高等数学讲义一

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1、大学数学 高等数学基础 高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人 是英国数学家牛顿 （Newton）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz ） 。用著名学者的话来形容“微 积分、或者数学分析， 是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学与人文科学之间的地位， 使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。 “微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是 人类历史上的一件大事。时至今日， 它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜 之于生物学一样。 第 1 讲函数 1.2 函数 要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。 一、常量与变量 先看几个例子： 圆的面积公式

2、 2 rS 自由活体的下落距离 2 0 2 1 gttvs 在上述讨论的问题中，gv , 0 是常量，tsrS,是变量。变量可以视为实属集合（不止 一个元素）。 二、函数的定义 定义 1.1 设D是一个非空数集。如果有一个对应规则f，使得对每一 Dx ，都能对 应于唯一的一个数y，则此对应规则f称为定义在集合D上的一个 函数 ，并把数x与对应 的数y之间的对应关系记为 )(xfy 并称x为该函数的 自变量 ，y为函数值 或因变量 ，D为定义域 。 实数集合 , )(;DxxfyyZ 称为函数f的值域 。 看看下面几个例子中哪些是函数： 6,3,1X f 大学数学 9,8,6,2Y f是函数，且

3、 2)1 (f，8)3(f，6)6(f 定义域6,3,1D，值域 8,6,2Z，一般地 YZ 。 7,6,3,1X 9,8,6,2Y f不是函数。 6,3,1X 9,8,6,2Y f是函数，且 2)1(f，8)3(f，8)6(f 定义域6,3,1D，值域8,2Z。 6,3,1X 9,8,6,2Y f不是函数。 由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表 示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有x轴上的 点。 例 1 求函数xy1的定义域。 解在实数范围内要使等式有意义，有 01x 即 f f f 大学数学 1x 所以函数的定义域为

4、1,(。 例 2 求函数 2 4 1 1 x x y的定义域。 解在实数范围内要使第一个等式有意义，有 01x 即 1x 在实数范围内要使第二个等式有意义，有 04 2 x或4 2 x 即 2x或22x 所以函数的定义域为2,1 ()1,2。 三、函数表示法 函数表示法主要有以下三种 解析法 用数学式子表示变量之间的对应关系，这种表示函数的方法称为解析法。例如 2 xy xysin 0,1 0,1 )( xx xx xf 图形法 在平面直角坐标系中满足一定条件的曲线图形，也可以确定一个函数关系，这种表示 函数的方法称为图形法。例如 表示一天内温度随时间变化的函数关系。 列表法 在实际应用中把一

5、系列自变量值及其相对应的函数值列成表，这种表示函数的方法称 为列表法。如对数函数表、三角函数表等等。 大学数学 四、函数的几种属性 单调性 请看下面两个图 左边的图形表示， 函数值随自变量的增加而增加，就称函数单调增加， 数学 上描述为：如果当任意的),(, 21 baxx且 21 xx时，恒有 )()( 21 xfxf 则称函数)(xf在区间),(ba内是单调上升 的或单调增加 的。 右边的图形表示， 函数值随自变量的增加而减少，就称函数单调减少， 数学 上描述为：如果当任意的),(, 21 baxx且 21 xx时，恒有 )()( 21 xfxf 则称函数)(xf在区间),(ba内是单调下

6、降 的或单调减少 的。 奇偶性 请看下面两个图 左边的函数图形关于y 轴对称，就称函数是偶函数，数学上描述为：如果函 数)(xfy的定义域 D 以原点为对称， 且恒满足等式)()(xfxf，则称)(xf是 大学数学 偶函数 。 右边的函数图形关于原点对称，就称函数是奇函数， 数学上描述为： 如果函 数)(xfy的定义域 D 以原点为对称，且恒满足等式)()(xfxf， 则称)(xf是 奇函数 。 例 3 判断下列函数的奇偶性： xxf)(；) 1,1( 1 1 lg)(x x x xf 解由绝对值的性质，对任意x有 )()(xfxxxf 由此可知)(xf是偶函数。 由对数函数的性质，对任意)1

7、,1(x有 1 ) 1 1 lg( 1 1 lg )(1 )(1 lg)( x x x x x x xf )( 1 1 lgxf x x 由此可知)(xf是奇函数。 判断函数的奇偶性也可以利用以下结论： 偶函数加减偶函数是偶函数 奇函数加减奇函数是奇函数 偶函数乘偶函数是偶函数 奇函数乘奇函数是偶函数 奇函数乘偶函数是奇函数 例如，xxysin是奇函数，xxycos 也是奇函数。 1.3 初等函数 要了解初等函数，首先从以下开始 一、基本初等函数 我们将以下几类函数称为基本初等函数，它们是 常数函数Rccy 常数函数的图形如下 大学数学 幂函数Rxy 幂函数的图形如下 指数函数 1,0 aaa

8、y x 指数函数的图形如下 对数函数 1,0logaaxy a 对数函数的图形如下 大学数学 三角函数 正弦函数xysin 余弦函数xycos 正切函数 xytan 余切函数xycot 正弦、余弦、和正切函数的图形分别是 反三角函数 反正弦函数xyarcsin 反余弦函数xyarccos 反正切函数 xyarctan 反正弦、反余弦、和反正切函数的图形分别是 大学数学 二、函数的复合运算 在介绍函数的复合运算之前，先介绍函数的四则运算：设)(xf，)(xg是两个函数， 定 义域分别为 1 D， 2 D，如果 21 DDD不是空集，那么在D上可以得到以下函数 )()(xgxf)()(xgxf )

