《2020高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2抛物线的简单性质(一)作业2北师大版选修1-1》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2020高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2抛物线的简单性质(一)作业2北师大版选修1-1(6页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1 2.2.2 抛物线的简单性质(一) A. 基础达标 1以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x 2 y 22x6y9 0 的圆心的抛物线的 方程是 ( ) Ay3x 2 或y 3x 2 By3x 2 Cy 2 9x 或y3x 2 Dy 3x 2 或y 29x 解析:选D.圆的方程可化为(x1) 2( y3) 21,圆心为 (1 , 3) ,由题意可设抛物 线方程为y 22px( p0)或x 2 2py( p0)把 (1 , 3) 代入得 92p或 16p, 所以p 9 2或 p1 6,所以 y 29x 或x 21 3y. 2设M(x0,y0)为抛物线C:x 28y 上一点,F为抛物线C的焦点
2、,以F为圆心, |FM| 为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是 ( ) A(0, 2) B0 ,2 C(2, ) D2 ,) 解析:选 C. 圆心到抛物线准线的距离为p4,根据题意只要|FM|4 即可,由抛物线定 义, |FM| y02,由y024,解得y02,故y0的取值范围是(2 , ) 3已知抛物线y 22px( p0)的经过焦点的弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1) ,B(x2, y2) ,则 y1y2 x1x2的值一定等于 ( ) A4 B 4 Cp 2 Dp 2 解析:选 B. 当AB的斜率为k时,AB所在的直线方程为yk xp 2 ,代入y 22px 得: k
3、2x2( k 2p2p) x k 2p2 4 0. 根据根与系数的关系可得 x1x2 k 2p2p k 2, x1x2 p 2 4 , y1y2k 2 x1 p 2 x2 p 2 p 2,故y1y2 x1x2 4. 当AB斜率不存在时,即ABx轴,易得 y1y2 x1x2 4. 4过抛物线yax 2( a0)的焦点F的直线交抛物线于P,Q两点,若线段PF与FQ的长 分别是p,q,则 1 p 1 q等于 ( ) A2aB. 1 2a C4aD. 4 a 解析:选 C. 设直线方程为ykx 1 4a,代入 yax 2,得 ax 2 kx 1 4a 0. 2 由根与系数的关系可得 x1x2k a,
4、x1x2 1 4a 2. py1 1 4a kx1 1 2a,q y2 1 4akx 2 1 2a,所以 1 p 1 q 1 kx1 1 2a 1 kx2 1 2a k 21 a k 21 4a 2 4a. 5已知抛物线yx 2 上有一定点A( 1,1) 和两动点P、Q,当PAPQ时,点Q的横坐 标的取值范围是( ) A( , 3 B1 ,) C 3,1 D( , 3 1 ,) 解析:选 D. 设P(x0,x 2 0) ,Q(x,x 2) ,其中 x0 1,xx0, 则PA ( 1x0,1x 2 0) ,PQ (xx0,x 2 x 2 0) , 因为PAPQ, 所以PA PQ 0. 所以 (1
5、 x0)(xx0) (1 x 2 0)(x 2 x 2 0) 0, 即 1 (1 x0)(xx0) 0, 所以xx0 1 1x0 (1 x0) 1 1x01, 当x01 时, 1x0 1 1x0 (x01) 1 x01 2,当且仅当 x02 时,等号成立, 所以x 21 3, 故点Q的横坐标的取值范围是( , 3 1 , ) 6将两个顶点在抛物线y 22px( p0) 上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个 数记为n,则n_ 解析:根据抛物线对称性知正三角形的一边平行于y轴,又过焦点且与x轴的夹角为 30的直线有两条,故符合题意的正三角形有两个 答案: 2 7已知点A、B是抛物线y 24x
6、 上的两点,O是坐标原点,OA OB 0,直线AB交x 轴于点C,则 |OC | _ 解析:设A、B的坐标分别为 y 2 1 4 ,y1、 y 2 2 4 ,y2, 因为OA OB 0,所以 y 2 1 4 y 2 2 4 y1y20, 即y1y2 16.AB所在的直线方程为yy1 y2y1 y 2 2 4 y 2 1 4 (x y 2 1 4 ) 4 y1y2( x y 2 1 4 ) , 令y0,得x y1y2y 2 1 4 y 2 1 4 y1y2 4 4. 答案: 4 3 8已知直线yk(x2)(k0) 与抛物线y 28x 相交于A、B两点,F为抛物线的焦点, 若|FA| 3|FB|
