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1、1 第 2 章 研究圆周运动 章末总结 一、圆周运动的动力学问题 1 分析物体的运动情况，明确圆周轨道在怎样的一个平面内，确定圆心在何处， 半径是多大 2分析物体的受力情况，弄清向心力的来源，跟运用牛顿第二定律解直线运动问题一样，解 圆周运动问题，也要先选择研究对象，然后进行受力分析，画出受力示意图 3由牛顿第二定律Fma列方程求解相应问题，其中F是指向圆心方向的合外力( 向心力 )， a是向心加速度 例 1如图 1 所示，一根长为L2.5 m的轻绳两端分别固定在一根竖直棒上的A、B两点， 一个质量为m0.6 kg的光滑小圆环C套在绳子上，当竖直棒以一定的角速度转动时，圆 环C在以B为圆心的水
2、平面上做匀速圆周运动(37，g10 m/s 2，sin 37 0.6 ，cos 37 0.8) ，则： 2 图 1 (1) 此时轻绳上的张力大小等于多少？ (2) 竖直棒转动的角速度为多大？ 答案(1)10 N (2)33 rad/s 解析对圆环受力分析如图 (1) 圆环在竖直方向所受合外力为零， 得：Tsin mg，所以T mg sin 10 N，即绳子的张力为 10 N. (2) 圆环C在水平面内做匀速圆周运动，由于圆环光滑， 所以圆环两端绳的拉力大小相等BC 段绳水平时，圆环C做圆周运动的半径rBC，则有：r r cos L，解得：r 10 9 m 则：Tcos Tmr 2， 解得：33
3、 rad/s. 二、圆周运动中的临界问题 1临界状态： 当物体从某种特性变化为另一种特性时发生质的飞跃的转折状态，通常叫做临 界状态，出现临界状态时，既可理解为“恰好出现”，也可理解为“恰好不出现” 2轻绳类：轻绳拴球在竖直面内做圆周运动，过最高点时，临界速度为vgr，此时F绳 0. 3轻杆类： (1) 小球能过最高点的临界条件：v0； (2) 当 0vgr时，F为支持力； (3) 当vgr时，F0； (4) 当vgr时，F为拉力 4. 汽车过拱形桥：如图2 所示，当压力为零时，即Gm v 2 R0， vgR，这个速度是汽车能 3 正常过拱形桥的临界速度vgR是汽车安全过桥的条件 图 2 5摩
4、擦力提供向心力：如图 3 所示， 物体随着水平圆盘一起转动，物体做圆周运动的向心力 等于静摩擦力， 当静摩擦力达到最大时，物体运动速度也达到最大，由fmm vm 2 r 得vm fmr m ， 这就是物体以半径r做圆周运动的临界速度 图 3 例 2如图 4 所示，AB为半径为R的光滑金属导轨( 导轨厚度不计) ，a、b为分别沿导轨上、 下两表面做圆周运动的小球( 可看做质点 ) ，要使小球不脱离导轨，则a、b在导轨最高点的速 度va、vb应满足什么条件？ 图 4 答案vagRvbgR 解析对a球在最高点，由牛顿第二定律得： m agNamav a 2 R 要使a球不脱离轨道， 则Na0 由得：
5、vagR 对b球在最高点，由牛顿第二定律得： mbgNbmbv b 2 R 要使b球不脱离轨道， 则Nb0 由得：vbgR. 4 针对训练如图 5所示， 一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度转动， 盘面上离转轴距离2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因 数为 3 2 ( 设最大静摩擦力等于滑动摩擦力) ，盘面与水平面的夹角为30，g取 10 m/s 2，则 的最大值是 ( ) 图 5 A.5 rad/s B.3 rad/s C1.0 rad/s D0.5 rad/s 答案C 解析当物体转到圆盘的最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度最
6、大，由 牛顿第二定律得：mgcos 30 mgsin 30 m 2r 则 g cos 30 sin 30 r 10 3 2 3 2 1 2 2.5 rad/s1.0 rad/s ，故选项 C 正确 三、圆周运动与平抛运动结合的问题 例 3如图 6 所示，一水平轨道与一竖直半圆轨道相接，半圆轨道半径为R 1.6 m ，小球 沿水平轨道进入半圆轨道，恰能从半圆轨道顶端水平射出求：( 不计空气阻力，g取 10 m/s 2) 图 6 (1) 小球射出后在水平轨道上的落点与出射点的水平距离； (2) 小球落到水平轨道上时的速度大小 答案(1)3.2 m (2)45 m/s 解析因为小球恰能从半圆轨道顶端
7、水平射出，则在顶端小球由重力充当向心力有：mgm v0 2 R 所以v0gR4 m/s (1) 水平射出后小球做平抛运动，则有： 竖直方向： 2R1 2gt 2 水平方向：sv0t 5 所以解得s 3.2 m (2) 因为：vygt 8 m/s 所以：vv0 2v y 2 45 m/s 例 4如图 7 所示，一个人用一根长1 m 、只能承受74 N拉力的绳子，拴着一个质量为1 kg 的小球，在竖直平面内做圆周运动，已知圆心O离地面高h6 m 转动中小球在最低点时绳 子恰好断了(取g10 m/s 2，不计空气阻力 ) 图 7 (1) 绳子断时小球运动的角速度为多大？ (2) 绳断后，小球落地点与抛出点间的水平距离是多少？ 答案(1)8 rad/s (2)8 m 解析(1) 设绳断时角速度为，由牛顿第二定律得， Tmgm 2L，由题意知 T73 N ， 代入数据得8 rad/s. (2) 绳断后，小球做平抛运动，其初速度v0L8 m/s. 由平抛运动规律有hL 1 2gt 2. 得t1 s 水平距离sv0t8 m.
