《2021-2021学年高中数学人教A版必修2学案：2.1.1-2.2空间中直线与直线之间的位置关系Word版含解析修订》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2021学年高中数学人教A版必修2学案：2.1.1-2.2空间中直线与直线之间的位置关系Word版含解析修订（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 2 课时空间中直线与直线之间的位置关系 知识点一空间两直线的位置关系 1空间中两条直线的位置关系 2异面直线 (1)定义：把不同在任一平面内的两条直线叫作异面直线 (2)画法：(通常用平面衬托 ) , 1异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件异面直 线既不相交，也不平行 2 不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中， 虽然有 a? ，b? ，即 a，b 分别在两个不同的平面内， 但是因为 ab O，所以 a与 b 不是异面直线 知识点二平行公理与等角定理 1平行公理 (公理 4)与等角定理 (1)平行公理 文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行这一性质叫作 空间平行
2、公理 符号表述： ab bc ? ac. (2)等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互 补 2异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O 作直线 aa，bb，我们把 a与 b所成的锐角 (或直角 )叫作异面直线 a 与 b 所成的角 (或夹角) (2)范围：0 90 . (3)当 90 时，a 与 b 互相垂直，记作ab. 1异面直线所成角的范围是0 90 ，所以垂直有两种情况： 异面垂直和相交垂直 2公理 4 也称为平行公理，表明空间的平行具有传递性，它在直 线、平面的平行关系中得到了广泛的应用 小试身手 1判断下列命题是否正确 . (
3、正确的打“”，错误的打“”) (1)两条直线无公共点，则这两条直线平行() (2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行() (3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线 均构成异面直线 () (4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线() 答案：(1)(2)(3)(4) 2 如果两条直线 a和b 没有公共点，那么 a与 b的位置关系是 () A共面B平行 C异面D平行或异面 解析：由两条直线的位置关系，可知答案为D. 答案：D 3设 为两条异面直线所成的角，则满足() A0 90 B0 90 C0 90 D0 EH， 所以四边形 EFGH 有一组对边平行但不相等 由平面几何
4、知识得到线线平行，用公理4 进行转化 类型二等角定理及其应用 例 2如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，E1，F1 分别为棱 AD，AB，B1C1，C1D1的中点 求证： EA1FE1CF1. 【证明】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，取 A1B1的 中点 M，连接 BM，F1M，则 BFA1M. 又BFA1M，四边形 A1FBM 为平行四边形， A1FBM. 而 F1，M 分别为 C1D1，A1B1的中点，则 F1M 綊 C1B1. 而 C1B1綊 BC，F1M 綊 BC，四边形 F1MBC 为平行四边形 BMCF1.又 BMA1F，A1FCF1. 同理，取 A
5、1D1的中点 N，连接 DN，E1N，则有 A1ECE1. EA1F 与E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反， EA1FE1CF1. 要证明 EA1F E1CF1，可证明A1FCF1，A1ECE1且射线 A1E 与 CE1，射线 A1F 与 CF1的方向分别相反 方法归纳 (1)空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的：若一个角的 两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两 个角相等； 若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对 边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补 (2)证明角相等，一般采用三种途径 利用等角定理及推论； 利用三角形相似； 利用三角形
