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1、球与多面体的切、接关系,1正方体与球,动画显示,一、正方体的内切球,位置关系描述：,球与正方体的六个面都相切，各个面的中心即为切点。正方体的中心即为球心。相对两个面中心连线即为球的直径。球叫做“正方体的内切球”，正方体叫做“球的外切正方体”。,图形,度量关系,球的直径等于正方体棱长。,一、正方体的内切球,例题1,求棱长为2的正方体的内切球的表面积,解：因球与正方体内切，所以，球的直径等于正方体棱长，即,即时练习：,一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ）,C,动画显示,二、球与正方体的棱相切,位置关系描述：,度量关系,图形,二、球与正方体的棱相切,球与正方体的12条棱都相切，
2、各棱的中点即为切点。正方体中心即为球心。“对棱”中点连线即为球的直径。,球的直径等于正方体一个面上的对角线长,即时练习：,在一个空的正方体框架内放置一球，若正方体棱长为a,则此球的最大体积是,动画显示,三、 正方体的外接球,图形,位置关系描述：,度量关系,三、 正方体的外接球,正方体的8个顶点在同一个球面上。正方体的中心即为球心。球叫做“正方体的外接球”，正方体叫做“球的内接正方体”。,正方体的（体）对角线等于球直径,_,课堂练习,正方体的内切球与外接球半径的比是,B,正方体的全面积是 ，它的顶点都在球面 上，则这个球的表面积是,若球面内接正方体对角面面积为 ，,设球面内接正方体的棱长为a，则
3、对角面面积为,解：,例题2,求球的表面积,2长方体与球,一、长方体的外接球,位置关系描述：,长方体的8个顶点在同一个球面上。长方体的中心（对角线的交点）即为球心。球叫做“长方体的外接球”，长方体叫做“球的内接长方体”。,度量关系,长方体的（体）对角线等于球直径,图形,长方体一个顶点上三条棱的长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，那么，这个球的表面积是 ( ),C,思考：一般的长方体有内切球吗？,没有。一个球在长方体内部，最多可以和该长方体的5个面相切。,如果一个长方体有内切球，那么它一定是,正方体,课堂练习,例如，装乒乓球的盒子,如图，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球底
4、面圆内。则这个半球的面积与正方体表面积的比为 （ ）,将半球补成整球,由长方体内接于球知：,所以，选B,分析1,B,例题3,则两个同样的正方体对接构成的长方体就内接于这个球。设正方体棱长为a，则所得长方体对角线长为,如图,半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边长为,变式练习,求半球的表面积和体积,答案：半球的表面积为27，半球的体积为18.,分析2,O,A,B,设球心为O，则O亦为底面正方形的中心。,如图，连结OA、OB，则得RtOAB.,设正方体棱长为a，易知：,例题4,在半径为R的球面上任取一点，过该点作两两互相垂直的三条弦，求证：这三条弦的平方和为定值。,P
5、,O,A,B,C,D,O1,证明,设过球O上一点P，作三条互相垂直的弦PA、PB、PC，如图所示,设PB、PC所在的平面与球O相交于小圆O1，因为 PB与PC垂直，所以，BC为小圆 O1直径。,连结PO1并延长交O1于D，连结OO1.则OO1平面O1。易知PA平面O1，,在小圆O1中，,在大圆O中，,所以，OO1PA，所以球心O在A、P、D三点所确定的圆面内，即过A、P、D的圆面是球的大圆。又PAPD，AD为该大圆的直径（即O为AD的中点）。,点P在直径为 的球面上，过P作两两互相垂直的三条弦（两端点均在球面上的线段），若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和的最大值是（ ）,巩固练