9、()(xgxf)(/)(xgxf 这里要注意，最后一个函数)(/)(xgxf的定义域要在D中去掉使0)(xg的点。 除了函数的四则运算外，再看下面复杂一些的运算，如函数 xysinlg 可以看作由函数uylg和xusin构成的，这种构成方式就是一种新的运算。一般地， 由两个函数)(ufy和)(xgu构成的对应规则)(xgfy称为f和g这两个函数的 复合函数 。 三、初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算而成，能用一个解析式表示的函数 称为初等函数。 函数 0,1 0,sin )( xx xx xf 不是初等函数，这类函数称为分段函数。 大学数学 第 2 讲极限与连续 微积分的主

10、要研究对象是函数，它所使用的一个重要工具就是我们要在下面介绍的 极限。极限的严格描述奠定了微积分的理论基础，而微积分学几乎所有的重要概念都以不同 的极限形式来表示。 2.2 函数的极限 一、极限的概念 首先让我们看看反正切函数xyarctan的图形 当自变量x向变化时，函数值在向 2 靠近。而且x向充分接近时，函数值可 以和 2 任意靠近。我们将x向充分接近说成x趋于，记为x。一般地，当 自变量x趋于时， 如果函数)(xf的函数值和某个常数A任意靠近， 我们就称函数)(xf 当x趋于时以A为极限（或称当x趋于时，)(xf的极限是A） 。记为 Axf x )(lim或)()(xAxf 如我们在开

11、始看到的情形就是 2 arctanlimx x 类似可以得到Bxf x )(lim，仍以反正切函数为例，有 2 arctanlimx x 再一次观察反正切函数xyarctan的图形， 当自变量x向点0 x变化时， 函数值 在向0靠近。而且x向点0 x充分接近时， 函数值可以和0任意靠近。 我们将x向点0 x 充分接近说成x趋于0，记为0 x。一般地，当自变量x趋于 0 x时，如果函数)(xf的函 数值和某个常数 A任意靠近，我们就称函数)(xf 当x趋于 0 x时以A为极限（或称当x趋 于 0 x时，)(xf的极限是A） 。记为 大学数学 Axf xx )(lim 0 或)()( 0 xxAx

12、f 这样我们就得到 0arctanlim 0 x x 极限Axf xx )(lim 0 的直观意义可以用下面的图形说明 函数在一点的极限可能存在，也可能不存在，如函数 x y 1 sin当0 x时的极限就不 存在，我们也可以从图形中看出 再看下面这个图形 可以看出，这个函数当1x时没有极限，但当x从大于1的方向趋于1时，函数值与 5 .2任意接近。 一般地， 当自变量x从大于 0 x的方向趋于 0 x时，如果函数)(xf的函数值和 某个常数 A任意靠近，就称A为)(xf 在点 0 x的右极限，记为 Axf xx )(lim 0 类似可以给出)(xf在点 0 x的左极限，记为Bxf xx )(l

13、im 0 。如此一来我们就有了以下结论 )(lim 0 xf xx 存在的充分必要条件是)(lim 0 xf xx 和)(lim 0 xf xx 都存在，且 大学数学 )(lim)(lim 00 xfxf xxxx 二、极限的运算法则 为了方便地计算函数的极限，我们不加证明地给出极限的运算法则： 若)(limxf，)(limxg存在，则有 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf cxfcxcf)(lim)(lim为常数 )(lim )(lim )( )( lim xg xf xg xf （假定0)(limxg） 例 1 求 6 2

14、3 lim 2 2 2 xx xx x 。 解观察发现本题不能直接应用极限的四则运算法则，但对表达式经适当整理后就可 以应用极限的四则运算法则， )3)(2( )1)(2( lim 6 23 lim 2 2 2 2 xx xx xx xx xx 5 1 )3(lim )1(lim 3 1 lim 2 2 2 x x x x x x x 例 2 求 52 32 lim 2 2 xx xx x 。 解观察发现本题不能直接应用极限的四则运算法则，但对表达式经适当整理后就可 以应用极限的四则运算法则， 2 2 2 2 51 2 32 1 lim 52 32 lim xx xx xx xx xx 2 1

15、 002 001 ) 51 2(lim ) 32 1(lim 2 2 xx xx x x 只有极限的四则运算法则对解决的计算还是不够的，接下来我们大家介绍两个重要的极 限。 大学数学 2.3 两个重要极限 我们先给出两个重要的极限公式 1 sin lim 0 x x x e) 1 1(lim x x x 之所以说这是两个重要极限，一方面因为它们出自于两个极限存在定理，另外在后面 求基本初等函数的导数时需要用到。 在这里我们只给出第一个极限的证明，为此先不加证明地给出一个极限存在定理 夹逼定理设在 0 x 的某领域内（可不包含点 0 x ）有 )()()(xhxfxg 且Axhxg xxxx )

16、(lim)(lim 00 ，则)(lim 0 xf xx 存在且 Axf xx )(lim 0 下面就来证明第一个重要极限，先看一下下面这张图 图中的圆周是单位圆周，圆心角AOB的弧度是x，则有 线段BD的长度为xsin AB弧的长度为x 线段AE的长度为xtan 当 2 0 x时，有 xxxtansin0 从而有 xxx x sin 11 sin cos 从而有 1 sin cos x x x 当0 x 时，1coslim 0 x x ，由夹逼定理得 1 sin lim 0 x x x 大学数学 由于xxxtan,sin都是奇函数，因此当0 2 x时，有 )tan()sin(0 xxx 即 xxxtansin0 从而有 xxx x sin 11 sin cos 从而有 1 sin cos x x x 当 0 x时，11limcoslim 00 xx x，由夹逼定理得 1 sin lim 0 x x x 最后得到 1 sin lim 0 x x x 例 3 求 x x x 3sin lim 0 。 解本题不能直接应用第一个重要