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1、二项式定理,二项式定理： (a b)n C0an C1an1b L Cranrbr L Cnbn (n N )， nnnn 基本概念： 二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n 的二项展开式。,n,二项式系数:展开式中各项的系数Cr (r 0,1, 2, n) .,项数：共(r 1) 项，是关于a 与b 的齐次多项式 通项：展开式中的第r 1 项Cranrbr 叫做二项式展开式的通项。用T Cranrbr 表示。 nr 1n 注意关键点： 项数：展开式中总共有(n 1) 项。 顺序：注意正确选择a , b ,其顺序不能更改。(a b)n 与(b a)n 是不同的。 指数： a 的指数从n 逐
2、项减到0 ，是降幂排列。b 的指数从0 逐项减到n ，是升幂排列。 各项的次数和等于n . 系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是C0 ,C1 ,C2 ,Cr ,Cn . nnnnn 项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 常用的结论： 令 a 1, b x,(1 x)n C0 C1 x C2 x2 L Cr xr L Cn xn (n N ) nnnnn 令 a 1, b x,(1 x)n C0 C1 x C2 x2 L Cr xr L (1)n Cn xn (n N ) nnnnn 5性质： 二项式系数的对称性： 与首末两端“ 对距离” 的两个二项式系数相等， 即
3、,C0 Cn ， Ck Ck 1 nnnn 二 项 式 系 数 和 ： 令,a b 1, 则 二 项 式 系 数 的 和 为,C0 C1 C2 L Cr L Cn 2n ， nnnnn 变形式C1 C2 L Cr L Cn 2n 1。 nnnn 奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令a 1, b 1，则C0 C1 C2 C3 L (1)n Cn (11)n 0 ， nnnnn,2,1,nnnnnnn,从而得到： C0 C2 C4 C2r C1 C3 L C2r 1 1 2n 2n1,奇数项的系数和与偶数项的系数和：,2,(a 1)n (a 1)n,2 (a 1)n (
4、a 1)n,(a x)n C0an x0 C1an1 x C 2 an2 x2 L Cna0 xn a a x1 a x2 L a xn nnnn012n (x a)n C0a0 xn C1axn1 C 2a2 xn2 L Cnan x0 a xn L a x2 a x1 a nnnnn210 令x 1, 则a a a a L a (a 1)n 0123n 令x 1,则a a a a L a (a 1)n 0123n, 得, a0 a2 a4 L an ,(奇数项的系数和), 得, a1 a3 a5 L an ,(偶数项的系数和),n,n,二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则
5、中间一项的二项式系数C 2 取,得最大值。,如果二项式的幂指数 n 是奇数时，则中间两项的二项式系数 n1n1,2,Cn 2 , Cn 2 同时取得最大值。 系数的最大项：求(a bx)n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项 系数分别,12n1, A, A, r 1r 2,为 A , A , A，设第r 1 项系数最大，应有 Ar 1 Ar，从而解出r 来。,题型一：二项式定理的逆用； 例： C1 C2 6 C3 62 L Cn 6n1 . nnnn 解： (1 6)n C0 C1 6 C2 62 C3 63 L Cn 6n 与已知的有一些差距， nnnnn,6,nnnn,n
6、nn,C1 C2 6 C3 62 L Cn 6n1 1 (C1 6 C2 62 L Cn 6n ),666,nnnn, 1 (C0 C1 6 C2 62 L Cn 6n 1) 1 (1 6)n 1 1 (7n 1),练： C1 3C2 9C3 L 3n1Cn . nnnn 解：设 S C1 3C2 9C3 L 3n1Cn ，则 nnnnn 3S C13 C2 32 C333 L Cn 3n C0 C13 C2 32 C333 L Cn 3n 1 (1 3)n 1 nnnnnnnnnn,33,(1 3)n 14n 1, Sn ,题型二：利用通项公式求 xn 的系数；,1,32 n3,例：在二项式
7、( 4x ) 的展开式中倒数第3 项的系数为45 ，求含有 x 的项的系数？ x,解：由条件知Cn2 45 ，即C2 45 ，n2 n 90 0 ，解得n 9(舍去)或n 10 ， nn 由,4,10r 2 r, 12,T Cr (x 4 )10r (x 3 )r Cr x r 11010,43,10 r2,3 ，由题意,r 3, 解得r 6 ，,6110,则含有 x3 的项是第7 项T C6 x3 210 x3 ,系数为210 。,2x,练：求(x2 1 )9 展开式中 x9 的系数？,9,9,1,1,1,2,2,2x,r2 9r,rr 182r,r rr,r 183r,r 19,解： T
8、C (x )() C x( ) x C ( ) x，令18 3r 9 ,则,r 3,9,3,22,故 x9 的系数为C3 ( 1)3 21 。,题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式(x2 1 )10 的展开式中的常数项？ 2 x,11,10 2,解： T,2 x,20 5 r,r 110, Cr (x2 )10r (,5 2,)r Cr ( )r x2 ，令20 ,r 0 ，得r 8 ，所以,8,910,1 845,2256,T C ( ) ,2x,练：求二项式(2x 1 )6 的展开式中的常数项？,6,1,1,2,r,r,1) C 2( ),2x,6rr,rr 6rr,62r,r 1
