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1、大学数学 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共 16 小题，总计80 分 ) 1、(本小题 5 分) 求极限 lim x xx xxx 2 3 32 1216 29124 2、(本小题 5 分) .d )1( 22 x x x 求 3、(本小题 5 分) 求极限 limarctanarcsin x x x 1 4、(本小题 5 分) .d 1 x x x 求 5、(本小题 5 分) 求dtt dx d x2 0 2 1 6、(本小题 5 分) .dcsccot 46 xxx求 7、(本小题 5 分) 求 2 12 1 cos 1 dx xx 8、(本小题 5 分) 设确定了函
2、数求 xet yet yy x dy dx t t cos sin ( ), 2 2 9、(本小题 5 分) 求dxxx 3 0 1 10、 (本小题 5 分 ) 求函数的单调区间yxx42 2 Y 11、(本小题 5 分 ) 求 2 0 2 sin8 sin dx x x 12、 (本小题 5 分 ) ，求设dxttetx kt )sin4cos3()( 13、 (本小题 5 分 ) 设函数由方程所确定求yy xyyx dy dx ( )ln, 226 14、 (本小题 5 分 ) 求函数的极值yee xx 2 15、 (本小题 5 分 ) 求极限 lim ()()()() ()() x x
3、xxx xx 12131101 101 111 2222 16、 (本小题 5 分 ) 大学数学 .d cossin1 2cos x xx x 求 二、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计14 分) 1、(本小题 7 分) ,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为 .,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿 2、(本小题 7 分) . 82 32 体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y 三、解答下列各题 ( 本 大 题 6 分 ) 设证明有且仅有三个实根f xx xxxfx( )()()(),( ).12
4、30 一学期期末高数考试 (答案) 一、解答下列各题 (本大题共 16 小题，总计77 分 ) 1、(本小题 3 分) 解 原式:lim x x xx 2 2 2 312 61812 lim x x x 2 6 1218 2 2、(本小题 3 分) x x x d )1 ( 22 22 2 )1 ( )1d( 2 1 x x 1 2 1 1 2 x c. 3、(本小题 3 分) 因为 arctan x 2 而 limarcsin x x 1 0 故 limarctanarcsin x x x 1 0 4、(本小题 3 分) x x x d 1 x x x d 1 11 x x x 1 d d
5、xxcln.1 5、(本小题 3 分) 大学数学 求dtt dx d x2 0 2 1 原式21 4 xx 6、(本小题 4 分) xxxdcsccot 46 )d(cot)cot1(cot 26 xxx 1 7 1 9 79 cotcot.xxc 7、(本小题 4 分) 求 2 12 1 cos 1 dx xx 原式cos( ) 11 1 2 x d x sin 1 1 2 x 1 8、(本小题 4 分) 设确定了函数求 xet yet yy x dy dx t t cos sin ( ), 2 2 解： dy dx ett ettt t t 2 22 2 2 ( sincos ) (cos
6、sin) ett ttt t ( sincos ) (cossin) 2 2 22 9、(本小题 4 分) 求dxxx 3 0 1 令1xu 原式 2 4 1 2 2 ()uudu 2 53 53 1 2 () uu 116 15 10、 (本小题 5 分 ) 求函数的单调区间yxx42 2 解： ),(函数定义域 01 )1(222 yx xxy ，当 , 101 1 ,01 函数的单调减区间为，当 函数单调增区间为，当 yx yx 11、(本小题 5 分 ) 求 2 0 2 sin8 sin dx x x 大学数学 原式 dx x cos cos9 2 0 2 1 6 3 3 0 2 ln
7、 cos cos x x 1 6 2ln 12、 (本小题 6 分 ) ，求设dxttetx kt )sin4cos3()( 解： dxxt dt( ) dttktke kt sin)34(cos)34( 13、 (本小题 6 分 ) 设函数由方程所确定求yy xyyx dy dx ( )ln, 226 2 2 6 5 yy y y x y yx y 3 1 5 2 14、 (本小题 6 分 ) 求函数的极值yee xx 2 解： 定义域，且连续(), yee xx 2 1 2 2 () 驻点： x 1 2 1 2 ln 由于y ee xx 20 22) 2 1 ln 2 1 (, , y故函
8、数有极小值 15、 (本小题 8 分 ) 求极限 lim ()()()() ()() x xxxx xx 12131101 101 111 2222 原式lim ()()()() ()() x xxxx xx 1 1 2 1 3 1 10 1 10 1 11 1 2222 101121 61011 7 2 16、 (本小题 10 分) dx x x dx xx x 2sin 2 1 1 2cos cossin1 2cos :解 大学数学 x xd 2sin 2 1 1 ) 12sin 2 1 ( lnsin1 1 2 2xc 二、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计13 分) 1、(本小题
