称 为随机变量X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望.,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.,离散型随机变量的均值,随机变量的均值与样本均值的区别与联系？,随机变量的均值是常数，而样本的平均值随 着样本的不同而变化，因而样本的平均值是 随机变量； 对于简单随机样本，随着样本容量的增加， 样本的平均值越来越接近总体的平均值，因 此，我们常用样本的平均值来估计总体的平 均
2、值。,例题1,随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数X的期望.,解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6,其分布列为,所以随机变量X的均值为E(X)=1 1/6+2 1/6 +31/6+4 1/6+5 1/6+6 1/6=3.5,变式：将所得点数的2倍加1作为得分数， 即Y=2X+1，试求Y的期望？,例题1,随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子 的点数X的期望,解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6,其分布列为,所以随机变量Y的均值为 E(Y) =3 1/6+5 1/6 +71/6+9 1/6+11 1/6+13 1/6=8,解：设离散型随机变量X的概率分布为,所以Y的分布列为,线
3、性 性 质,离散型随机变量均值的线性性质,1、随机变量的分布列是,(1)则E= .,2、随机变量的分布列是,2.4,(2)若=2+1，则E= .,5.8,E=7.5,则a= b= .,0.4,0.1,3、E(-E)的值是_,0,解:X的分布列为,所以 E(X)0P(X0)1P(X1),00.1510.850.85,例题2,篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球1次的得分 X 的均值？,解:X的分布列为,所以 E(X)0P(X0)1P(X1),00.1510.850.85,例题2,P,1-P,P,1-P,P,篮球运动员在比赛中每次罚球命中
4、得1分，罚不中得0分已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球1次的得分X的均值？,例题2,变式：若姚明在某次比赛中罚球n次， 求他罚球的得分X的均值？,若XB(1，0.85), 则E(X)=0.85,若XB(n，0.85), 则E(X)=?,你能猜想出 结果吗?,篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球1次的得分X的均值？,求证： 若XB(n，p)， 则E(X)= np,E(X) =0Cn0p0qn+ 1Cn1p1qn-1+ 2Cn2p2qn-2 + + kCnkpkqn-k+ nCnnpnq0,P(X=k)= Cnkpkqn-k,
5、证明：,=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ + Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) + Cn-1n-1pn-1q0),( k Cnk =n Cn-1k-1),= np(p+q)n-1=np,离散型随机变量均值的性质,(1)线性性质,若XB(n，p)， 则E(X)= np,(2)两点分布的均值,(3)二项分布的均值,若XB(1，p)， 则E(X)= p,1、离散型随机变量均值的定义,一般地,若离散型随机变量X的概率分布为,则称 为随机变量X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。,小 结,2、离散型随机变量均值的性质,(1)随机变量均值的线性性质,若XB(n，
6、p)， 则E(X)= np,(2)服从两点分布的均值,(3)服从二项分布的均值,若XB(1，p)， 则E(X)= p,3、归纳求离散型随机变量均值的步骤,确定所有可能取值；写出分布列；求出均值,题型一离散型随机变量均值的性质,已知随机变量X的分布列为: (1)求E(X); (2)若Y2X3,求E(Y),从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数. (1)求X的分布列; (2)求X的数学期望; (3) 求“所选3人中女生人数X1”的概率.,例题1,题型二求离散型随机变量的均值,(2009上海理，7)某学校要从5名男生和2名女生 中选出2人作为上海世博会志愿者
7、，若用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望 E()=_(结果用最简分数表示). 解析 的可能取值为0,1,2,一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值。,例题2,解：,设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是X和Y，则,XB(20，0.9)， YB(20，0.25)，,E(X)200.918，,E(Y)200.255
8、,由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是5X和5Y。所以，他们在测验中的成绩的均值分别是,E(5X)5EX51890，,E(5Y)5EY5525,不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分,思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的均值为90分的含义是什么?,题型三二项分布的均值,【名师点评】(1)如果随机变量X服从两点分布,则其期望值E(X)p(p为成功概率) (2)如果随机变量X服从二项分布即XB(n,p),则E(X)np,以上两特例可以作为常用结论,直接代入求解,从而避免了繁杂的计算过程,跟踪训练 3某电视台开展有奖答题活动,每次要求答
9、30个选择题,每个选择题有4个选项,其中有且只有一个正确答案,每一题选对得5分,选错或不选得0分,满分150分,规定满100分拿三等奖,满120分拿二等奖,满140分拿一等奖,有一选手选对任意一题的概率是0.8,则该选手有望能拿到几等奖？ 解:选对题的个数XB(30,0.8), 故E(X)300.824, 由于245120(分), 所以该选手有望能拿到二等奖,题型四 决策问题,例3 统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨可则损失4万元。6月19日气象预报端午节下雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？,方案2：建保护围墙，建设费2
10、000元，但围墙只能防小洪水；,试比较哪一种方案好？,遇大洪水损失60000元,遇小洪水损失10000元,有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01,大型设备,方案3：不采取措施.,方案1：运走设备运费为3800；,能力展现,题型五均值问题的实际应用,某游戏射击场规定:每次游戏射击5发子弹;5发全部命中奖励40元;命中4发不奖励,也不必付款;命中3发或3发以下,应付款2元现有一游客,其命中率为0.5. (1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率; (2)求该游客在一次游戏中获得资金的均值,跟踪训练 4随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品2
11、0件、次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而生产1件次品亏损2万元设1件产品的利润为(单位:万元) (1)求的分布列; (2)求1件产品的平均利润(即的数学期望),高考练兵,小 结,1. 离散型随机变量均值的性质,若XB(n，p)， 则E(X)= np,若XB(1，p)， 则E(X)= p,2. 求离散型随机变量均值的步骤,确定所有可能取值；写出分布列；求出均值,彩球游戏准备一个布袋，内装6个红球与6个白球，除颜色不同外，六个球完全一样，每次从袋中摸6个球，输赢的规则为：,6个全红 赢得100元 5红1白 赢得50元 4红2白 赢得20元 3红3白 输100元 2红4白 赢得20元 1红5白 赢得50元 6个全白 赢得100元,你动心了吗?,
