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1、1 专题 03 集合的基本运算 考点 6 并集及运算 考点 7 交集及运算 考点 8 补集、全集及运算 考点 9 交、并、补集的混合运算 考点 10 venn 图表达集合的关系及运算 考点 11 集合中元素个数 考点 6 并集及运算 考点 6 并集及运算 并集 （1）定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A B （2）并集的符号语言表示为ABx|xA，或xB （3）性质：ABBA，AAA，A?A，ABA ? B A， AAB 【例】 已知A=x|x1，B=x|x 2 2x30，则 AB= Ax|x1 或x1Bx|1x3 Dx|x1 【答案】 D
2、【解析】A=x|x1，B=x|x 22x30= x| 1x1故选 D 【名师点睛】（1）“ABU”是指所有属于集合A或属于集合B的元素并在一起所构成的集合注意对概 念中“所有”的理解：不能认为“ABU”是由A中的所有元素和B中的所有元素组成的集合，即简单拼 典型例题 要点阐述 2 凑，要满足集合中元素的互异性，A与B的公共元素只能作并集中的一个元素 （2）解决与不等式有关的集合问题时，常借用数轴求解，要注意端点值能否取到 1满足条件 2 ，4M2，4，6，8的集合M的个数是 A8 B6 C4 D2 【答案】 C 【解析】 2 ，4 M2 ，4，6，8，M中必须含有6，8 M可以是 6 ，8 ，
3、2 ，6，8 ，4 ，6，8 ，2，4，6，8 共 4 个 2集合A0 ，2，a ，B1 ，a 2，若 AB0 ，1，2，4， 16，则a的值为 A0 B1 C2 D4 【答案】 D 【易错易混】并集定义中的“或”与生活用语中的“或”的意义不尽相同在并集的定义中，“xA，或x B”包括三种情况：xA但x?B；xB但x?A；xA且xB用 Venn 图（如下图阴影部分）分别表示为： xA，但xB xB，但xAxA，且xB 3已知集合|1,|2AyyxxBx xR，则下列结论正确的是 A3AB3BCABBDABB 【答案】 C 【解析】 由于11xy，1| yyA，因此ABABBABA,3 ,3故答
4、案为 C 【思路点拨】集合 A的含义是函数的值域，求出值域再判断正误即可 4已知集合1,2|21MNb baaM， ，则MNU A1 B1,2 C1,2,3 D 【答案】 C 小试牛刀 3 5已知集合Ax| 3x4，Bx|x5，则AB Ax|x4Bx|x5 Cx|x4 且x5 Dx|x4 或x5 【答案】 D 【解析】将 3x4 与x5 在数轴上表示出来： 由图可得ABx|x4 或x5 【解题技巧】欲求AB，只需将A，B用数轴表示出来，取它们所有元素构成的集合，即得AB 6已知集合RxxxM, 02|，RxxyyN,1| 2 ，则MN等于 Ax|x1Bx|1 x2 Dx|x2 或x0 【答案】
5、 A 【解析】因为2|02|xxxxM,1|, 1| 2 yyRxxyyN，所以M N1| xx 7已知Ax| 2xa1 ，Bx|xa或x2a ，ABR，求实数a的取值范围 【解析】 本题给出了两个待定的集合，且已知ABR，结合数轴表示可求出参数a的取值范围 如图所示， 因为ABR，所以应满足 a 2， 2aa1， 解得 a2， a 1 2， 所以 1 2a2故答案为： a 1 2 a2 1设集合M x|x 2 x,Nx|lgx0,则MN A0,1 B(0,1 C0,1) D( ,1 考题速递 4 【答案】 A 【解析】由题意得M 0,1,N(0,1,故MN0,1,故选 A 2已知集合Ax|
6、1x2,Bx|0x2,Bx|x2,选项 D符合 4设集合M x| 2x5，Nx|2 tx2t1，tR，若MNM，求实数t的取值范围 【答案】 t|t2 【解析】由MNM，可得N?M 当N ?时， 2t12t，解得t 1 3，满足题意 当N ?时，由 221, 215, 22 tt t t ，解得 1 3t 2 综上可知，实数t的取值范围是 t|t2 人之“常情” 喜、怒、哀、乐的并集是人常见的四种表情 数学文化 5 6 考点 7 交集及运算 交集 （1）定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记 作A?B；（ 2）交集的符号语言表示为ABx|xA，且x
7、B； （3）性质：ABBA，AAA，A?，ABA? AB ，ABAB，ABA，ABB 【例】 已知集合A=1，3，5， 7，B=2，3，4，5，则AB= A3 B5 C3 ，5 D1 ，2，3，4，5，7 【答案】 C 【解析】集合A=1，3，5， 7 ，B=2，3，4，5 ，AB=3 ，5 故选 C 【名师点睛】 “ABI”是指属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合注意对概念中“且”的理解： 不能仅认为ABI中的任意元素都是A和B的公共元素， 它同时还表示集合A与B的公共元素都属于ABI， 而且并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A和集合B没有公共元素时，=ABI 1设集合 123A，
8、 ， ，集合 2 2B， ，则 ABI A3 ，2 B2 C 2，2 D 2， 1，2，3 2已知集合 101A， ， ，| 11Bxx,，则 ABI A 0B 1 0，C 0 1，D 101， 【答案】 B 【解析】根据两集合交集的定义求解 101A， ， ，| 11Bxx,，且1B， 10ABI， 【方法技巧】求两个集合的交集，关键在于弄清两个集合由哪些元素构成，因而有时需要对集合进行转化， 或具体化、形象化，若一个集合元素的特征由不等式给出，利用数轴就能使问题直观形象起来 小试牛刀 典型例题 要点阐述 7 3若集合A x|x| 1，Bx|x0，则AB Ax| 1x1Bx|x0 Cx|0