7、,则k的值为 _ 解析:设A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,易知x10,x20,y10,y20) 为抛物线C:y 22px( p0) 上一点,F为抛物线C的焦点, 且|MF| 5. (1) 求抛物线C的方程; (2)MF的延长线交抛物线于另一点N,求N的坐标 解: (1) 因为 |MF| 3 p 25,所以 p4, 所以抛物线方程为y 28x. (2) 由题意知MF不垂直于x轴,故设MF所在直线方程为yk(x 2) , 联立 yk(x 2), y 28x, 得k 2x2(4 k 28) x4k 20, 由根与系数的关系得xMxN 4k 2 k 24, 因为xM3,所以xN 4 3. 因为
8、N为MF的延长线与抛物线的交点,由图像可知yN0)的准线与圆x 2 y 24y50 相切,则 p的值为 ( ) A10 B6 C. 1 8 D. 1 24 解析:选 C.抛物线方程可化为x 21 2py( p0),由于圆x 2( y2) 29 与抛物线的准线 y 1 8p相切,所以 32 1 8p,所以 p1 8. 2如图,F为抛物线y 24x 的焦点,A,B,C在抛物线上,若FA FB FC 0,则 |FA | |FB | | FC | ( ) A6 B4 C3 D2 解析:选A.设A,B,C三点的横坐标分别为xA,xB,xC由FA FB FC 0 得 xAxBxC 3, 所以 |FA |
9、| FB | | FC | xAp 2 xB p 2 xC p 2336. 3已知抛物线y 24x 的焦点为F,准线与x轴的交点为M,N为抛物线上的一点,且满 足|NF| 3 2 |MN| ,则NMF_ 解析:过点N作准线的垂线交准线于点N1,则 cos NMFcos N1NM| NN1| |MN| |NF| |MN| 3 2 ,故NMF 6 . 答案: 6 4已知抛物线C:y 22x 的焦点为F,抛物线C上的两点A,B满足AF 2FB . 若点 T 1 2,0 ,则 |TA| |TB| 的值为 _ 解析:设A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,(y10,y20) 因为点P(1 ,2)在抛物
10、线上,所以2 22p1,解得 p2. 所以所求抛物线的方程是y 2 4x,准线方程是 x 1. (2) 设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB,则kPA y12 x11,k PBy 22 x21, 因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,所以kPAkPB. 由A(x1,y1) ,B(x2,y2) 均在 抛物线上,得 y 2 14x1, y 2 24x2, 所以 y12 1 4y 2 11 y2 2 1 4y 2 21 ,所以y12 (y22) ,所以y1y2 4. 由得直线AB的斜率为 1. 6( 选做题 ) 已知直线l过坐标原点, 抛物线C的顶点在原点, 焦点在x轴正半轴上 若 点A
11、( 1,0) 和点B(0,8) 关于l的对称点都在C上,求直线l和抛物线C的方程 解:依题设抛物线C的方程可写为y 22px( p0), 且x轴和y轴不是所求直线,又l过原点,因而可设l的方程为ykx(k0), 设A,B分别是A,B关于l的对称点, 因而AAl,直线AA的方程为y 1 k( x 1) , 由联立解得AA与l的交点M的坐标为 1 k 21, k k 21 . 又M为AA的中点, 从而点A的横坐标为xA 2 1 k 211 k 2 1 k 2 1, 纵坐标为yA2 k k 210 2k k 21. 同理得点B的横、纵坐标分别为xB 16k k 21,yB 8(k 2 1) k 21
12、. 又A,B均在抛物线y 2 2px( p0)上, 由得 2k k 21 2 2p k 21 k 21, 6 由此知k1,即p 2k 2 k 41. 同理由得 8(k 21) k 21 2 2p 16k k 21即p 2(k 21)2 (k 21) k . 从而 2k 2 k 4 1 2(k 21)2 (k 21)k, 整理得k 2 k10, 解得k11 5 2 ,k2 15 2 . 但当k 15 2 时,由知xA 5 5 0) 上矛盾,故舍去k2 15 2 . 所以k 15 2 ,则直线l的方程为y 15 2 x. 将k1 5 2 代入,求得p 25 5 . 所以直线方程为y 15 2 x. 抛物线方程为y 24 5 5 x.