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1、1.2 矩形的性质与判定,北师大2014年6月版本,九年级数学,第一课时,2014.9.2,有两组对边分别平行的四边形.,对边相等 邻边不相等,对角相等 邻角不相等,对边相等 邻边相等,对角相等 邻角相等,四条边都相等,四个角都相等,下面图片中都含有一些特殊的平行四边形，观察这些特殊的平行四边形，你能发现他们有什么样的共同特征。,有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形）.,矩形,即：,矩形是生活中常见的图形，你还能举出一些生活中矩形的例子吗，与同伴交流。比如：,（2）矩形是轴对称图形码？它有几条对称轴？,具有平行四边形的所有性质,（3）你认为矩形还有哪些特殊的性质？进行交流？,想一
2、想P11,（1）矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？,边角对角线,答：矩形是轴对称图形。它有4条对称轴.,对角线相等；四个角都是直角。,矩形的对边平行且相等.,矩形的对角相等.,矩形的对角线互相平分.,矩形的一般性质（即平行四边形所有性质）,猜想1：矩形的四个角都是直角,猜想2：矩形的对角线相等,A,B,C,D,矩形的特殊性质,定理：矩形的四个角都是直角,已知：四边形ABCD是矩形， C=90 求证： （1） A=B=C=D=90 （2） AC=BD,证明：四边形ABCD是平行四边形， C=90 A=C=90 B+C=180 B=180C=90 D
3、=B=90 即A=B=C=D=90,定理证明,第二小问自己证明,已知：四边形ABCD是矩形 求证：AC = BD,证明：在矩形ABCD中,ABC = DCB = 90,又AB = DC ， BC = CB,ABCDCB（SAS）,AC = BD,定理：矩形的对角线相等,定理证明,矩形的性质,矩形的对边平行且相等.,对称性,矩形是轴对称图形， 也是中心对称图形.,A,B,C,O,定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.,在RtABC中, BO是斜边AC上的中线， 则BO= AC.,矩形特殊性质的推论,直角三角形的一个性质,即：,议一议,如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是
4、Rt ABC中一条怎样的线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？,D,证明: 延长BO至D，使OD=BO 连结AD、DC.,AO=OC, BO=OD 四边形ABCD是平行四边形.,ABC=90,AC=BD,已知：在RtABC中ABC=90，BO是AC上的中线. 求证: BO = AC,定理证明,在矩形ABCD中，找出相等的线段与相等的角.,小练习,AB=CD AD=BC AC=BD OA=OC=OB =OD= AC = BD,DAB=ABC=BCD=CDA=90 AOB=DOC AOD=BOC OAB=OBA=ODC=OCD OAD=ODA=OBC=OCB,等腰三角形：,OAB
5、OBC OCD OAD,直角三角形：,RtABC RtBCD RtCDA RtDAB,全等三角形：,RtABC RtBCD RtCDA RtDAB OABOCD OADOCB,在矩形ABCD中，找出所有等腰、直角、全等三角形.,小练习,如图， 在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，AOD=120，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。,解：四边形ABCD是矩形， AC与BD相等且互相平分. OA=OB。 AOD=120 AOB=60， OAB是等边三角形. 矩形的对角线长 AC=BD = 2OA=22.5=5（cm）.,如图，在矩形 ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB=6 ，OA
6、=4，求BD与AD的长。,O,解：, 四边形ABCD是矩形, ABC= 90,OA=OC= 4, AB=DC=6, AD=27（勾股定理）, AC=BD=8,1.一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是450，求这个矩形的各边长。,解：,由图知：AC=BD=6， ACB= 450,四边形ABCD是矩形, ABC= 900, AC= 6, ABC是等腰直角三角形, AB2+ BC2 =AC2, ACB= 450, AB=BC=CD =DA=32,2.一个矩形的两条对角线的一个夹角是600，对角线长为15，求这个矩形较短边的长。,解：,由图知：AC=BD=15， AOB= 600,四边形ABC
7、D是矩形, OA=OB, AC=BD= 15, AOB是等边三角形, AOB= 600, AB=CD =7.5, OA=OB=OC =OD=7.5,3.如图，在Rt ABC中， ACB=900，D为AB的中点，AE CD，CE AB试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论。,解：,AECD，CEAB，就是CEAD,四边形ADCE是平行四边形, ACB=900，D为AB的中点 CD是直角三角形ACB的斜边上的中线，,CD=AB2=AD,四边形ADCE是菱形,4.证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。,如图：已知：CD平分AB，且CD=AD=BD，,求证：A
8、BC是直角三角形,证明：,AD=CD，A=1 同理2=B,2+B+A+1=180，即2（1+2）=180，,1+2=90，即：ACB=90，ABC是直角三角形,脸蛋方方是矩形，例如黑板和窗门.,对角线段皆相等，相互交叉且平分.,内有直角三角形，斜边中线半斜边.,若要牢记其定义，直角平行四边形.,矩形之歌,矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形.,矩形的性质：,具有平行四边形的一切特征.,四个角都是直角.,对角线相等且平分.,直角三角形的一个性质：,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.,1. 填空： （1）矩形的定义中有两个条件：一是_ ， 二是_ . （2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为
9、30，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为_、_ 、 _ 、 _ 。 （3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120，则矩形的边长分别为_ cm， _ cm， _ cm，_ cm。,有一个角是直角,平行四边形,60,60,120,120,5,5,2.下列说法错误的是（ ） A. 矩形的对角线互相平分。 B. 矩形的对角线相等。 C. 有一个角是直角的四边形是矩形。 D. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 3. 矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ） A. 2对 B. 4对 C. 6对 D. 8对,C,B,4. 工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤
10、进行： （1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图1），使 AB=CD, EF=GH （2）摆放成如图（2）的四边形，则这时窗框的形状是 ，根据的数学道理是 （3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图3）调整窗框的边 框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图4） 说明窗框合格，这时窗框是，根据的数学道理 是,平行四边形,两组对边分别相等的,矩形,有一个角是直角的平行四边形是矩形,四边形是平行四边形,5. 用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形地面,则每块长方形地砖的长和宽分别是( ) A. 48cm,12cm B. 48cm,16cm; C. 44cm,16cm D. 45cm,15cm.,D,6.