6、习,设三条弦长分别为a、b、c，且c=2b,则：,D,3 球与棱锥切接问题举例,（1） 球与正四面体,正四面体P-ABC的棱长为a，求它的外接球半径R和内切球半径r,分析：,和正方体类似，任何一个正四面体都有一个外接球和一个内切球,设其外接球的球心为O，则O到四个顶点的距离都相等即R。那么，点O在什么地方呢？,由于P-ABC为正四面体，所以，点P在底面ABC上的射影H即为正ABC的中心，而点H到顶点A、B、C的距离都相等。,解：,O,P,A,B,C,D,K,H,取BC中点D，连结AD、PD，在PAD中，过P作PHAD， 则PH底面ABC。,D为BC中点，ADBC,PDBC,BC平面PAD，BC
7、PH;又 PHAD, PH底面ABC.,在PAD中，过A作AKPD，则AK平面PBC,那么，正四面体的两条高PH与AK的交点即为球心O。,当点H沿着线段PH向上移动至P时，仍然满足到三顶点A、B、C的距离相等。据此，可猜想球心O应在正四面体的高PH上；同理，球心O也在正四面体的其它顶点引发的高上。设另一条高为AK，则PH与AK的交点即为球心O。,你知道理由吗？,连结HK，,KHPA, KHOAPO,显见，内切球的球心也是这个点O，即正四面体的外接球与内切球是同心球。 而且，OP=OA=R, OH=OK=r,特别提醒：同学们只要记住如下关系式即可：,正四面体的外接球、内切球是同心球，球心即为正四
8、面体的中心。,正四面体的四条高相交于同一点，这点叫做正四面体的中心。,如图，四边形OKDH为筝形。即有：OK=OH,DK=DH,ODKH.,共底边的两个等腰三角形形成的平面凸四边形叫做筝形。,正四面体的外接球的球心把正四面体的一条高分成的两部分的比为 ( ),B,联想棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1，则四面体ACB1D1的棱长都为 ，它的外接球也是正方体的外接球，其半径为正 方体对角线长的一半，即有r ，故所求球面积为,棱长为 的正四面体的所有顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 ( ),一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 ( ) A、3 B、4 C、5
9、 D、6,题目：,解1：,要理解和掌握“正方体与正四面体“的这种图形上的关系，对于快速解题有很大帮助。,外接球的半径,解2：,A,C,巩固练习,S3,（2） 球与正三棱锥,正三棱锥的外接球的球心在它的高所在直线上,球心在高PH上，即在锥体内部,球心在高PH的延长线上，即在锥体外部,球心与底面正中心H重合,度量关系：,设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，高为h，外接圆半径为R，,或在RtAHO中，,正三棱锥的内切球的球心在它的高上(与外接球的球心不一定重合）,有关正三棱锥内切球半径的计算，通常利用RtPHDRtPKO，或放在筝形OKDH 中进行。 OH=OK=r. 注意到球心O与棱BC中点D的连
10、线平分二面角P-BC-A的平面角。,把有关立体几何的计算转化为平面几何的计算，是最基本的策略。,设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a， 高为h，斜高为h ，内切圆半径为r，,正三棱锥P-ABC的侧棱长为1，底面边长为 ，它的四个顶点在同一个球面上，则球的体积为 （ ）,A,解：,设P在底面ABC上的射影为H，则H为正ABC的中心.,延长PH交球面于M，则PM为球的一直径，PAM=90,由Rt中的射影定理得：,法二,由AHPH知：球心O在正三棱锥的高PH的延长线上。在RtAHO,有：,题目：,题目：,正三棱锥PABC的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为 ( ),解析：,
11、设正三棱锥侧棱长为a ，底面边长为b ，三侧棱两两垂直，各侧面都是全等的等腰直角三角形。,代入正三棱锥内切球半径公式：,得：,又 正三棱锥外接球半径,D,已知三棱锥PABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足,同理，PBPC, PCPA , 即PA、PB、PC两两互相垂直,易知，该三棱锥三个侧面均为Rt，所以，其侧面积为,解析：,则三棱锥的侧面积的最大值为 （ ）,A,题目：,提示：三棱锥三侧面两两垂直 三侧棱两两垂直,正三棱锥对棱互相垂直，即SBAC,又SBMN,且AMMN,所以，SB平面SAC。故，SBSA,SBSC,进而，SASC.则三侧棱互相垂直。以S为顶点，将三棱锥补成一个正方体，