9、6,解：T C (2x)(,1) () (,x，令6 2r 0 ，得r 3，所以,T (1)3 C3 20 46,x,.,练：若(x2 1 )n 的二项展开式中第5 项为常数项，则n ,1,5n,n,x,42 n444 2n12,解： T C (x )( ) C x,，令 2n 12 0 ，得n 6 .,题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项； 例：求二项式( x 3 x )9 展开式中的有理项？,1127r,解： T Cr (x 2 )9r (x3 )r (1)r Cr x 6 ，令 r 199,6,27 r, Z ,( 0 r 9 )得r 3或r 9 ，,6,49,所以当r 3时， 2
10、7 r 4 ，T (1)3 C3 x4 84x4 ，,6,27 r,109,当 r 9 时， 3 ， T (1)3 C9 x3 x3 。,题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；,1,3 x2,例：若( x2 ,)n 展开式中偶数项系数和为256 ，求 n .,1,4,3 x2,01n,解：设( x2 )n 展开式中各项系数依次设为a , a ,a ,令x 1 ,则有 a0 a1 an 0, ， 令x 1 ,则有 a a a a (1)n a 2n , 0123n 将-得： 2(a a a ) 2n , a a a 2n1, 135135,有题意得， 2n1 256 28 ，n 9
11、 。,11,n,x,x2,练：若( 3 5 ) 的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024 ，求它的中间项。,解：Q C0 C2 C4 C2r C1 C3 L C2r 1 2n1 ，2n1 1024 ，解 nnnnnnn 得 n 11,5,35,2,1 61,x,x,54,51n,所以中间两个项分别为n 6, n 7 ， T C () () 462 x ，, 61 T61 462 x 15 题型六：最大系数，最大项； 例：已知( 1 2x)n ，若展开式中第5 项，第6 项与第7 项的二项式系数成等差数列，求展 2 开式中二项式系数最大项的系数是多少？ 解：Q C4 C6 2C5 ,n2 21
12、n 98 0, 解出 n 7或n 14 ，当n 7 时，展开式中二 nnn,454,3 1 4,2,项式系数最大的项是T 和T T 的系数 C7 ( 2) 2,3 35 , ，,43 4,57,1,2,T 的系数 C ( ) 2 70,当 n 14,8,时，展开式中二项式系数最大的项是T ，,8,14 2,T 的系数 C7 (1)7 27 3432 。,2,1,练：在(a b)2n 的展开式中，二项式系数最大的项是多少？ 解：二项式的幂指数是偶数2n ，则中间一项的二项式系数最大，即T2n Tn1 ，也就是第,n 1项。,2,3 x,练：在( x 1 )n 的展开式中，只有第5 项的二项式最大
13、，则展开式中的常数项是多少？,2,解：只有第5 项的二项式最大，则 n 1 5 ，即 n 8 ,所以展开式中常数项为第七项等于,6 1 2,5,C8 ( 2) 7 练：写出在(a b)7 的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？,解：因为二项式的幂指数7 是奇数，所以中间两项( 第4, 5项)的二项式系数相等，且同时取 得最大值，从而有T C3a4b3 的系数最小，T C4a3b4 系数最大。 4757,练：若展开式前三项的二项式系数和等于79 ，求( 1 2x)n 的展开式中系数最大的项？ 2,nnnr 1,1 12,解：由C0 C1 C2 79, 解出 n 12 ,假设T项最大，Q (1
14、2x)12 ( ) (1 4x)12 22,12,12,12,rr,r 1 r 1,r 1r,rrr 1 r 1,C 4 C4, A A, ,C 4 C4, Ar 1 Ar 2, 12,，化简得到9.4 r 10.4 ，又Q 0 r 12 ，,1111,1 12 10 10,r 10，展开式中系数最大的项为T ,有T ( ) C12 4 x 2,10 16896x10,练：在(1 2x)10 的展开式中系数最大的项是多少？ 解：假设T项最大，Q T Cr 2r xr r 1r 110,10,10,10,rr,rrr 1 r 1,r 1r,r 1 r 1,C 2 C2, A A,2(11 r)
15、r, ,C 2 C2,r 1 2(10 r), Ar 1 Ar 2, 10,解得,，化简得到,6.3 k 7.3 ，又Q 0 r 10 ，r 7 ，展开式中系数最大的项为,810,T C7 27 x7 15360 x7 .,题型七：含有三项变两项； 例：求当(x2 3x 2)5 的展开式中 x 的一次项的系数？ 解法：(x2 3x 2)5 (x2 2) 3x5 ，T Cr (x2 2)5r (3x)r ，当且仅当r 1 时， r 15 T的展开式中才有 x 的一次项，此时T T C1 (x2 2)4 3x ，所以 x 得一次 r 1r 125,5 4,项为C1C4 243x,5 4,它的系数为
16、C1C4 243 240 。,解法： (x2 3x 2)5 (x 1)5 (x 2)5 (C0 x5 C1x4 C5 )(C0 x5 C1x4 2 C5 25 ) 555555 故展开式中含 x 的项为C4 xC5 25 C4 x24 240 x ，故展开式中 x 的系数为 240. 555 练：求式子( x 1 2)3 的常数项？ x,1,x,x,解 ： ( x 1 2)3 (x )6 ，设第 r 1 项为常数项，则,1,6,r 166,T Cr (1)r x 6r ()r (1)6 Cr x 62r ，得6 2r 0 , r 3, x,6,31,T (1)3 C3 20 .,题型八：两个二项式相乘； 例： 求(1 2x)3 (1 x)4 展开式中x2的系数. 解：Q (1 2x)3的展开式的通项是C