9、x1Dx| 1x0 【答案】 C 【解题技巧】利用数轴寻找集合A与B的公共部分，即为AB 4已知集合A（x，y）|y2x1 ，Bx|yx 1，则AB A 2 B （ 2， 3） C?D 3 【答案】 C 【解析】由于A是点集，B是数集，AB? 【概念辨析】（1）概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元 素 （2）定义中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素 （3）定义中“xA且xB”与“xABI”是等价的，即由既属于A又属于B的元素组成的集合为 ABI，而只属于集合A或只属于集合B的元素不属于ABI 5设集合1,2,3 ,|23P
10、Qxx，则下列结论正确的是 APQBPQPI CPQPIDPQQI 【答案】 C 【解析】由题意，得3, 2QP,则PQPI 6已知集合1,2,3,4A， 2, Bx xnnA，则ABI A1,4B2,3 C9,16D1,2 【答案】 A 8 【解析】先求集合B，再进行交集运算 1,2,3,4AQ, 2, Bx xnnA,1,4,9,16B，1,4ABI 7设方程x 2px120 的解集为 A，方程x 2qx r0 的解集为B，且AB，AB 3,4 ，AB 3 ，求p，q，r的值 1设集合A 1,3,5,7,Bx|2 x5,则AB A1,3 B3,5 C5,7 D1,7 【答案】 B 【解析】
11、由A1,3,5,7,B x|2 x5,得AB3,5 故选 B 2已知集合A1,2,3,Bx|x 29 ,则AB A 2,1,0,1,2,3 B 2,1,0,1,2 C1,2,3 D1,2 【答案】 D 【解析】由x 29 解得 3x3, Bx| 3x3,又因为A1,2,3,所以AB 1,2 故选 D 【易错易混】一元二次不等式x 29 的解容易求错，有些同学不理解，直接开方 3已知集合Ax|2x4,Bx|x5,则AB Ax|2x5 Bx|x5 Cx|2x3 Dx|x5 【答案】 C 【解析】由题意,得ABx|2x4x|x5 x|2x3 考题速递 9 4已知集合Ax|2x4,Bx|(x1)(x3
12、)0,则AB A(1,3) B(1,4) C(2,3) D(2,4) 【答案】 C 交汇 铁路轨道交汇处是两轨道的交集。 数学文化 10 考点 8 补集、全集及运算 1全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U 2补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补 集，记作 UA e补集的符号语言表示为UAx|xU，且x?A 3补集与全集的性质： （1） UU?；（ 2）U?U；（ 3）U（UA）A； （4）A（UA）U；（ 5）A（UA） ? 【例】 已知全集U=R，集合A=x| 3x3，则 ?UA= A（
13、 3，3）B 3，3 C（，3）（ 3，+）D（，3 3 ，+） 【解题必备】 |, U Ax xUxA且e 全集与补集的性质：一个集合与其补集的并集是全集，即()= U AAUU e；一个集合与其补集的交集是空 集，即()= U AAIe；一个集合的补集的补集是其本身，即()= UU AA痧；空集的补集是全集，即= U Ue； 全集的补集是空集，即= UU e若AB，则 ()() UU AB痧；反之，若()() UU AB痧，则BA； 若=A B，则= UUAB痧；反之，若=UUAB痧，则=A B；德 ? 摩根定律：并集的补集等于补集的交集，即 ()=()() UUU ABABUI痧?；交集
14、的补集等于补集的并集，即()=()() UUU ABABIU痧? 1如 图 是 一 个 结 构 图 ， 在 框 中 应 填 入 小试牛刀 典型例题 要点阐述 11 A空集B补集C子集D全集 【答案】 B 2设全集1,2,3,4,5U，集合1,2A，则UA= A1,2B3,4,5C1,2,3,4,5D 【答案】 B 【解析】根据补集的定义计算, 1,2,3,4,5UQ,1,2A, UA=3,4,5 【概念辨析】（1）补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集比 如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R 当作全集，而在数论的研究中，我们往往将整数集当作 全集 （2
15、）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，当然也是一种数学思想 （3）从符号的角度来看，若xU，则xA和xeUA二者必居其一 3若全集 0,1,2,3U 且 2 U Ae ，则集合A的真子集共有 A3个B5个C7个D8个 【答案】 C 【解析】0,1,3A，真子集有 3 217 4已知全集U0，1，2，且 ?UA2 ，则A A0 B1 C?D0，1 【答案】 D 【解析】 ?UA2 ， 2?A，又U0，1，2，A0，1 【解题技巧】根据补集的定义，在全集U中去掉集合UA中的元素，即可得到集合A 5设全集U=R，集合P=x| 2x3，则 ?UP= Ax|x2 或x3Bx|x3 1
16、2 Cx|x 2 或x3 Dx|x 2 或x3 【答案】 A 【解析】在数轴上表示出集合P，如图， 所以 U eP=x|x2 或x 3 6若 全 集U= 1， 0， 1， 2 ，P=xZ|x 22 ， 则 集 合 P关 于 全 集U的 补 集 是 A2 B0 ，2 C 1，2 D 1， 0，2 【答案】 A 【解析】全 集U= 1， 0， 1， 2 ，P=xZ|x 22= 1， 0， 1 ， ?UP=2 【易错易混】集合P是 不 等 式x 2 2 的 整 数 解 集 7设全集U a 22, 2,1 ，Aa,1，求 ?UA 1已知全集U1,2,3,4,5,6,7,集合A1,3,5,6,则?UA 【答案】 C 【解析】由题意知?UA2,4,7,选 C 2已知全集U1,2,3,4,5,集合A1,2
