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1、- 1 - / 15 河南省新乡一中2017 届高三（上）第一次月考数学（理科）试卷 答案 一、选择题 15CADBB 610ABBDA 1112CA 二、填空题 13 1 5 141 151 16 3 三、解答题 17解： (1)由题意得， a11，() nn aSn 1 342 当n2时，aS 21 347， 当n2时，由 nn aS 1 34，得 nn aS 1 34， 两式相减得，() nn aan 1 42， 数列 n a从第二项起是以4 为公比、 7 为首项的等比数列， 则() nn n aan 22 2 4742，此时对n1不成立， , () n n n a n 2 11 742
2、 ； (2)由(1)得， loglog nn n a bn 22 2 42 7 ， 则 n n nn bn c 1 22 ， + n n n T 23 123 2222 ， + n n n T 2341 1123 22222 ， 得， () + n n nnnn nnn T 23111 11 1 111112 22 1 1 22222222 1 2 n n n T 2 2 2 ，即 n n n T 2 2 2 18证明：（） ACBD0，连接,HOFO， 因为ABCD是正方形，所以O是AC中点， - 2 - / 15 又H是AD点，所以OHCD,OHCD 1 = 2 ，EFAB,EFAB 1
3、= 2 ， 所以EFOH且EF OH=， 所以四边形EHOF为平行四边形， 所以EHFO， 又因为FOFACEHFAC平面，平面 所以EH FAC平面 （）因为AEED，H是AD的中点，所以EHAD， 又因为EFAB，EFEA，所以ABEA 又因为ABAD，所以ABAED平面， 因为EHAED平面，所以ABEH， 所以EHAED平面 解： （）,AC BD OF两两垂直，建立如图所示的坐标系， ABEF22， ()() ,() ,()BCFD0， 2， 0 ，2， 0， 00， 0， 10，2， 0 设(a)Pb，0，BP BC，0 1，即（(a)()b，2， 02，2， 0 ,ab222，(
4、, )P2220 ()FD0，2， 1，(, - )FP2221， 平面BDF的法向量=n （1， 0， 0）， 设平面PDF的法向量=nxy z（ ， ，）， 则 () m FDxz m FPxyz 20 2220 ，取(,)x 22 22 1 二面角-B FD P的大小为 3 ， coscos |()| m n 2 21 32 22 24 1 解得0， 线段BC上是存在一点P，使得二面角-B FD P的大小为 3 ，且BP0. 19解： (1)根据题意可得，年龄在 ,)37 42内的频率为( .).10 0100220 03250 45， 故年龄在,)37 42内的人数为450，则.m 4
5、32 0 96 450 ， - 3 - / 15 年龄在,)27 32内的人数为.10000 025100， 故.n1000 9595 (2)因为年龄在 ,)42 47内且满意的人数为员144，年龄在,47 52内且满意的人数为96，因此采用分层抽样 的方法抽取的10 人中，年龄在,)42 47内且满意的人数与年龄在,47 52内且满意的人数分别为6、4 依题意可得, , , ,X0 1 2 3 4 ();()() C CC CC C P XP XP X CCC 403122 646464 444 101010 151808903 01；2 21014210212107 ();() C CC
6、C P XP X CC 1304 6464 44 1010 2441 34 21035210 。 X的分布列为： X0 1 2 3 4 P 1 14 8 21 3 7 4 35 1 210 EX 183418 01234 14217352105 20解： (1) ABF2的周长等于 43，且 F1在边 AB上， (BFBF )(AFF )A 1212 4 3， aa224 3，即a3， 又 c e a 6 3 ， c 2， bac 22 321， 椭圆C的标准方程为： x y 2 2 1 3 ； (2)依题意，设 (,y )P x0 0 ，设过P点的直线为()yyk xx 00 ， 记bkxy
7、 00 ，整理得：ykxb，并代入椭圆方程，得： xk xkbxb 2222 36330， 令=0，得k bbk bk 222222 939930， kb 22 9330，即kb 22 310， 又bkxy 00， kk xkx yy 2222 0000 3210， x 22 00 =3y30， - 4 - / 15 y k k x 2 0 12 2 0 1 3 ， 又xy 22 00 4，即yx 22 00 4， ()x k k x 2 0 12 2 0 41 1 3 ， 过圆O：xy 22 4上任意一点P作椭圆C的两条切线均垂直， MN为圆O的直径， 显然当P点为(,)P 02时，PMN面
8、积的最大，最大值为 1 4 24 2 21 （）解：( ) x fxea ( ),( )af xf x0时，0在R上单调递增。 a0时， (, ln)xa时，( )fx0，( )f x单调递减，(ln,)xa时，( )fx0，( )f x单调递增。 （ ）解：由（） ，a0， min ( )(ln)f xfa，(ln)fa 0 即lnaaaa0，记( )ln()g aaaaa10 ( )(lna)lng aa11 ( )g a在（ 0，1）上增，在（ 1，+）上递减 ( )( )g ag10 故 ( ),g aa0 得1 （ ）证明：方法一：由（） x ex1，即ln( )()xx x11 ，
