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1、篱篱曩I一矗灌：燮添oRuM大学数学的思想内涵和特点 张圣勤随着数学及相关边缘学科和交叉学科的发展目前大学各专业都比较重视数学课程的开设，甚至一些传统的人文学科也把开设数学课作为其教学改革的重要内容之一。越来越多的人认识到，数学不仅是一种很有用的工具。是学习相关专业的必备基础。更重要的是数学蕴含着一种思想，这是一种系统的、严密的、应用广泛的思维方式。因此数学教育除了传授必要的数学知识、为专业学习打下良好的基础外，还要教会学生掌握数学思想方法。使学生不但在自己的专业中。而且在日常生活中形成使用数学方式思维的习惯。特别是计算工具和计算技术充分发达的今天。极其复杂的运算在计算机里只要很短时间就能给出
2、结果。数学教育中以数学运算及技巧为主的教育，应逐步让位于数学思想和方法的教育。遗憾的是，由于种种原因，在教学实践中教师和学生往往只重视运算方法和技巧的教育，而对数学思想方法的教育重视不够。教与学的双方，特别是教师，对于什么是大学数学的思想。什么是数学方法所知甚少。在数学教育中对如何教会学生用数学方式思维的方法不多。为改变这种状况，提高数学教育的质量和效果，进而提高学生的综合素质，对大学数学的思想及其内涵做一个大概的界定以期得到教和学双方的重视颇有必要。数学思想和方法的内涵所谓数学思想，即数学的哲学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数
3、学理论(概念、定理、公式、法则等)的本质认识【1】，也是数学的方法论，是具有共性的数学问题中的数学思想方法即在数学学科范围内的一些数学基本概念、基本理论产生和发展过程中所蕴含的一些基本思想以及所涉及的相张圣勤：副教授，上海电机学院上海200240。zhaIlg Shengqin： Associate Pm强sor， sh锄ghai Diall Ji univers蛔，Shallgllai 20024028 l科学；2007年3月(59卷2期关重要问题得以解决的途径和方法论。“数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学思想方法以及数学中的发现发明与创新法则的一门学问”【2】。数学思想是思维科
4、学的重要一支。例如解析几何的基本思想就是用代数方法(坐标法和矢算法)通过计算来研究几何问题而不是几何学中从定理到定理的一系列推理论证。解析几何思想的产生标志着人类在数学思维上形象思维与抽象思维的全面融合，是数学学科发展由初等数学迈向高等数学的一个里程碑。又如，恩格斯认为，在一定条件下，把曲线近似地看成直线是微积分的重要思想之一，即通常说的“以直代曲”的数学思想。它是微积分的中心思想，也是微积分产生的思想基础。它涉及形象与抽象、运动与静止、精确与近似、已知与未知、必要与充分、归纳与演绎等一系列辩证关系。一般数学教材限于篇幅，只介绍相关的数学知识，不可能更多地涉猎数学思想的问题。但读者了解一些数学
5、思想，既对数学概念和理论产生、发展的过程及来龙去脉有所了解，便于更深入地理解这些概念和理论：又可以从中接受一些数学思想和方法论的熏陶和启迪，便于创新研究。数学方法是指解决数学问题或用数学思想解决某些实际问题所采用的一般方法，它具有一定的共性，是数学思想的衍生物和重要体现。数学方法多种多样，难以一一分类介绍。在数学中常用数理逻辑学的一些方法进行推理论证与演算，例如分析法与综合法、三段论演绎法、不完全归纳法与完全归纳法(数学归纳法)、联想法与类比法、分割法与组合法、转换法与化归法(换元法)等等p】，这些逻辑思维方法在数学中经常用到，既是数学思想的体现，也是数学中常用的方法。例如高等数学中的极限方法
