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1、侧视图 2 1 2 俯视图 2 正视图 高三第二次联考数学（理）试题 考试时间： 120 分钟试卷总分： 150 分 一、选择题：本大题共l2 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1. 已知集合 ln(1)Mx yx, 集合|, x Ny yexR( 为自然对数的底数), 则MN( ) A.|1x x B.|1 x x C.| 01xx D. 2. 若复数满足 2 z12i13i (i为虚数单位） , 则Z( ) A. -2+4i B. -2-4i C. 4+2i D. 4-2i 3. 若fx为偶函数，且当0,x时, 2 sin(01) 2 l
2、n(1) xx fx xx x , 则不等式11fx的解集为 ( ) A. 02xx B.11xx C.01xx D.22xx 4. 现有 5 人参加抽奖活动，每人依次从装有5 张奖票 ( 其中 3 张为中奖票 ) 的箱子中 不放回地随机抽取一张，直到3 张中奖票都被抽出时活动结束， 则活动恰好在第4 人抽完后结束的概率为( ) A. 1 10 B. 1 5 C. 3 10 D. 2 5 5. 在等差数列 n a中， 810 1 1 2 aa，则数列 n a的前 11 项和 11 S( ) A. 8 B. 16 C. 22 D. 44 6. 一个几何体的三视图如图所示, 该几何体的体积为( )
3、 A. 8 3 B. 4 3 C. 8 9 D. 4 9 7已知函数( )2sin()1fxx（1，| 2 ）, 其图像与直线1y相邻两个交点的距离为, 若( )1f x对于任意的(,) 123 x恒成立 , 则的取值范围是（） A., 123 B., 12 2 C.(, 62 D., 63 8已知抛物线xy4 2 上有三点CBA,，CABCAB,的斜率分别为3，6，2， 则 ABC的重心坐标为（ ） A) 1 , 9 14 ( B)0 , 9 14 ( C)0, 27 14 ( D)1 , 27 14 ( 9已知函数 2 1 12 1 )( x xf，nm,满足0)2()2( 22 mnfn
4、mf， 则|47|nm的取值范围是（） A2,12 B2,22 C12,22 D1210 2,12102 10. 在平面直角坐标系xOy中，已知两圆 1 C：12 22 yx和 2 C：14 22 yx， 又点坐标为)1,3(，NM ,是 1 C上的动点，Q为 2 C上的动点， 则四边形AMQN能构成矩形的个数为（） A0 个 B2 个 C4 个 D无数个 11如图所示 , 圆形纸片的圆心为O, 半径为5 cm, 该纸片上的正方形ABCD的中心为 . , ,G,H为圆上的点 , EAB,FBC,GCD,HDA分别 是以AB,BC,CD,DA为底边的等腰三角形. 沿虚线剪开后 , 分别 以AB,
5、BC,CD,DA为折痕折起 EAB,FBC,GCD , HDA, 使得 , ,G,H重合 , 得到四棱锥 . 当正方形ABCD的边长变化 时，所得四棱锥体积( 单位： 3 cm ) 的最大值为 ( ) A.3 3 B. 8 5 3 C.3 5 D. 3 516 12. 定 义 在 上 函 数xf满 足fxfx， 且 对 任 意 的 不 相 等 的 实 数 12 ,0,x x有 12 12 0 f xf x xx 成立，若关于的不等式2ln3fmxx232ln3ffmxx 在1,3x上恒成立，则实数的取值范围是（） A 1ln 6 ,1 26e B 1ln 3 ,1 26e C. 1ln 3 ,
6、2 3e D 1ln 6 ,2 3e 二、填空题：本题共4 题，每小题5 分，共 20 分 13. 已知向量 ba, 夹角为 0 60 ，且 1|a ， 10|2|ba ，则 |b . 14. 已知锐角三角形ABC中, 角 A、B、C所对的边分别为a、b、c，若2 cosaBca, 则 2 sin sin() A BA 的取值范围是 15. 已知数列 n a满足 3 4 1 a，数列 1 2 n n a a 是公比为2 的等比数列， 则 n aaaaaaaaa 21321211 1111 . 16. 设函数 2 3 x fxxe, 若函数 2 6 16 G xfxafx e 有 6 个不同的零
7、点, 则实数的取值范围是 . 三、解答题：( 本大题共6 小题共75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17 （本小题满分12 分） 如图，ABC是等边三角形，是BC边上的动点（含端点） ， 记,BADADC. （1）求coscos2的最大值； （2）若 7 1 cos, 1BD，求ABD的面积 . 18. （本小题满分12 分） 如图 , 三棱柱 111 ABCA B C的所有棱长均为, 底面ABC侧面 11 AA B B, 0 11 60 ,AA BP为 1 CC的中点 , 11 ABA BO. (1) 证明： 1 AB平面 1 AOP. (2) 若M是棱AC上一点 , 且
8、满足 0 45MOP , 求二面角 1 MBBA的余弦值 . 19 （本小题满分12 分） 某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱, 一片心 , 诚信用水”活动, 学生在购水处每领取一 瓶矿泉水 , 便自觉向捐款箱中至少投入一元钱. 现统计了连续5 天的售出和收益情况,如下表： (1) 若与成线性相关, 则某天售出8 箱水时 , 预计收益为多少元？ (2) 期中考试以后,学校决定将诚信用水的收益, 以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生, 规定：特困生 考入年级前200 名，获一等奖学金500 元；考入年级201500 名，获二等奖学金300 元；考入年级501 售出水量x（单位：箱）
