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1、,二次函数与菱形 1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点的左 侧，B 点的坐标为（3，0），与 y 轴交于 C（0，3）点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点 求这个二次函数的表达式 当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的 最大面积 连接 PO、PC，并把POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POPC，那么是否存在点 P，使四边形 POP C 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 2.已知抛物线 y=ax2+bx+8（a1）过点
2、D（5，3），与 x 轴交于点B、C（点B、C 均在 y 轴右侧）且 BC=2，直线 BD 交 y 轴于点A 求抛物线的解析式； 在坐标轴上是否存在一点 N，使ABN 与BCD 相似？若存在，求出点 A、N 的坐标；若不存 在，请说明理由 在直线 BD 上是否存在一点 P 和平面内一点Q，使以 Q、P、B、C 四点为顶点的四边形为菱形 ？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 3如图，二次函数图象的顶点为坐标原点 O，y 轴为对称轴，且经过点 A（3，3），一次函数的图 象经过点A 和点B（6，0） 求二次函数与一次函数的解析式； 如果一次函数图象与 y 轴相交于点 C，E 是抛
3、物线上 OA 段上一点，过点E 作 y 轴平行的直线,1,DE 与直线 AC 交于点D，DOE=EDA，求点 E 的坐标； （3）点 M 是线段AC 延长线上的一个动点，过点M 作 y 轴的平行线交抛物线于F，以点O、C、M、F 为顶点的四边形能否为菱形？若能，求出点F 的坐标；若不能，请说明理由 4.如图，已知抛物线经过原点 O 和 x 轴上一点 A（4，0），抛物线顶点为 E，它的对称轴与 x 轴交于 点 D直线 y=2x1 经过抛物线上一点 B（2，m）且与 y 轴交于点 C，与抛物线的对称轴交于 点 F （1）求 m 的值及该抛物线对应的解析式； （2）P（x，y）是抛物线上的一点，若
4、 SADP=SADC，求出所有符合条件的点 P 的坐标； （3）点 Q 是平面内任意一点，点 M 从点 F 出发，沿对称轴向上以每秒 1 个单位长度的速度匀速运 动，设点 M 的运动时间为 t 秒，是否能使以 Q、A、E、M 四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直 接写出点 M 的运动时间 t 的值；若不能，请说明理由 5.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 A（3，4）、 B（3，0）、C（1，0）以 D 为顶点的抛物线 y=ax2+bx+c 过点 B动点P 从点 D 出发，沿 DC 边 向点C 运动，同时动点 Q 从点 B 出发，沿 BA 边向点A 运动，点 P、Q 运
5、动的速度均为每秒 1 个单位， 运动的时间为t 秒过点 P 作 PECD 交BD 于点E，过点E 作 EFAD 于点F，交抛物线于点 G 求抛物线的解析式； 当t 为何值时，四边形 BDGQ 的面积最大？最大值为多少？ 动点P、Q 运动过程中，在矩形 ABCD 内（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H 为顶,2,点的四边形是菱形，若存在，请直接写出此时菱形的周长；若不存在，请说明理由 6如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax22ax3a 交x 轴于A、B 两点，交 y 的正半轴于点 C，连接 BC，且 OB=OC 求抛物线的解析式； 如图 2，点 D 为第一象限抛物线上一点，过
6、点D 作 DEBC 于点E，设 DE=d，点 D 的横坐标为 t，求d 与 t 的函数关系式； 在（2）的条件下，点 F 为抛物线的顶点，对称轴交 x 轴于点 G，连接 DF，过 D 作 DHDF 交 FG 于点 H，点 M 为对称轴左侧抛物线上一点，点 N 为平面上一点且 tanHDN=，当四边形 DHMN 为菱形时，求点N 的坐标,7如图，抛物线 y=ax22x+c（a0）与 x 轴、y 轴分别交于点A，B，C 三点，已知点 A（2，0）， 点C（0，8），点 D 是抛物线的顶点 求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； 如图 1，抛物线的对称轴与 x 轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将
7、EBP 沿直线 EP 折叠，使点B 的对应点 B落在抛物线的对称轴上，求点 P 的坐标； 如图 2，设 BC 交抛物线的对称轴于点 F，作直线 CD，点 M 是直线 CD 上的动点，点 N 是平面 内一点，当以点B，F，M，N 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M 的坐标,3,8如图，ABCD 的两个顶点B，D 都在抛物线 y=x2+bx+c 上，且 OB=OC，AB=5，tanACB= 求抛物线的解析式； 在抛物线上是否存在点E，使以A，C，D，E 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由 动点 P 从点A 出发向点D 运动，同时动点 Q 从点C 出发向点A
8、运动，运动速度都是每秒 1 个 单位长度，当一个点到达终点时另一个点也停止运动，运动时间为 t（秒）当 t 为何值时，APQ 是直角三角形？,9如图，抛物线 y=x2x+1 与y 轴交于 A 点，过点 A 的直线与抛物线交于另一点B，过点 B 作 BCx 轴，垂足为点C（3，0） 求直线 AB 的函数关系式； 动点 E 在线段 OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点 E 作 EGx 轴，交直线 AB 于点F，交抛物线于点 G设点 E 移动的时间为t 秒，GF 的长度为s 个单位，求 s 与t 的函数关 系式，并写出t 的取值范围； 设在（2）的条件下（不考虑点 E 与点 O、C