9、则x0时， ln() xx1 要证原不等式成立，只需证： () k n k k 2 1 23 22 31 ，即证： () k n k k 2 1 3 21 31 下证 () k kkk 21 322 313131 kk kkkk 22 34 3 32 313 3431 ?()()() kkkkkkkk 222 4 32 313 34 3134 33031 330 中令,.,kn1 2 ,各式相加，得 ()().() () k n knn k 212231 1 3222222 31313131313131 n 11 22 1 3131 成立， 故原不等式成立。 - 5 - / 15 方法二：n1
10、时， () n n 2 233 312 ， n2时， ()()()()() nnn nnnnnnn 1 2111 23232311 3131 3331 31313 ， n2时， () k n kn k 2 1 3311 2 312231 选修 4-1：几何证明选讲 22解： （ ）证明：因为EDCDAC，DACDAB，DABDCB， 所以EDCDCB， 所以BCDE （ ）解：因为D，E，C，F四点共圆，所以CFACED 由（ ）知ACFCED，所以CFAACF 设DACDABx， 因为 ACBC ，所以CBABACx2， 所以CFAFBAFABx3， 在等腰ACF中，CFAACFCAFx7，
11、则 7 x， 所以 BACx 2 7 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 23解： (1)曲线C的方程为， cos() 4 2 2， 即 (cossin) 2 2 2 2 2 ， 可得直角坐标方程：xyxy 22 22， 配方后为 ()()xy 22 112 (2)把直线l的参数方程代入圆的方程可得： ()tat 22 31 2 42 ，化为tata 22 20， ()aa 22 420，解得a 8 3 ,tta tta 2 1212 2， 由参数t的含义知： |()()ABttttt taa 222 12121 2 4425， - 6 - / 15 化为a2835，化为a21，满足0，解得a
12、1， 综上：常数a的值为1 选修 4-5：不等式选讲 24解： (1)x时：()xx1211， 解得：x1 2， x11时：()xx1211， 解得：x 2 1 3 ， x1时： ()()xx1211， 解得：x4，不合题意， 综上，不等式的解集是 2 ， 2 3 ； (2) , ( )=, , xx f xxx xx 33 3111 3-1 ,如图示： 显然( , )ABC 1 1 2 ，（， 0） ，（3， 0） 3 ， 故= ABC S 188 2 233 。 - 7 - / 15 河南省新乡一中2017 届高三（上）第一次月考数学（文科）试卷 解析 一、选择题 1 【考点】 交集及其运
13、算。 【分析】 求出 A 中不等式的解集确定出A，表示出 B 中不等式的解集，根据A 与 B 的交集为空集，分两种 情况考虑： B 为空集与B 不为空集，求出满足题意a 的范围即可。 【解答】 解：由 A 中不等式变形得： （ x4） （x+1） 0，且 x+10， 解得： 1x4，即 A= （ 1，4， 由 B 中不等式解得：2axa2+1，即 B=（2a，a2+1） ， AB=?， 分两种情况考虑：当B= ?时， 2a=a2+1，即 a=1； 当 B?时，则有2a4 或 a2+1 1，即 a2， 综上，实数a的范围为 1 2，+ ） 。 故选： C 2 【考点】 任意角的三角函数的定义。
14、【分析】 由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sin 的值。 【解答】 解：角 的终边上一点的坐标为（sin，cos）即（，） ， 则由任意角的三角函数的定义，可得sin =， 故选： A 3 【考点】 平面向量坐标表示的应用。 【分析】 平面向量基本定理：若平面内两个向量、不共线，则平面内的任一向量都可以用向量、来 线性表示，即存在唯一的实数对 、 ，使= + 成立。根据此理论，结合已知条件，只需向量、不共 线即可，因此不难求出实数m 的取值范围。 【解答】 解：根据题意，向量、是不共线的向量 =（1，2） ，=（m，3m2） 由向量、不共线 ? 解之得 m2 所以实数m 的取值范围是
15、m|m R 且 m2 。 故选 D 4 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin （x + ）的图象变换。 【分析】 由两角和的正弦公式可得f（x）=2sin（x+） ，再由相位变换、周期变换可得g（x）=2sin（x+ ） ，再令 - 8 - / 15 x+=k +，kZ，解方程可得对称轴方程，对照选项，即可得到答案。 【解答】 解：函数=2（sinx+cosx）=2sin（x+） ， 由 f（x）的图象向右平移个单位， 可得对应函数的解析式为y=2sin（ x+） ，即 y=2sin（x+） ， 再把横坐标扩大到原来的2 倍，得到函数g（x）=2sin（x+） ， 由x+=k
16、+，k Z，可得 x=2k +，kZ， 当 k=0 时， x=， 故选： B 5 【考点】 利用导数研究函数的极值。 【分析】 根据等比数列的性质求出k 的值，从而求出f（x）的解析式，根据函数的单调性求出f（ x）的极 大值即可。 【解答】 解：根据Sn=2n 1+k，得到 a 1=k， Sn1=2n 2+k， a n=Sn S n1=（2n 1+k）（ 2n2+k）=2n1 2 n2=2n2（21）=2n2， n2， 再根据 an是等比数列，所以 an 是以为首项， 2 为公比的等比数列， 则 k 的值为， f（x）=x 3+ x 22x+1， f （x）=3x 2+x2=（3x2） （x+1） ， 令 f （ x） 0，解得： x 或 x 1， 令 f （ x） 0，解得： 1 x， 故 f（x）在（ ， 1）递增，在（ 1， ）递减，在（，+ ）递增， 故 f（x）的极大值是f（ 1）=。 故选： B 6 【考点】 余弦定理的应用；三角形的形状判断。 【分析】