11、 四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？,O,A,B,C,D,公平，因为OA=OC=OB=OD,北师大版 九年级 数学课件,第一章 特殊平行四边形,1.2 矩形的性质与判定 第二课时,如图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化。,做一做P14,1.随着a的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？,答：从不等到相等再到不等。,2.当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想。,答：两条对角线长度相等时，平行四边形变成了矩形，因此：对角线相等的平行四边
12、形是矩形,定理：对角线相等的平行四边形是矩形,证明：四边形ABCD是平行四边形 AB=DC AB DC BC=CB AC=DBABCDCB(SSS)ABC=DCB AB DC ABC+DCB= 180 ABC =DCB =90即DAB=ABC=BCD=ADC 四边形ABCD是矩形(矩形的定义）,已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB,求证：平行四边形ABCD是矩形,我们知道，矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流。,想一想,有三个角是直角的四边形是矩形。,你有什么方法检查你家或者教室刚
13、安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并进行交流。,议一议P15,对角线相等的平行四边形是矩形。,O,如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ABO是等边三角形，AB=4，求 ABCD的面积。,例2 P15,O,解：,四边形ABCD是平行四边形,AO=OC BO=OD 又 ABO是等边三角形 OA=OB=AB=4， BAC= 60 =OB= AC=BD=2 4= ABCD是矩形 ABC= 90 在Rt ABC 中，由勾股定理得AB BC 四边形ABED的面积= ,已知：如图，在中，是边的中点，且,随堂练习P1,证明：,求证：四边形是矩形,
14、MB=MC（已知）M是AD中点AM=MD又四边形ABCD是平行四边形（已知）AB=DC（平行四边形对边相等）AMB DMC（SSS） =D 四边形ABCD是平行四边形 D 0 =D 0 平行四边形ABCD是矩形（有一个内角是90度的平行四边形是矩形）,如图，在中，是边上的中线，延长至，使，连接，,习题P1,解：,（）试判断四边形的形状 （）当满足什么条件时，四边形是矩形。,（）四边形是平行四边形,（）当满足是直角时，四边形是矩形。,如图，点在上，过的中点作的平行线，分别交的平分线和的平分线于点，。试判断四边形的形状，并证明你的结论。,习题P1,解：,BD和BC为角平分线ABD=DBNABC=C
15、BMCDMNCOB=ABN DCB=CBM又ABM+ABN=180CBD=90DCB=ABCOC=OB同理 又O为的中点， 四边形为平行四边形 CBD=90四边形ABC为矩形,如图，已知菱形，画一个矩形，使得，四点分别在矩形的四条边上，且矩形的面积为菱形面积的倍。,习题P1,解：,我们来总结,矩形的判定方法：,1、有一个角是直角的平行四边形是矩形。,2、对角线相等的平行四边形是矩形。,3、有三个角是直角的四边形是矩形。,对于1、2两种判定方法是在平行四边形的前提下来判断的，而3是直接在四边形的前提下判断的。,你来评判,1、下列各句判定矩形的说法是否正确？,（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（
16、 ） （2）四个角都相等的四边形是矩形； （ ） （3）对角线相等的四边形是矩形； （ ） （4）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ ） （5）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（ ） （6）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形 ( ),1.2 矩形的性质与判定 第三课时,北师大版 九年级 数学课件,第一章 特殊平行四边形,例,如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂足为，。求的长。,解：, 四边形是矩形, /2BD BAD=90, ED3BE, BE=OE, AEBD, AB=AO, AB=AO=BO, ABO 是等边三角形,ABO=60 ADB=30,在Rt AED中， ADE=30,A
