《2021中考全等三角形专题(8种辅助线的作法)（最新-编写）246修订》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021中考全等三角形专题(8种辅助线的作法)（最新-编写）246修订（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 - 全等三角形问题中常见的辅助线的作法全等三角形问题中常见的辅助线的作法 【三角形辅助线做法】【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 1.等腰三角形“三线合一”法：1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线 合一”的性质解题 2.倍长中线：2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形 3
2、.角平分线在三种添辅助线3.角平分线在三种添辅助线 4.垂直平分线联结线段两端4.垂直平分线联结线段两端 5.用“截长法”或“补短法”： 5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长， 6.图形补全法：6.图形补全法：有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形 7.角度数为 30、60 度的作垂线法：7.角度数为 30、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度，可 以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成 30-60-
3、90 的特殊直角三角形，然后计 算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等 三角形创造边、角之间的相等条件。 遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度，可 以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成 30-60-90 的特殊直角三角形，然后计 算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等 三角形创造边、角之间的相等条件。 8.计算数值法：8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或 30-60-90 的特殊直角三角形， 或 40-60-80 的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等 的
4、二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。 遇到等腰直角三角形，正方形时，或 30-60-90 的特殊直角三角形， 或 40-60-80 的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等 的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。 常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二 个角之间的相等。 常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二 个角之间的相等。 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变 换中的“对折”法构造全等三角
5、形构造全等三角形 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的 思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形构造全等三角形 3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法， （1） 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂 - 2 - D C B A E D F C B A 线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的 性质定理或逆定理 （2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相 交，形成一对全等三角形。 （3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置 上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对
6、全等三角形。 4)过图形上某一点作特定的平分线， 构造全等三角形， 利用的思维模式是全等变换中的 “平 移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法， 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等， 或是将某条 线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法， 适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目 6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连 线，出一对全等三角形。 特殊方法 ： 在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连 接起来，利用三角形面积的知识解答 一、倍长中线（线段）造全等一、倍长中线（线段）造全等
7、 例 1、已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_. 例 2、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的 大小. 例 3、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE. EDC B A - 3 - E D C B A P Q C B A 应用：应用： 1、 以的 两 边 AB、AC为 腰 分 别 向 外 作 等 腰 Rt和 等 腰 Rt， ABCABDACE 连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系 90 ,BADCAE 及数量关系 （1）如图
8、 当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ， ABC 线段AM与DE的数量关系是 ； （2） 将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0AD+AE. ED CB A - 5 - O E D CB A F E D CB A 四、借助角平分线造全等四、借助角平分线造全等 1、如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD 2、如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F. （1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=，AC=，求 AE、BE 的长.ab 应用：应用： 1、如图，OP 是MON
9、 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全 等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC、BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系； （2）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你 在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 五、旋转五、旋转 例 1 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数. E D G F
10、C B A (第 23 题图) OP A M N E B C DF A C E F B D 图 图图 - 6 - N M E F A C B A 例 2 D 为等腰斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。Rt ABC （1）当绕点 D 转动时，求证 DE=DF。MDN （2）若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。 例 3 如图，是边长为 3 的等边三角形，是等腰三角形，且，ABCBDC 0 120BDC 以 D 为顶点做一个角，使其两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，则 0 60AMN 的周长为 ； B C D N M A 应用：
11、应用： 1、 已 知 四 边 形中 ，ABCDABADBCCDABBC120ABC ，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）60MBN MBNBADDC， 于EF， 当绕点旋转到时（如图 1） ，易证MBNBAECFAECFEF 当绕点旋转到时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成MBNBAECF 立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出AECF，EF 你的猜想，不需证明 （图 1） A B CD E F M N （图 2） A B CD E F M N （图 3） A B C D E F M N - 7 - 2、已知:PA=,PB=4,以 AB 为一
12、边作正方形 ABCD,使 P、D 两点落在直线 AB 的两侧.2 (1)如图,当APB=45时,求 AB 及 PD 的长; (2)当APB 变化,且其它条件不变时,求 PD 的最大值,及相应APB 的大小. 3、在等边的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为外一点，且ABCABC ,BD=DC. 探究 ： 当 M、 N 分别在直线 AB、 AC 上移动时， BM、 60MDN 120BDC NC、MN 之间的数量关系及的周长 Q 与等边的周长 L 的关系AMNABC 图 1 图 2 图 3 （I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN
13、之间的数量 关系是 ； 此时 ； L Q （II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DMDN 时，猜想（I）问的两个结论还 成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时， 若 AN=，则 Q= （用、L 表示） xx - 8 - D C B A E D F C B A 参考答案与提示 参考答案与提示 一、倍长中线（线段）造全等一、倍长中线（线段）造全等 例 1、（“希望杯” 试题） 已知， 如图ABC 中， AB=5， AC=3， 则中线 AD 的取值范围是_. 解：延长 AD 至 E 使 AE2AD，连 BE，由三角形性
14、质知 AB-BE 2ADAB+BE 故 AD 的取值范围是 1AD4 例 2、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的 大小. 解：(倍长中线,倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长 FD 至 G 使 FG2EF，连 BG，EG, 显然 BGFC， 在EFG 中，注意到 DEDF，由等腰三角形的三线合一知 EGEF 在BEG 中，由三角形性质知 EGBG+BE 故：EFBE+FC 例 3、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE. EDC B A 解：延长 AE 至 G 使 AG2AE，连
15、 BG，DG, 显然 DGAC， GDC=ACD 由于 DC=AC，故 ADC=DAC 在ADB 与ADG 中， BDAC=DG，ADAD， ADB=ADC+ACD=ADC+GDCADG 故ADBADG，故有BAD=DAG，即 AD 平分BAE - 9 - 应用：应用： 1、（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt 和 等 腰 Rt ABD ，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究 ： AM与DE的 ACE 90 ,BADCAE 位置关系及数量关系 （1）如图 当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ， ABC 线段AM与DE的数量关系是 ； （2） 将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(090)后， 如图所示，（1） ABD 问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由 解：（1），；AMED2EDAM 证明：延长 AM 到 G，使，连 BG，则 ABGC 是平行四边形AMMG ，BGAC 180BACABG 又180BACDAE DAEABG 再证：ABGDAE ，AMDE2EDABAG 延长 MN 交 DE 于 H 90DAHBAG 90DAHHDA EDAM （2）结论仍然成立 证明：如图，延长 CA 至 F，使，FA 交 DE 于点 P，并连接 BFFAAC ，BADAAFEA EADDAFBAF90 在和中