9、 5 分) ,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为 .,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿 设晒谷场宽为则长为米 新砌石条围沿的总长为 x x Lx x x , () 512 2 512 0 L x x2 512 16 2 唯一驻点 L x x 1024 016 3 即为极小值点 故晒谷场宽为米 长为米时 可使新砌石条围沿 所用材料最省 16 512 16 32, 2、(本小题 8 分) . 82 32 体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y 解 :,. xx xxxx 23 23 11 28 8204
10、 V xx dx xx dx x ()()() 2 2 3 2 0 4 46 0 4 28464 () 1 4 1 5 1 64 1 7 57 0 4 xx 35 512 ) 7 1 5 1 (4 4 三、解答下列各题 ( 本 大 题 10 分 ) 设证明有且仅有三个实根f xx xxxfx( )()()(),( ).1230 证明在连续 可导 从而在连续 可导:( )(,), , ;,.f x0 3 又ffff( )( )( )( )01230 则分别在上对应用罗尔定理得至少存在 , , , , ( ),0 11 22 3fx 123123 0 11 22 30( , ),( , ),( ,
11、 )()()()使fff 即至少有三个实根fx( ),0, 0)(它至多有三个实根是三次方程又xf 由上述有且仅有三个实根fx( ) 高等数学（上）试题及答案 大学数学 一、 填空题（每小题3 分，本题共15 分） 1、._)31(lim 2 0 x x x。 2、当 k=1 时， 0 0e )( 2 xkx x xf x 在0 x处连续 3、设xxyln,则_ dy dx x/ x+1 4、曲线xey x 在点（ 0，1）处的切线方程是y=x+1 5、若Cxdxxf2sin)(，C为常数，则)(xf2cos2x。 二、 单项选择题（每小题3 分，本题共15 分） 1、若函数 x x xf)(
12、，则)(lim 0 xf x （ D ） A、0 B、1C、1 D、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ B） A. )0( 1 lnx x B. )1(lnxx C. )0(cosx xD. )2( 4 2 2 x x x 3、满足方程0)(xf的x是函数)(xfy的（C ） A极大值点 B极小值点 C驻点 D间断点 4、下列无穷积分收敛的是（B ） A、 0 sin xdxB、dxe x 0 2 C、dx x 0 1 D、dx x 0 1 5、设空间三点的坐标分别为M（1，1，1） 、A（2，2，1） 、B（2，1，2） 。则AMB= A A、 3 B、 4 C、 2 D、 三、 计算
13、题（每小题7 分，本题共56 分） 1、求极限 x x x 2sin 24 lim 0 。 大学数学 2、求极限) 1 11 (lim 0 x x ex 3、求极限 2 cos 1 0 2 lim x dte x t x 4、设)1ln( 25 xxey，求y 5、设)(xyf由已知 ty tx arctan )1ln( 2 ，求 2 2 dx yd 6、求不定积分dx xx )3 2 sin( 1 2 7、求不定积分xxe x dcos 8、设 0 1 1 0 1 1 )( x x x e xf x ， 求 2 0 d) 1(xxf 四、 应用题（本题7 分） 求曲线 2 xy与 2 yx所
14、围成图形的面积A 以及 A 饶y轴旋转所产生的旋转体的体积。 五、 证明题（本题7 分） 若)(xf在0,1上连续，在 (0,1)内可导，且0)1()0(ff，1) 2 1 (f，证明： 在 (0,1)内至少有一点，使1)(f。 参考答案 一。填空题（每小题3 分，本题共15 分） 1、 6 e2、k =1 3、 x x 1 4、1y5、xxf2cos2)( 二单项选择题（每小题3 分，本题共15 分 ） 1、D 2、B 3、C 4、B 5、A 三计算题（本题共56 分，每小题7 分） 大学数学 1.解： x x x 2sin 24 lim 0 8 1 )24(2sin 2 lim 2 1 )
15、24(2sin lim 00 xx x xx x xx 2.解 ： 2 1 lim 1 1 lim ) 1( 1 lim) 1 11 (lim 0000 xxx x x xx x x x x x x x xeee e xee e ex xe ex 3、解： 2 cos 1 0 2 lim x dte x t x ex xe x x 2 1 2 sin lim 2 cos 0 4、解：) 1 1 1 ( 1 1 22 xxx y 2 1 1 x 5、解： t t t t dx dy 2 1 1 2 1 1 2 2 22 2 23 2 1 1 2 () 2 4 1 d ytddy dxt dtt
16、dtdxdxt t 6、解：C x d x dx xx ) 3 2 cos( 2 1 ) 3 3 2 ()3 2 sin( 2 1 )3 2 sin( 1 2 7、解： xx exxxedcosdcos sinxdxecos x xe xx desincosxxe x dxcossincosxexexe xxx Cxxe x )cos(sin 8、解： 0 1 1 0 1 1 2 0 d)(d)(d)(d)1(xxfxxfxxfxxf 1 0 0 1 1 d 1 d x x e x x 1 0 0 1 )1ln(d) 1 1(xx e e x x 2ln)1ln(1 0 1 x e 大学数学 )1ln()1ln(1 1 ee 四应用题（本题7 分） 解：曲线 2 xy与 2 yx的交点为（ 1，1） ， 于是曲线 2 xy与 2 yx所围成图形的面积A 为 3 1 3 1 3 2 )( 1 0 2 1 0