6、、微分法、积分法、算子法等；针对具体问题还有占一，占书方法、各种求导法、换元积分法、分部积分法、元素法等。这里必须指出的是数学技巧也是一种数学方法，它是在解决具体数学问题中所用的比较特殊、巧妙的解法和技术，它是具体的、针对性较强的数学方法。数学思想与数学方法的关系是“源”与“流”的关系，是密不可分的。数学思想是其相应数学方法的精神实质和理论基础。而数学方法则是实施其数学思想的技术手段和表现形式。只有牢固掌握了数学的思想及其思维模式，经过实际数学问题的不断磨练，才能学会更多的数学方法并不断创造出新的数学方法。在数学教学中提倡一题多解，目的是通过对同一个数学问题的多种方法求解，体会并掌握数学思想，
7、从中比较，寻找简单巧妙的思维方式。如果仅仅一味追求数学技巧，数学问题千奇百怪，解决这些问题的技巧也成千上万是讲不完也学不完的，那就陷入了舍本逐末、弃源求流的错误境地，走到数学学习的反面。因此，学习数学要把注意力更多地放在通过数学方法的练习进一步掌握数学思想，这样才有利于数学新知识的学习和新方法的积累，为以后的创新打下坚实的基础。数学范畴的对立统一数学思想有其非常丰富的内涵和外延，博大精深，很难全面界定。这里仅就其基本方面加以介绍。形象与抽象形象与抽象是数学认识论中最一般的范畴。形象，就是能引起人们思想或感情活动的具体形状或姿态。抽象，如果作为动词是指从许多具体的事物中舍弃个别的、非本质的属性，
8、抽出的共同的本质属性；如果作为名词则是指不能具体经验到的或不能具体描述的、笼统的、空洞的意象。作为后者，在数学中形象与抽象是相对的。并在一定条件下相互转化。例如由实数集X到实数集l，的映射是一种抽象的概念，而从中引出的某一函数的图像是一种具体的形象。作为前者，在数学中是指从某一具体事物中抽出一般的本质概念的方法。例如采用分割、求和、取极限的方法，求出某一片密度分布不均匀(密度分布函数为已知)的曲面质量，从中抽象出对面积的曲面积分的概念。那就是对一光滑的曲面，如果某函数在这个曲面上有界，把曲面任意分成n个小曲面，并在各小曲面上任意取一点，当小曲面中最大的面积趋于零时各小曲面的面积与其所取点的函数
9、值乘积和的极限存在。那么这个极限就是该函数对这个曲面的曲面积分。这是从质量计算到对面积的曲面积分一般方法的抽象。在人的思维活动当中，形象思维和抽象思维各具特色，相辅相成，缺一不可，是人们认识世界、改造世界的重要思维方式。已知与未知分析已知和寻求未知是数学研究和学习的永恒主题。如何找出事物中已被人们认识、知道的条件，并根据这些条件去寻求未知的东西，是数学活动的两个重要方面。在某种特定条件下，已知和未知又不是绝对的，经过一定思考和运算，已知和未知可以相互转化。例如物体质量与加速度的乘积等于该物体所受外力的总和，这似乎是已知的，但将这个问题放在宇宙空间去考虑，它又是未知的。爱因斯坦通过对这一未知的探
10、求创建了举世闻名的相对论。又如在数理统计方法中，它以概率论为理论基础，研究如何以有效的方式去收集、整理和分析受到随机性影响的指标(搜集已知数据)，以对所考察的问题做出推断、预测(探求未知)，直至为采取决策及行动提供依据和建议。它已被现代生产、管理、科学研究、经济及日常生活等领域普遍采用，成为提高效益的有效手段。在这里，受到随机性影响的指标是一个随机变量，它服从某种概率分布。由于某些原因。我们不能就研究对象本身进行指标观测(例如当它由无限个个体构成时)，就必须建立样本(将未知转化为已知)。但要特别注意，样本中的随机变量必须相互独立，而且与原对象服从相同的概率分布(转化的条件)。只有这样，由样本得
11、到的统计数据才能反映原对象的统计特征。运动与静止大学所讲授的主要数学知识。大都属于高等数学的范畴。高等数学区别于初等数学的一个根本而显著的特点，在于其中引入了变量和运动。由基本哲学知识我们知道运动是绝对的。静止是相对的。在高等数学中，变量的运动是绝对的。当它取某一定值时是静止的。这里静止是运动的一种特殊的情况和表现形式。变量的运动的结果是由“极限”这个概念来衡量的。而“无穷小量”概念在这里又起了关键的作用。无穷小量是一个变量(“零”是唯一的例外)，它总伴随着某一过程不断地向零趋近。高等数学中大量的数学概念就是通过这样的运动建立起来的。这一过程往往被称为“逼近”。人们熟知的圆周率是一个无理数，无