9、 重合的情况），连接 CF，BG，当 t 为何值时，四 边形 BCFG 为平行四边形？问对于所求的 t 值，平行四边形 BCFG 是否菱形？请说明理由,10如图，已知抛物线 y=ax2+c 过点（2，2），（4，5），过定点 F（0，2）的直线l：y=kx+2 与抛 物线交于A、B 两点，点 B 在点 A 的右侧，过点B 作 x 轴的垂线，垂足为C,4,求抛物线的解析式； 当点B 在抛物线上运动时，判断线段BF 与 BC 的数量关系（、=），并证明你的判断； （3）P 为y 轴上一点，以B、C、F、P 为顶点的四边形是菱形，设点P（0，m），求自然数 m 的值； （4）若 k=1，在直线 l
10、下方的抛物线上是否存在点 Q，使得QBF 的面积最大？若存在，求出点 Q 的坐标及QBF 的最大面积；若不存在，请说明理由,11如图，抛物线 y=ax2+bx2 的对称轴是直线 x=1，与 x 轴交于A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为（2，0），点 P 为抛物线上的一个动点，过点P 作 PDx 轴于点D，交直线BC 于点E 求抛物线解析式； 若点P 在第一象限内，当 OD=4PE 时，求四边形 POBE 的面积； 在（2）的条件下，若点 M 为直线 BC 上一点，点 N 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样 的点 M 和点 N，使得以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是菱形？
11、若存在，直接写出点 N 的坐标；若 不存在，请说明理由,12如图 1，抛物线 y=ax2+bx+4 的图象过 A（1，0），B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C，作直线 BC，动点 P 从点C 出发，以每秒 个单位长度的速度沿 CB 向点 B 运动，运动时间为t 秒，当点P 与点B 重合时停止运动（1）求抛物线的表达式；,5,如图 2，当 t=1 时，求SACP 的面积； 如图 3，过点P 向x 轴作垂线分别交x 轴，抛物线于E、F 两点 求 PF 的长度关于 t 的函数表达式，并求出PF 的长度的最大值； 连接 CF，将PCF 沿CF 折叠得到PCF，当 t 为何值时，四边形 PFPC 是
12、菱形？,13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+3 与x 轴交于点A（4，0），B（1，0）两点 求抛物线的解析式； 在第三象限的抛物线上有一动点D 如图（1），若四边形 ODAE 是以 OA 为对角线的平行四边形，当平行四边形 ODAE 的面积为 6 时， 请判断平行四边形 ODAE 是否为菱形？说明理由 如图（2），直线 y= x+3 与抛物线交于点 Q、C 两点，过点 D 作直线 DFx 轴于点 H，交 QC 于 点F请问是否存在这样的点 D，使点 D 到直线CQ 的距离与点C 到直线DF 的距离之比为：2？ 若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由,14如图，
13、在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=a（x+1）23 与x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B,6,的左侧），与 y 轴交于点C（0， ），顶点为 D，对称轴与x 轴交于点H，过点 H 的直线 l 交抛物 线于P，Q 两点，点 Q 在 y 轴的右侧 求a 的值及点A，B 的坐标； 当直线l 将四边形 ABCD 分为面积比为 3：7 的两部分时，求直线l 的函数表达式； 当点 P 位于第二象限时，设 PQ 的中点为M，点 N 在抛物线上，则以 DP 为对角线的四边形 DMPN 能否为菱形？若能，求出点N 的坐标；若不能，请说明理由,15.已知，如图，在平面直角坐标系中，ABC 的边 B
14、C 在x 轴上，顶点 A 在y 轴的正半轴上，OA=2， OB=1，OC=4 求过A、B、C 三点的抛物线的解析式； 设点G 是对称轴上一点，求当GAB 周长最小时，点G 的坐标； 若抛物线对称轴交x 轴于点P，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使PAQ 是以 PA 为腰 的等腰直角三角形？若存在，写出所有符合条件的点 Q 的坐标，并选择其中一个的加以说明；若 不存在，说明理由； 设点M 是x 轴上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在点 N，使得以点A、B、M、 N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，说明理由,7,88,16.如图，已知抛物线 C1：y= x2
15、，平移抛物线 y=x2，使其顶点 D 落在抛物线 C1 位于 y 轴右侧的 图象上，设平移后的抛物线为C2，且C2 与y 轴交于点C（0，2） 求抛物线C2 的解析式； 抛物线C2 与x 轴交于A，B 两点（点 B 在点A 的右侧），求点 A，B 的坐标及过点A，B，C 的 圆的圆心E 的坐标； 在过点（0， ）且平行于x 轴的直线上是否存在点F，使四边形CEBF 为菱形？若存在，求 出点F 的坐标；若不存在，请说明理由 17如图，直线 y=x4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，抛物线 y= x2+bx+c 经过A、B 两点，与 x 轴的另一个交点为C，连接 BC 求抛物线的解析式及
16、点C 的坐标； 点M 在抛物线上，连接 MB，当MBA+CBO=45时，求点 M 的坐标； 点 P 从点C 出发，沿线段 CA 由 C 向 A 运动，同时点 Q 从点 B 出发，沿线段 BC 由 B 向 C 运动 ， P、Q 的运动速度都是每秒 1 个单位长度，当 Q 点到达 C 点时，P、Q 同时停止运动，试问在坐标 平面内是否存在点D，使 P、Q 运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q 为顶点的四边形为菱形？若 存在，直接写出点D 的坐标；若不存在，说明理由,抛物线与菱形的专题参考答案 1.解：（1）将 B、C 两点的坐标代入得,解得：,；,所以二次函数的表达式为：y=x22x3 （2）过点 P 作 y 轴的平行线与 BC 交于点 Q，与 OB 交于点 F，设 P（x，x22x3）， 易得，直线 BC 的解析式为 y=x3 则 Q 点的坐标为（x，x3）；,S 四边形 ABPC=SABC+SBPQ+SCPQ = ABOC+ QPOF+ QPBF =,=（10 分）,当,时，
