《2020高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2抛物线的简单性质(一)作业2北师大版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2抛物线的简单性质(一)作业2北师大版选修1-1（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 2.2.2 抛物线的简单性质（一） A. 基础达标 1以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x 2 y 22x6y9 0 的圆心的抛物线的 方程是 ( ) Ay3x 2 或y 3x 2 By3x 2 Cy 2 9x 或y3x 2 Dy 3x 2 或y 29x 解析：选D.圆的方程可化为(x1) 2( y3) 21，圆心为 (1 ， 3) ，由题意可设抛物 线方程为y 22px( p0)或x 2 2py( p0)把 (1 ， 3) 代入得 92p或 16p， 所以p 9 2或 p1 6，所以 y 29x 或x 21 3y. 2设M(x0，y0)为抛物线C：x 28y 上一点，F为抛物线C的焦点
2、，以F为圆心， |FM| 为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是 ( ) A(0， 2) B0 ，2 C(2， ) D2 ，) 解析：选 C. 圆心到抛物线准线的距离为p4，根据题意只要|FM|4 即可，由抛物线定 义， |FM| y02，由y024，解得y02，故y0的取值范围是(2 ， ) 3已知抛物线y 22px( p0)的经过焦点的弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1) ，B(x2， y2) ，则 y1y2 x1x2的值一定等于 ( ) A4 B 4 Cp 2 Dp 2 解析：选 B. 当AB的斜率为k时，AB所在的直线方程为yk xp 2 ，代入y 22px 得： k
3、2x2( k 2p2p) x k 2p2 4 0. 根据根与系数的关系可得 x1x2 k 2p2p k 2， x1x2 p 2 4 ， y1y2k 2 x1 p 2 x2 p 2 p 2，故y1y2 x1x2 4. 当AB斜率不存在时，即ABx轴，易得 y1y2 x1x2 4. 4过抛物线yax 2( a0)的焦点F的直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长 分别是p，q，则 1 p 1 q等于 ( ) A2aB. 1 2a C4aD. 4 a 解析：选 C. 设直线方程为ykx 1 4a，代入 yax 2，得 ax 2 kx 1 4a 0. 2 由根与系数的关系可得 x1x2k a，
4、x1x2 1 4a 2. py1 1 4a kx1 1 2a，q y2 1 4akx 2 1 2a，所以 1 p 1 q 1 kx1 1 2a 1 kx2 1 2a k 21 a k 21 4a 2 4a. 5已知抛物线yx 2 上有一定点A( 1，1) 和两动点P、Q，当PAPQ时，点Q的横坐 标的取值范围是( ) A( ， 3 B1 ，) C 3，1 D( ， 3 1 ，) 解析：选 D. 设P(x0，x 2 0) ，Q(x，x 2) ，其中 x0 1，xx0， 则PA ( 1x0，1x 2 0) ，PQ (xx0，x 2 x 2 0) ， 因为PAPQ， 所以PA PQ 0. 所以 (1
5、 x0)(xx0) (1 x 2 0)(x 2 x 2 0) 0， 即 1 (1 x0)(xx0) 0， 所以xx0 1 1x0 (1 x0) 1 1x01， 当x01 时， 1x0 1 1x0 (x01) 1 x01 2，当且仅当 x02 时，等号成立， 所以x 21 3， 故点Q的横坐标的取值范围是( ， 3 1 ， ) 6将两个顶点在抛物线y 22px( p0) 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个 数记为n，则n_ 解析：根据抛物线对称性知正三角形的一边平行于y轴，又过焦点且与x轴的夹角为 30的直线有两条，故符合题意的正三角形有两个 答案： 2 7已知点A、B是抛物线y 24x
6、 上的两点，O是坐标原点，OA OB 0，直线AB交x 轴于点C，则 |OC | _ 解析：设A、B的坐标分别为 y 2 1 4 ，y1、 y 2 2 4 ，y2， 因为OA OB 0，所以 y 2 1 4 y 2 2 4 y1y20， 即y1y2 16.AB所在的直线方程为yy1 y2y1 y 2 2 4 y 2 1 4 (x y 2 1 4 ) 4 y1y2( x y 2 1 4 ) ， 令y0，得x y1y2y 2 1 4 y 2 1 4 y1y2 4 4. 答案： 4 3 8已知直线yk(x2)(k0) 与抛物线y 28x 相交于A、B两点，F为抛物线的焦点， 若|FA| 3|FB|
