《三角函数定义及其三角函数公式大全（2020年10月整理）.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角函数定义及其三角函数公式大全（2020年10月整理）.pptx（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,三角函数定义及其三角函数公式汇总 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 a2 b2 c2 2、如下图，在 RtABC 中，C 为直角，则A 的锐角三角函数为(A 可换成B)：,值。,4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切,值,sin A cos(90 A) cos A sin( 90 A),sin A cos B cos A sin B,由A B 90 得B 90 A,邻边,斜边,A,C,3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦 B,对 a 边,c b,得B 90 A sin（）sin
2、coscossin sin（）sincoscossin cos（）coscossinsin cos（）coscossinsin,由A B 90,1,6、正弦、余弦的增减性： 当 0 90时，sin 随 的增大而增大，cos 随 的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当 0 90时，tan 随 的增大而增大，cot 随 的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）所有未知的边和角。依据： 边的关系： a2 b2 c2 ；角的关系：A+B=90；边角关系：三角函数的定义。(注 意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：
3、视线在水平线下方的角。,铅垂线,水平线,视线,视线,仰角 俯角,i h : l,h,l,2,l,(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即i h 。坡度,一般写成1: m 的形式，如i 1: 5等。,把坡面与水平面的夹角记作 (叫做坡角)，那么i h tan 。,l 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图 3，OA、OB、 OC、OD 的方向角分别是：45、135、225。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于 90的水平角，叫做方向角。如图 4,OA、,OB、OC、OD 的方向角分别是：北偏东 30（东北方向） ，南偏东
4、 45（东南方向）， 南偏西 60（西南方向），北偏西 60（西北方向）。 sin（）sincoscossin sin（）sincoscossin cos（）coscossinsin cos（）coscossinsin,三角函数公式汇总 1,180,弧长扇,2,nR1 L= R=S =L,12 = n R2 R=R 2360,正弦定理：,a,bc,sin Asin Bsin C,= 2R（R 为三角形外接圆半径）, 余弦定理： a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos A b 2 =a 2 +c 2 -2ac cosB,222,2bc,b2 c2 a2,c =a +b -2ab cosC
5、cos A ,2,1,a,2,1,2,2,11abc,3,4R,2,S =a h =ab sin C =bc sin A =ac sin B =2R sin A sin B sin C,= a2 sin B sin C = b2 sin Asin C = c2 sin Asin B =pr= 2sin A2sin B2sin C,p( p a)( p b)( p c),(其中 p 1 (a b c) , r 为三角形内切圆半径),2 同角关系：,商的关系： tg = y = sin = sin sec ctg x cos cos csc xcosysin sin y cos tg r,1,xc
6、os,sec r , tg csc,r,cos x sin ctg,1,ysin ,csc r , ctg sec,倒数关系： sin csc cos sec tg ctg 1 平方关系： sin 2 cos2 sec2 tg 2 csc2 ctg 2 1 a sin b cos a2 b2 sin( ) （其中辅助角 与点（a,b）在同,一象限，且tg b ）,a 函数y= Asin( x ) k 的图象及性质：（ 0, A 0 ）,振幅A，周期T= 2 , 频率f= 1 , 相位 x ，初相 T,4,22,五点作图法：令x 依次为0 , , 3 ,2 求出 x 与 y， 依点,x, y作图
7、 诱导公试,三角函数值等于 的同名三 角函数值，前面加上一个把 看作锐角时，原三角函数 值的符号；即：函数名不变，,符号看象限,三角函数值等于 的异名 三角函数值，前面加上一个 把 看作锐角时，原三角函 数值的符号;即：函数名改 变，符号看象限 和差角公式 sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin ,1 tg tg, tg( ) tg tg tg tg tg( )(1 tg tg ),1 tg tg tg tg tg tg, tg( ) tg tg tg tg tg tg 其中当A+B+C= 时,有:,i). tgA tgB tgC tgA t
