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1、导数的概念（ 5 月 4 日）教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。教学重点 ：导数的概念以及求导数教学难点 ：导数的概念教学过程 ：一、导入新课：上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看， 却是相同的， 都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。二、新授课：1.设函数 yf ( x) 在 xx0处附近有定义，当自变量在xx0 处有增量x 时，则函数Yf (x) 相应地有增量yf ( x0x)f ( x0 ) ，如果x0 时， y 与x 的比y（也x叫函数的平均变化率）有极限即y 无限趋近于某个常数，我们把
2、这个极限值叫做函数xyf ( x) 在 xx0 处的导数 ，记作 y /x x0，即f / ( x0 ) limf (x0x)f (x0 )x 0x注： 1.函数应在点x0 的附近有定义，否则导数不存在。2.在定义导数的极限式中，x 趋近于0 可正、可负、但不为 0，而 y 可能为 0。3.y 是函数 yf ( x) 对自变量 x 在x 范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线xyf ( x) 上点（ x0 , f ( x0 ) ）及点 ( x0x, f ( x0x) ）的割线斜率。4.导数 f / (x0 )limf ( x0x)f ( x0 ) 是函数 yf ( x) 在点 x0 的处瞬时
3、变化率，x0x它反映的函数 yf ( x) 在点 x0 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线yf (x) 上点（ x0 , f ( x0 ) ）处的切线的斜率。 因此，如果 yf (x) 在点 x0 可导，则曲线 yf (x)在点（ x0 , f ( x0 ) ）处的切线方程为yf ( x0 )f/ ( x0 )( x x0 ) 。5.导数是一个局部概念， 它只与函数 yf ( x) 在 x0 及其附近的函数值有关，与x 无关。6.在定义式中，设xx0x ，则xxx0 ，当x 趋近于 0 时， x 趋近于 x0 ，因第 1页共 4页此，导数的定义式可写成f / ( x0 )limf (x0x)
4、f (x0 )limf (x)f ( x0 ) 。xoxx x0xx07.若极限 limf (x0x)f ( x0 ) 不存在，则称函数yf ( x) 在点 x0处不可导。x0x8.若 f ( x) 在 x0可导，则曲线 yf (x) 在点（ x0 , f (x0 ) ）有切线存在。反之不然，若曲线 yf (x) 在点（ x0 , f (x0 ) ）有切线，函数 yf ( x) 在 x0 不一定可导，并且，若函数yf (x) 在 x0 不可导，曲线在点（x0 , f ( x0 ) ）也可能有切线。一般地 ， lim (a bx)a ，其中 a, b 为常数。x0特别地 ， lim aa 。x
5、0如果函数 yf (x) 在开区间 ( a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个 x(a,b) ，都对应着一个确定的导数f / (x) ，从而构成了一个新的函数f / ( x) 。称这个函数f / (x) 为函数 yf (x) 在开区间内的 导函数 ，简称 导数 ，也可记作 y /，即f /( x) y / limylimf ( xx)f (x)x 0xx 0x函数 yf ( x) 在 x0 处的导数 y /x x就是函数 yf ( x) 在开区间 ( a,b) (x(a, b) 上导0数f/ ( )x0 处的函数值，即/x x0f/( x0 ) 。所以函数 y f ( x) 在 x0处的导
6、数也记x 在y作 f / ( x0 ) 。注： 1.如果函数yf ( x) 在开区间 (a, b) 内每一点都有导数，则称函数yf ( x) 在开区间( a, b) 内可导。2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数y f (x) 在点 x0 处的导数就是导函数f / ( x) 在点 x0 的函数值。3.求导函数时，只需将求导数式中的x0 换成 x 就可，即 f / ( x) lim0f ( xx) f (x)xx4.由导数的定义可知，求函数yf ( x) 的导数的一般方法是：（1） .求函数的改变量
7、yf ( xx) f ( x) 。第 2页共 4页（2） .求平均变化率yf (xx) f ( x) 。xx（3） .取极限，得导数y / limy 。x0x例 1.求 y 2x 21 在 x 3处的导数。例 2.已知函数yx2x（1）求 y / 。（2）求函数yx 2x在 x 2 处的导数。小结 ：理解导数的概念并会运用概念求导数。练习与作业：1.求下列函数的导数：（1） y3x4 ；（2） y12x(3) y3x212x(3) y5x32.求函数 yx 21在 1,0，1 处导数。第 3页共 4页3.求下列函数在指定点处的导数：（1） yx2 , x02 ；（ 3） y ( x 2)2 , x0 14.求下列函数的导数：（ 1） y 4x 1;（3）y233 ;xx5.求函数 yx 22x 在 2,0， 2 处的导数。（2 ） y1 x 2 , x00 ；3（ 4） yx2x, x01.（2） y10x 2 ；（ 4） y2x 27 。第 4页共 4页
