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1、1.3.2函数的奇偶性 教学目标： 理解函数的奇偶性 教学重点： 函数奇偶性的概念和判定 教学过程： 1、通过对函数 x y 1 ， 2 xy的分析，引出函数奇偶性的定义 2、函数奇偶性的几个性质： （1）奇偶函数的定义域关于原点对称； （2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立； （3）)()()(xfxfxf是偶函数，)()()(xfxfxf是奇函数； （4）0)()()()(xfxfxfxf, 0)()()()(xfxfxfxf； （5）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 y轴对称； （6）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非
2、偶函数。 3、判断下列命题是否正确 (1)函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。 此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定 义直接得出。 (2)两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。 此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面， 两个奇函数的差 或两个偶函数 的差可能既是奇函 数又是偶函数， 如 ,，可以看出函数与都是 定义域上的函数，它们的差只在区间 1， 1上有定义且，而在此区间上函数 既是奇函数又是偶函数。 （3）是任意函数，那么与都是偶函
3、数。 此命题错误。 一方面， 对于函数， 不能保证或 ；另一方面，对于一个任意函数而言，不能保证它的定义域关于原点对称。 如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数是偶函数。 （4）函数是偶函数，函数是奇函数。 此命题正确。由函数奇偶性易证。 （5）已知函数是奇函数，且有定义，则。 此命题正确。由奇函数的定义易证。 （6）已知是奇函数或偶函数，方程有实根，那么方程的所有实根之和 为零；若是定义在实数集上的奇函数，则方程有奇数个实根。 此命题正确。 方程的实数根即为函数与轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知： 若，则。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有。故原命 题成立。 4、补充例子 例：定义
4、在)1 , 1(上的奇函数)(xf在整个定义域上是减函数，若0)1()1 ( 2 afaf，求实数a的取 值范围。 课堂练习： 教材第 53 页 练习 A、B 小结 ：本节课学习了函数奇偶性的概念和判定 课后作业 ：第 57 页习题 2-1A 第 6、7、8 题 1.3.2奇偶性 上一节，我们学习了函数的单调性与最大(小)值，熟悉了增函数、减函数的意义，学会了判断函数单调 性及求单调区间的方法步骤，掌握了求函数最值的方法. 本节接着学习函数的另一个重要性质奇偶性，我们应该学好哪些知识点呢？ 1偶函数： 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就
5、叫做 偶函数 （ even function ） 2奇函数： 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个x， 都有 f(x)=f(x)， 那么 f(x)就叫做 奇函数 （odd function ） 释义： 若函数f(x)是奇函数或是偶函数，称函数f(x)具有 奇偶性 .函数 f(x)的奇偶性是函数的整体性质； 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x 也一定是定义域内的一个自变量，即定义域关于原点对称； 当函数f(x)的定义域不关于原点对称时，函数f(x)必不具有奇偶性.即可断定函数是非奇非偶函数； 当 f(x)为奇函数且0 在定义域中时，由
6、f(0)=f(0)得 f()0即 f(x)的图像必经过坐标原点. 示例： 判断下列函数的奇偶性 ( )11f xxx； 2 2 11 ( ); 11 xx f x xx ( )()f xaaR 分析： 定义域为1，不关于原点对称，所以( )f x为非奇非偶函数； 函数的定义域为R，它关于坐标原点对称 当 x=0 时， f(0)=0; 当 x0 时，由 22 22 ( ) 1111 2 1 ()2 1111 f x xxxx x fxx xxxx ()( ).fxf x 2 2 11 ( ) 11 xx f x xx 是奇函数； 当0a时，()( )0fxf x( )f x既是奇函数又是偶函数；
7、 当 0a 时，()( )( )fxf xaf x为偶函数 3.具有奇偶性的函数的图象的特征： 偶函数的图象关于y 轴对称，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等； 奇函数的图象关于原点对称，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反 数 释义 ： 1 图象关于y 轴对称的函数是偶函数； 2 图象关于原点对称的函数是奇函数 示例： 从下图中的函数图象，判断各自的奇偶性情况： 分析： 因为图的函数图像关于y 轴对称，所以为偶函数；图的函数图像既不关于y 轴对称也不关 于原点对称，所以是非奇非偶函数；图的函数图像，因少一个点(也可以看作多一个点)，既不关于y 轴对
8、 称也不关于原点对称，所以是非奇非偶函数. 4.利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 2 确定 f(x)与 f(x)的关系； 3 作出相应结论： 若 f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是偶函数； 若 f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是奇函数 5函数的奇偶性与单调性的关系： 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反； 奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致 以上是本节应该掌握和理解的重要的知识点，那么除了教材上的例题题型，我们还需要熟悉什么题型？ 大家可以通过学习课外参考资料扩
9、充.在这里，给出几个例题以加深对函数的奇偶性进一步理解. 例 1. 已知函数)(xfy是),(上的偶函数，当0 x时，32)( 2 xxxf，用分段函数形式 写出)(xfy的表达式 分析： 这是已知偶函数的一部分表达式，求另一部分的表达式问题. 由于x0 的问题解决 . 解： 任取 x(-,0)，则-x(0,+)，因为函数)(xfy是),(上的偶函数， 由题意得 22 ( )()()2()323f xfxxxxx. )0( ,32 )0( ,32 )( 2 2 xxx xxx xf 例 2. 判断下列函数的奇偶性： (1) 2 2 1 (0), ( )0(0), 1 (0). xx f xx
10、xx (2) 2 1 ( ) 22 x f x x 解： (1) 当0 x时，0 x，有)(0)(xfxf； 当0 x时，0 x，有)()1(1)()( 22 xfxxxf； 当0 x时，0 x，有)()1(1)()( 22 xfxxxf (2) f x = x -2 x O y 4-2 x O y x O y (1) (3) 对于x，都有)()(xfxf 2 2 1 (0), ( )0(0), 1 (0). xx f xx xx 是),(奇函数 . (2) 2 1 ( ) 22 x f x x 2 1 ,1,0)(0,1 x x x U 当 1,0)(0,1xU时， 1,0)(0,1xU，
11、()fx 2 1()x x 2 1x x ( )f x 2 1 ( ) 22 x f x x 是 1,0)(0,1U上的奇函数 点评： 对于分段函数判断奇偶性，可以仿照本例的步骤； 对于解析式较复杂的函数，可以先化简再判断，但必须要在化简前先确定定义域. 判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首 先判断函数的定义域是否关于原点对称单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函 数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质 You have to pay the price but if you do you can only win. - Frank Leahy 为了成功，你必须付出代价.如果你付出了代价，你就会成功. - 莱希