12、限不循环，杂乱无章。但它可以被一个极富韵律的交错级数逼近。一个函数，可以被分段(块)的线性函数逼近，也可以整体地被三角函数逼近等。这种用相对简单的事物去逼近相对复杂的事物的思想，是极有应用价值的。精确与近似精确与近似是数学领域中一对最一般的矛盾，在一定条件下相互转化。定积分中对一个曲边梯形分割求和后求出的仅是该曲边梯形面积的近似值，但当无限细分、求和、取极限后。该近似值转化为精确值。对于一个数学模型，比如一个偏微分方程的定解问题，人们总是希望求得它的精确解。但是，这里存在两个重要问题：一是这个问题的解是否存在，如何知道?二是即使这个问题的解存在，能否求出，如何求出。在一般情形w、】lrwkex
13、uemagcom l科学l 29攀瀵oRuM下，要求得精确解是十分困难甚至是不可能的。因此，寻找求其近似数值解的数值方法就显得十分有意义。但这里必须注意两个问题。一是近似解必须按照某种确定的方式收敛到精确解；二是其误差能按某种确定的度量进行估计。这样的近似解，既收敛到精确解，又能控制其精度，要它多精确就可多精确，在此意义下就可视为“精确解”。在日常生活中，人们往往钟情于求问题的精确解而忽视近似解，其实这是片面的、没有根据的。必要与充分命题成立的必要条件和充分条件也是数学研究的重要方面，是数学中辩证思维的重要体现。对某一命题而言，某条件是必要条件或充分条件。必须予以证明。如果必要条件不满足，则可
14、确定命题不成立；如果必要条件满足，却不能确定命题成立。经检查充分条件满足，则可断言命题成立；但充分条件不满足，却不能确定命题不成立。如微积分中介绍的三个微分中值定理，所给条件都是充分条件。教学中，一些教师为了强调这些条件的重要性，常常举出一些条件不满足而使命题不成立的例子，容易使学生误会定理中的条件是必要条件，值得引起注意。这在日常工作和生活中也很有指导意义，如某学校把体育成绩在85分以上作为评选一等奖学金的必要条件。体育成绩在85分以下当然不能评奖，但如果一个学生体育成绩达到85分以上，却不能凭此认定这个学生可以获得一等奖学金。公理与定理所谓公理，是无须加以证明可直接采用的命题或前提条件。如
15、果将若干公理集中在一起，并使之满足相容性、独立性和完备性，就形成一个公理体系。从公理体系出发来建立理论体系的方法称为公理化方法。从古代到现代，欧几里得几何、黎曼几何、线性代数理论、度量空间理论、赋范空间理论、内积空间理论、测度理论等，无不是采用这种方法建立的。这种方法所体现的思想，在不囿于公理体系的相容性、独立性和完备性的情况下，已被数学及其他学科广泛采用，这就是公理化思想。例如，在经济学中，假设人都是“理性人”，即人都追求效用最大化；在材料力学理论中，总假设材料同质且均匀、连续、各方向性能相同。虽然这些假设在实际生活中未必总是成立，仍在相关理论中被作为前提条件。这样建立起来的理论虽与现实有一
16、定差异，却对现实具有重要的指导意义。定理是必须加以证明才能应用的命题或前提条件。定理的证明一般从已知条件出发，根据相关理论体系中的已有结论，进行严格的逻辑推理。最后推导到命题的结论。也可以用反证法，即假设命题不成立。推出30 i科学；2007年3月(59卷2期)与已知条件的矛盾。在命题所涉的可能情形是有限个时可使用穷举法来证明，当所涉及到的情况为无限时，则不能用穷举法。例如大家熟知的哥德巴赫猜想，人们可以举出无数个例子来验证它的正确性，但至今仍无人能证明它。至于要判定一个命题是错误的，只需举出一个反例即可。比如要想判定哥德巴赫猜想是错误的只需举出一个偶数，它不能表为两个素数之和即可但至今没人能找到这样的偶数。归纳与演绎归纳与演绎是数学中提出概念或命题的重要思想方法也是十分有效的命题证明方法。归纳是由特殊推及一般的思想方法，而演绎是由一般到特殊的思想方法。往往归纳用来提出概念或命题，而演绎则用来证明或推导命题与结论当然数学归纳法也是十分重要的命题证明方法。人们可以从大量的特殊事例中归纳出概念或命题，也可从已知的概念中演绎出新的概
