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1、1 中考数学专题圆的位置关系中考数学专题圆的位置关系 第一部分第一部分 真题精讲真题精讲 【例 1】已知：如图，AB 为O 的直径，O 过 AC 的中点 D，DEBC 于点 E （1）求证：DE 为O 的切线； （2）若 DE=2，tanC=，求O 的直径 1 2 O E D C B A 【例【例 2】 已知 ： 如图， O 为的外接圆，为O 的直径， 作射线， 使得平分， 过点作ABCBCBFBACBFAADBF 于点.（1）求证：为O 的切线；（2）若，求O 的半径. DDA1BD 1 tan 2 BAD O F D C B A 34 2 1 O F D C B A 2 【例【例 3】已知
2、：如图，点是的直径延长线上一点，点 在上，且DOCABO.OAABAD （1）求证：是的切线；BDO （2）若点是劣弧上一点，与相交 于点，且，求的半径长.EBCAEBCF8BE 5 tan 2 BFAO 【例【例 4】如图，等腰三角形中，以为直径作O 交于点，交于点，ABC6ACBC8AB BCABDACG ，垂足为，交的延长线于点DFACFCBE （1）求证：直线是O 的切线；EF （2）求的值sinE D F G COBE A 【例【例 5】如图，平行四边形 ABCD 中，以 A 为圆心，AB 为半径的圆交 AD 于 F，交 BC 于 G，延长 BA 交圆于 E. （1）若 ED 与A
3、相切，试判断 GD 与A 的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的情况下，若 GCCD5，求 AD 的长. G F E D C B A F E D C B A O 3 第二部分第二部分 发散思考发散思考 【思考 1】如图，已知 AB 为O 的弦，C 为O 上一点，C=BAD，且 BDAB 于 B. （1）求证：AD 是O 的切线； （2）若O 的半径为 3，AB=4，求 AD 的长. 【思路分析】【思路分析】此题为去年海淀一模题，虽然较为简单,但是统计下来得分率却很低. 因为题目中没有给出有关圆心 的任何线段，所以就需要考生自己去构造。同一段弧的圆周角相等这一性质是非常重要的，
4、延长 DB 就会得到一个 和 C 一样的圆周角，利用角度关系，就很容易证明了。第二问考解三角形的计算问题，利用相等的角建立相等的比 例关系，从而求解。 【思考 2】已知：AB 为O 的弦，过点 O 作 AB 的平行线，交 O 于点 C，直线 OC 上一点 D 满足D=ACB. （1）判断直线 BD 与O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若O 的半径等于 4，求 CD 的长. 4 tan 3 ACB 【思路分析】【思路分析】本题也是非常典型的通过角度变换来证明 90的题目。重点在于如何利用D=ACB 这个条件，去 将他们放在 RT 三角形中找出相等，互余等关系。尤其是将OBD 拆分成两个角去
5、证明和为 90。 【思考 3】已知 ： 如图，在ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分ABC 交 AE 于点 M,经过 B,M 两点的O 交 BC 于点 G,交 AB 于点 F,FB 恰为O 的直径. （1）求证：AE 与O 相切； （2）当 BC=4,cosC= 1 3 时，求O 的半径. 【思路分析】这是一道去年北京中考的原题，有些同学可能已经做过了。主要考点还是切线判定，等腰三角形性质 以及解直角三角形，也不会很难。放这里的原因是让大家感受一下中考题也无非就是如此出法，和我们前面看到的 那些题是一个意思。 A B C D O 4 【思考思考 4】如图，等腰ABC 中，AC=
6、BC，O 为ABC 的外接圆， D 为上一点， CEAD 于 E. BC 求证：AE= BD +DE 【思路分析思路分析】 前面的题目大多是有关切线问题，但是未必所有的圆问题都和切线有关，去年西城区这道模拟题就 是无切线问题的代表。此题的关键在于如何在图形中找到和 BD 相等的量来达到转化的目的。如果图形中所有 线段现成的没有，那么就需要自己去截一段，然后去找相似或者全等三角形中的线段关系。 【思考 5】如图，已知O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，D 是 AB 延长线的一点，AECD 交 DC 的延 长线于 E，CFAB 于 F，且 CECF （1）求证：DE 是O 的切线； （2）
7、若 AB6，BD3，求 AE 和 BC 的长 【思路分析】又是一道非常典型的用角证平行的题目。题目中虽未给出 AC 评分角 EAD 这样的条件，但是通过给 定 CE=CF，加上有一个公共边，那么很容易发现EAC 和CAF 是全等的。于是问题迎刃而解。第二问中依 然要注意找到已知线段的等量线段，并且利用和，差等关系去转化。 E FAOB C D 5 第三部分第三部分 思考题解析思考题解析 【思考【思考 1 解析】解析】 1）证明: 如图, 连接 AO 并延长交O 于点 E, 连接 BE, 则ABE=90. EAB+E=90. E =C, C=BAD， EAB+BAD =90. AD 是O 的切线
8、. （2）解：由（1）可知ABE=90. AE=2AO=6, AB=4, . E=C=BAD, BDAB, 52 22 ABAEBE .coscosEBAD . AE BE AD AB . 6 524 AD 即 . 5 512 AD 【思考【思考 2 解析】解析】 解：（1）直线 BD 与O 相切 证明：如图 3，连结 OB- OCB=CBD +D ，1=D， 2=CBD ABOC ， 2=A A=CBD OB=OC， ，2 3180BOC ，2BOCA 390A 390CBD OBD=90 直线 BD 与O 相切 （2）解： D=ACB ， 4 tan 3 ACB 4 tan 3 D 在 R
9、tOBD 中，OBD=90，OB = 4， 4 tan 3 D ， 4 sin 5 D 5 sin OB OD D E A B C D O 3 2 1 C D O A B 6 1CDODOC 【思考【思考 3 解析】解析】 1）证明：连结OM，则OMOB 12 BM平分ABC 13 23 OMBC AMOAEB 在ABC中，ABAC，AE是角平分线， AEBC 90AEB 90AMO OMAE AE与O相切 （2）解：在ABC中，ABAC，AE是角平分线， 1 2 BEBCABCC ， 1 4 cos 3 BCC， 1 1 cos 3 BEABC， 在ABE中，90AEB， 6 cos BE
10、AB ABC 设O的半径为r，则6AOr OMBC， AOMABE OMAO BEAB 6 26 rr 解得 3 2 r O的半径为 3 2 【思考【思考 4 解析】解析】 证明：如图 3，在 AE 上截取 AF=BD，连结 CF、CD 在ACF 和BCD 中， , , , ACBC CAFCBD AFBD ACFBCD O B G E C M A F 1 2 3 F O E AB C D 7 CF=CD. CEAD 于 E， EF=DE. . AEAFEFBDDE 【思考【思考 5 解析】解析】 证明：（1）连接 OC, , , 12. , 23. 13. / /. . AECD CFAB CECF OAOC OCAE OCCD DEO 又 是的切线. 00 (2)6, 1 3. 2 3,6, 30 .60 . 9, 19 22 , 3. AB OBOCAB Rt OCDOCODOBBD DCOD Rt ADEDABBD AEAD OBCOBOC BCOB 0 解： 在中， 在中， A 在中，C O D =60