9、7 6 6 5 6 收益 y（单位：元）165 142 148 125 150 名以后的特困生将不获得奖学金. 甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为 5 2 , 获二等奖学金的概率均为 3 1 , 不获得奖学金的概率均为 15 4 . 在学生甲获得奖学金条件下,求他获得一等奖学金的概率； 已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的, 求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望. 附： n i i n i ii xx yyxx b 1 2 1 )( )( , xbya . 20 （本小题满分12 分） 设常数2t，在平面直角坐标系xOy中，已知点)0,2(F， 直线l：tx，
10、曲线：)0,0(8 2 ytxxy.l与轴交于点， 与交于点QPB,分别是曲线与线段AB上的动点 . （1）设 3t ，2| FQ，线段OQ的中点在直线 FP上， 求AQP的面积； （2）设8t，是否存在以FQFP,为邻边的矩形FPEQ， 使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由. 21 （本小题满分12 分） 已知函数 2 4 xx fxe x . (1) 讨论函数的单调性, 并证明当2x时 , 2 40 x xex； (2) 证明：当0,1a时，函数 2 2 3 (2) 2 x eaxa g xx x 有最小值 , 设g x最小值为h a, 求函数h a的值域 . 请考生在22、
11、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22（本小题满分10 分）选修 4-4 ：坐标系与参数方程 以平面直角坐标系xOy的原点为极点, 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系 , 两种坐标系中取相同的长度单 位, 直线l的参数方程为 2 2 2 2 1 2 xt yt , 圆C的极坐标方程为42sin 4 . (1) 求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程； (2) 设曲线 C与直线l交于 ,A B两点 , 若点的直角坐标为2,1, 求 PAPB的值 . 23（本小题满分10 分）选修 4-5 ：不等式选讲 已知函数, (1) 解不等式； (2) 若不等式的解集为，且满足， 求实
12、数 a 的取值范围 . 2019 届上高二中与新余四中第二次联考 高三数学（理）试卷答案 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分. 二、填空题 : 本大题共4 小题 , 每小题 5 分，满分20 分 13. 17 14. 21 , 22 15. 1 11 2 2 n n 16. 33 826 , 3ee 三解答题：本大题共6 小题，共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17解：（1）由ABC是等边三角形，得 3 ， 3 0， 故coscos2) 3 sin(3) 3 cos(cos2， 故当 6 时，即为BC中点时，原式取得最大值3. （2）由 7 1 c
13、os，得 7 34 sin，故 14 33 3 sincos 3 cossin) 3 sin(sin， 由正弦定理得 BAD BD ADB AB sinsin ，故 3 8 1 14 33 7 34 sin sin BDAB ， 故 3 32 2 3 1 3 8 2 1 sin 2 1 BBDABS ABD . 18. 解： (1) 取的中点，连接，易证为平行四边形，从而. 由底面侧面，底面侧面， 底面，所以侧面，即侧面， 又侧面，所以，又侧面为菱形，所以， 从而平面，因为平面，所以. (2) 由 (1) 知， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为侧面是边长为2 的菱形，且， 所以，
14、 ， 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案C A A C C A D C B D D B 得. 设，得， 所以，所以. 而. 所以，解得. 所以，. 设平面的法向量，由得， 取. 而侧面的一个法向量. 设二面角的大小为 . 则 19. 解：解 (1)6 5 65667 x , 146 5 150125148142165 y , 20 01001 0210019 )( )( 1 2 1 n i i n i ii xx yyxx b, 26620146 xbya , ,当 8x 时 , 18626820 y , 即某天售出8 箱水的预计收益是186 元. (2) 设事件A
15、为“学生甲获得奖学金”, 事件B为“学生甲获得一等奖学金”, 则 2 ()6 5 (|) 11 ( )11 15 P AB P B A P A , 即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为 11 6 . X的取值可能为0,300,500,600,800,1000, , , 即的分布列为 6816144 ()03005006008001000600 225457591525 E X（元） 20 解：（1）)0,2(F，2| FQ，3t，则1| FA， 3| AQ， (3,3)Q，设OQ的中点， 33 ( ,) 22 D， 3 0 2 3 3 2 2 DF k ，则直线PF方程：)2(3 xy， 联立得012203 2 xx，解得 3 2 x，6x（舍去）， AQP的面积 6 37 3 2 1 S （2）存在，设 2 (,) 8 m Pm，则 22 8 16 2 8 PF mm k mm ， 2 16 8 QF m k m ， 直线QF方程为 2 16 (2) 8 m yx m ， 22 16483 (82) 84 Q mm y mm ， 2 483 (8,) 4 m Q m ，根据FEFQFP，则
