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1、分数裂项分数裂项 校区 班级 姓名 学习目标 本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、 运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单 明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能 力的体现，对学生要求较高。 知识点拨 一、 “裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见 的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔
2、细的观察每项的分子和分母， 找出每项分子分母之间具有的相同的关系， 找出共有部分， 裂项的题目无需复杂的计算， 一般都是中间部分消去的过程， 这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即，那么有 1 ab ab 1111 () abba ab (2)对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即： ，形式的，我们有： 1 (1)(2)nnn 1 (1)(2)(3)nnnn 1111 (1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn 1111 (1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(
3、3)nnnnnnnnnn 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是只要将 x 提取出来即 可转化为分子都是 1 的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、 “裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1） （2） 11abab abababba 2222 ababab abababba 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的” ，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型
4、的，同时还有转 化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 习题练习 【例 1】【例 1】 。 。 11111 1 223344556 【巩固】【巩固】【巩固】 111 . 10 1111 125960 【巩固】【巩固】【巩固】 2222 1099 85443 【例 2】【例 2】 1111 11212312100 【例 3】【例 3】 1111 1 33 55799 101 【巩固】【巩固】【巩固】计算： 计算： 1111 25 1 33 5572325 【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算： 3245671 25577 1111 161622222929 【巩固】【巩固】【巩固】 111111
5、1 3610152128 【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算： 111111111 2612203042567290 【巩固】【巩固】【巩固】 。 11111 104088154238 【例 4】 计算：【例 4】 计算： 1111 1 3 53 575792001 20032005 【例 5】【例 5】 7 4.50.16 1111 18 1 3153563 133.75 3.2 3 【例 6】【例 6】 计算：计算： 11111 123420 261220420 【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算：= 。 11111 20082009201020112012 1854108180270 【
6、巩固】【巩固】【巩固】计算：计算： _。 11224 26153577 【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算： 1111111 315356399143195 【例 7】【例 7】 111 1 23234789 【巩固】【巩固】【巩固】计算： 计算： 1111 1 3 52463 57202224 【巩固】【巩固】【巩固】 4444 . 1 3 53 5793 9597959799 【例 8】【例 8】 11111 1 234234534566789789 10 【例 9】【例 9】 23450 1 (12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250) 【例 10】【例 10】 . . 222222 111111 31517191111131 【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算： 22222222 35715 12233478 【例 11】【例 11】 56677889910 566778899 10 【巩固】【巩固】【巩固】 12379111725 3571220283042 【巩固】【巩固】【巩固】 111112010263827 2330314151119120123124 【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算： 5791113151719 1 612203042567290