12、则球的直径,设三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球大圆的面积为 （ ）,在正三棱锥SABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MNAM，若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是 （ ）,C,题目：,解析：,C,巩固练习,从P点出发三条射线PA，PB，PC两两成60，且分别与球O相切于A，B，C三点，若球的体积为 ， 则OP的距离为（ ）,因PA与球O相切于点A， OAPA,同理，OBPB,OCPC.,RtPOARtPOBRtPOC PA=PB=PC,又APB=BPC=CPA=60PAB、PBC、PCA、ABC为全等的 等边三角形，P-ABC为正四面体；O-ABC为正三棱锥。,解析：
13、先想象一下图形，画出示意图,由已知得球半径R=1，设PA=a，OP=x，设P在底面ABC上的射影为H（也是O在底面ABC上的射影），则AHPH.在RtPAO中，有：,B,4 球与棱柱切接问题举例,正三棱柱的外接球,球心在上下底面中心连线的中点。,AOB是等腰三角形，OA=OB=R,设球半径为R，球心到底面ABC的距离为d，ABC的外接圆半径为r.设正三棱柱高AA1=h，底面边长为a。,正三棱柱的内切球,如果一个正三棱柱有内切球，则球心为正三棱柱上下底面中心连线的中点，球直径等于正三棱柱的侧棱长。各面中心即为切点（共5个）。底面正三角形中心到一边的距离即为球半径r。,解:在 中, , 可得 由正
14、弦定理,可得 外接圆半径r=2,设此圆圆心为 ， 球心为 ，在 中，易得球半径 ，故此 球的表面积为.,（2009全国卷理）直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 , ，则此球的表面积 等于 。,真题赏析,（2009江西卷理）正三棱柱 内接于半径为2的球，若 两点的球面距离为 ，则正三棱柱的体积为 ,真题赏析,由球面距离公式：,解析：,设正ABC的外接圆半径为r,球心O到平面ABC的距离为,8,一个正方体的棱长为2，将八个直径各为1的球放进去之后，正中央空间能放下的最大的球的直径为,棱长为a的正方体外接球的表面积为（ ）,B,八个球的球心连线构成一个立方体，且其棱长为1.,解析：,M,N,设过对
15、角线O1O7的对角面与球O1、O7分别交于M、N，如图。则所求为：,作业：,已知体积为 的正三棱锥的外接球的球心为，满 足 ,则三棱锥外接球的体积为,如图, 设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直，且,，则AD两点间的球面距离 .,提示：,由已知得：球心O为正三棱锥底面ABC的中心。如图，则有PAM为等腰直角三角形，O为斜边PM中点。,设底面正边长为a，侧棱长为b，则,提示：,AOD为等边三角形.,半径为1的球面上有A、B、C三点，B、C间的球面距离是 ， 点A与B、C两点间的球面距离均为 ，球心为O。,求： AOB，BOC的大小； 球心到截面ABC的距离； 球的内接正方体的表面积与球面积之比,解：球面距离,OA=OB=OC=1, 设球的内接正方体棱长为a，则,A、B、C是半径为1的球面上三点，B、C间的球面距离是 ，点A与B、C两点间的球面距离均为 ，球心为O。,求： AOB，BOC的大小； 球心到截面ABC的距离； 球的内接正方体的表面积与球面积之比,解：球面距离,OA=OB=OC=1, 设球的内接正方体棱长为a，则,法二：易知AO垂直于平面BOC。,有人抄错题了，把 和 交换了一下，那么，答案还一样吗？,则三棱柱的体积为 （ ）,在棱长为a的正方体内有一个内切球，过正方体中两条互为异面直线