7、，则k的值为 _ 解析：设A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，易知x10，x20，y10，y20) 为抛物线C：y 22px( p0) 上一点，F为抛物线C的焦点， 且|MF| 5. (1) 求抛物线C的方程； (2)MF的延长线交抛物线于另一点N，求N的坐标 解： (1) 因为 |MF| 3 p 25，所以 p4， 所以抛物线方程为y 28x. (2) 由题意知MF不垂直于x轴，故设MF所在直线方程为yk(x 2) ， 联立 yk（x 2）， y 28x， 得k 2x2(4 k 28) x4k 20， 由根与系数的关系得xMxN 4k 2 k 24， 因为xM3，所以xN 4 3. 因为
8、N为MF的延长线与抛物线的交点，由图像可知yN0)的准线与圆x 2 y 24y50 相切，则 p的值为 ( ) A10 B6 C. 1 8 D. 1 24 解析：选 C.抛物线方程可化为x 21 2py( p0)，由于圆x 2( y2) 29 与抛物线的准线 y 1 8p相切，所以 32 1 8p，所以 p1 8. 2如图，F为抛物线y 24x 的焦点，A，B，C在抛物线上，若FA FB FC 0，则 |FA | |FB | | FC | ( ) A6 B4 C3 D2 解析：选A.设A，B，C三点的横坐标分别为xA，xB，xC由FA FB FC 0 得 xAxBxC 3， 所以 |FA |
9、| FB | | FC | xAp 2 xB p 2 xC p 2336. 3已知抛物线y 24x 的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满 足|NF| 3 2 |MN| ，则NMF_ 解析：过点N作准线的垂线交准线于点N1，则 cos NMFcos N1NM| NN1| |MN| |NF| |MN| 3 2 ，故NMF 6 . 答案： 6 4已知抛物线C：y 22x 的焦点为F，抛物线C上的两点A，B满足AF 2FB . 若点 T 1 2，0 ，则 |TA| |TB| 的值为 _ 解析：设A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，(y10，y20) 因为点P(1 ，2)在抛物
10、线上，所以2 22p1，解得 p2. 所以所求抛物线的方程是y 2 4x，准线方程是 x 1. (2) 设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA y12 x11，k PBy 22 x21， 因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPAkPB. 由A(x1，y1) ，B(x2，y2) 均在 抛物线上，得 y 2 14x1， y 2 24x2， 所以 y12 1 4y 2 11 y2 2 1 4y 2 21 ，所以y12 (y22) ，所以y1y2 4. 由得直线AB的斜率为 1. 6( 选做题 ) 已知直线l过坐标原点， 抛物线C的顶点在原点， 焦点在x轴正半轴上 若 点A
11、( 1，0) 和点B(0，8) 关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程 解：依题设抛物线C的方程可写为y 22px( p0)， 且x轴和y轴不是所求直线，又l过原点，因而可设l的方程为ykx(k0)， 设A，B分别是A，B关于l的对称点， 因而AAl，直线AA的方程为y 1 k( x 1) ， 由联立解得AA与l的交点M的坐标为 1 k 21， k k 21 . 又M为AA的中点， 从而点A的横坐标为xA 2 1 k 211 k 2 1 k 2 1， 纵坐标为yA2 k k 210 2k k 21. 同理得点B的横、纵坐标分别为xB 16k k 21，yB 8（k 2 1） k 21
12、. 又A，B均在抛物线y 2 2px( p0)上， 由得 2k k 21 2 2p k 21 k 21， 6 由此知k1，即p 2k 2 k 41. 同理由得 8（k 21） k 21 2 2p 16k k 21即p 2（k 21）2 （k 21） k . 从而 2k 2 k 4 1 2（k 21）2 （k 21）k， 整理得k 2 k10， 解得k11 5 2 ，k2 15 2 . 但当k 15 2 时，由知xA 5 5 0) 上矛盾，故舍去k2 15 2 . 所以k 15 2 ，则直线l的方程为y 15 2 x. 将k1 5 2 代入，求得p 25 5 . 所以直线方程为y 15 2 x. 抛物线方程为y 24 5 5 x.