8、gB tgC ii). tg A tg B tg A tg C tg B tg C 1 222222 二倍角公式：(含万能公式),1 tg 2, sin 2 2 sin cos 2tg,1 tg 2 1 tg 2, cos 2 cos2 sin 2 2 cos2 1 1 2 sin 2 , tg 2 ,2,22,2,1 cos 2, sin ,1 tg 1 tg ,2tgtg 2,2,5,2,1 cos 2, cos ,三倍角公式： sin 3 3sin 4 sin 3 4 sin sin( 60 ) sin( 60 ) cos 3 3cos 4 cos3 4 cos cos(60 ) cos
9、(60 ),tg tg(60 ,1 3tg 2, tg3 3tg tg 3,) tg(60 ),半角公式：（符号的选择由 所在的象限确定） 2 sin 1 cos sin 2 1 cos cos 1 cos 222222 cos2 1 cos 1 cos 2 sin 2 1 cos 2 cos2 2222,2222, 1 sin (cos sin)2 cos sin ,21 cos1 cossin , tg ,1 cos sin 1 cos,积化和差公式：,sin cos 1 sin( ) sin( ),22,cos sin 1 sin( ) sin( ),cos cos 1 cos( ) c
10、os( ) sin sin 1 cos( ) cos 22 和差化积公式： sin sin 2 sin cos sin sin 2 cos sin 2222 cos cos 2 cos cos cos cos 2 sin sin 2222 反三角函数：,6,最简单的三角方程,7,三角公式汇总 2,一、任意角的三角函数,在角 的终边上任取一点 P(x, y)，记： r ,x2 y2 ，,正弦： sin y余弦： cos x rr 正切： tan y余切： cot x xy 正割： sec r余割： csc r xy 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单 位圆有关的有
11、向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角 的正弦线、余弦线、正切线。 二、同角三角函数的基本关系式 倒数关系： sin csc 1， cos sec 1， tan cot 1 。,cossin ,商数关系： tan sin ， cot cos 。,平方关系： sin 2 cos2 1，1 tan2 sec2 ，1 cot2 csc2 。 三、诱导公式 2k (k Z)、 、 、 、2 的三角函数值，等于 的 同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不 变，符号看象限） 、 、 3 、 3 的三角函数值，等于 的异名函数值， 2222 前面加上一个把 看成锐角时原函数值
12、的符号。（口诀：函数名改变，符号看象 限） 四、和角公式和差角公式 sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin ,tan tan 1 tan tan ,8,tan( ) ,tan tan 1 tan tan ,tan( ) ,五、二倍角公式 sin 2 2sin cos cos2 cos2 sin 2 2cos2 1 1 2sin 2 (),2 tan 1 tan2 ,tan 2 ,二倍角的余弦公式() 有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）,1 c
13、os2 2cos2 1 sin 2 (sin cos)2,1 cos2 2sin 2 1 sin 2 (sin cos)2,。,cos2 1 cos 2 ， sin 2 1 sin 2 ， tan 1 cos 2 sin 2 22sin 21 cos 2 六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）,2 tan 1 tan2 ,sin 2 ,1 tan2 1 tan2 ,， cos 2 ,2 tan 1 tan2 ,， tan 2 ,。,万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切来表示。 七、和差化积公式 sin sin 2sin cos 22 sin sin 2cos sin 2
14、2 cos cos 2cos cos 22 cos cos 2sin sin 22 了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式：,222222,sin sin sin cos cos sin ,222222,9,sin sin sin cos cos sin ,两式相加可得公式，两式相减可得公式。,2222,22,cos, cos cos sin sin ,cos ,222222, cos cos sin sin ,cos cos,2,两式相加可得公式，两式相减可得公式。 八、积化和差公式 sin cos 1 sin( ) sin( ),2,cos sin 1 sin( ) sin(
15、),2,cos cos 1 cos( ) cos( ),sin sin 1 cos( ) cos( ),2 我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。,九、辅助角公式 a sin x b cos x a2 b2 sin( x ) （） 其中：角 的终边所在的象限与点(a,b) 所在的象限相同，,a 2 b2,ba,a 2 b2,a,sin ， cos ， tan b 。,十、正弦定理,c,ab, 2R （ R 为ABC 外接圆半径）,sin Asin Bsin C 十一、余弦定理,a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC 十二、三角形的面积公式,2,ABC,S 1 底高,222,110,ABC,S 1 absin C 1 bcsin A 1 casin B （两边一夹