6、全等 跟踪训练 2在三棱柱 ABCA1B1C1中，M，N，P 分别为 A1C1， AC 和 AB 的中点求证： PNA1BCM. 证明：因为 P，N 分别为 AB，AC 的中点， 所以 PNBC. 又因为 M，N 分别为 A1C1，AC 的中点， 所以 A1M 綊 NC. 所以四边形 A1NCM 为平行四边形， 于是 A1NMC. 由及PNA1与BCM 对应边方向相同，得 PNA1BCM. 利用空间等角定理证明两角相等的步骤： (1)证明两个角的两边分别对应平行； (2)判定两个角的两边的方向都相同或者都相反 类型三求异面直线所成的角 例 3在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是
7、 A1B1，B1C1的 中点，求异面直线DB1与 EF 所成的角的大小 【解析】方法一如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交 于点 O，取 DD1的中点 G，连接 OG，A1G，C1G， 则 OGB1D，EFA1C1， GOA1为异面直线 DB1与 EF 所成的角 (或其补角 ) GA1GC1，O 为 A1C1的中点， GOA1C1. 异面直线 DB1与 EF 所成的角为 90 . 方法二如图所示，连接A1D，取 A1D 的中点 H，连接 HE，则 HE 綊 1 2DB 1， HEF 为异面直线 DB1与 EF 所成的角 (或其补角 ) 连接 HF，设 AA11，则 EF 2 2 ，H
8、E 3 2 ， 取 A1D1的中点 I，连接 HI，IF，则 HIIF， HF 2HI2IF25 4，HF 2EF2HE2，HEF90 . 异面直线 DB1与 EF 所成的角为 90 . 方法三：如图，连接A1C1，分别取 AA1，CC1的中点 M，N，连接 MN. E，F 分别是 A1B1，B1C1的中点， EFA1C1，又 MNA1C1，MNEF. 连接 DM，B1N，MB1，DN，则 B1N 綊 DM， 四边形 DMB1N 为平行四边形， MN 与 DB1必相交，设交点为 P， 则DPM 为异面直线 DB1与 EF 所成的角 (或其补角 ) 设 AA1k(k0)，则 MP 2 2 k，D
9、M 5 2 k，DP 3 2 k，DM 2 DP2MP2，DPM90 .异面直线 DB1与 EF 所成的角为 90 . 方法四：如图，在原正方体的右侧补上一个与其大小相等的正方 体，连接 B1Q，易得 B1QEF， DB1Q 就是异面直线 DB1与 EF 所成的角 (或其补角 ) 设 AA1k(k0)，则 B1D 3k，DQ5k，B1Q2k， B1D2B1Q2DQ 2，DB 1Q90 . 异面直线 DB1与 EF 所成的角为 90 . 利用中位线作平行线，找出异面直线 DB1与 EF所成的角即可求解 方法归纳 求异面直线所成角的步骤 一作：选择适当的点，用平移法作出异面直线所成的角； 二证：证
10、明作出的角就是要求的角； 三计算：将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊三角 形求解 , 跟踪训练 3如图，P 是平面 ABC 外一点，PA4，BC2 5，D， E 分别为 PC，AB 的中点，且 DE3.求异面直线 PA 与 BC 所成的角的 大小 解析：如图，取 AC的中点 F，连接 DF，EF，在PAC 中， D 是 PC 的中点， F 是 AC 的中点， DFPA. 同理可得 EFBC. DFE 为异面直线 PA 与 BC 所成的角 (或其补角 ) 在DEF 中，DE3，又 DF 1 2 PA2，EF1 2BC 5， DE2DF 2EF2， DFE90 ，即异面直线 PA 与 B
11、C 所成的角为 90 . 平移 PA， BC 至一个三角形中找出 PA和 BC 所成的角求 出此角 基础巩固 (25 分钟， 60 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分) 1一条直线与两条异面直线中的一条相交，则它与另一条的位置 关系是() A异面 B平行 C相交 D可能相交、平行、也可能异面 解析： 一条直线与两条异面直线中的一条相交，它与另一条的位 置关系有三种：平行、相交、异面，如下图所示 答案：D 2空间两个角 ，的两边分别对应平行且方向相同，若 50 ， 则 等于() A50 B130 C40 D50 或 130 解析：由等角定理知 与 相等，故选 A. 答案：A 3.
12、如图，在空间四边形ABCD 中，E，F 分别为 AB，BC 的中点，G， H 分别在边 CD， DA 上， 且满足 CG1 2GD， DH2HA， 则四边形 EFGH 为() A平行四边形B矩形 C菱形D梯形 解析：因为 E，F 分别为 AB，BC的中点， 所以 EF 綊 1 2AC， 又DH HA 2 1， DG GC 2 1， 所以 DH HA DG GC，所以 HG 綊 2 3AC， 所以 EFHG 且 EFHG， 所以四边形 EFGH 为梯形 答案：D 4若直线 l1和 l2是异面直线， l1在平面 内，l2在平面 内，l 是 平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是() Al 与 l
13、1，l2都不相交 Bl 与 l1，l2都相交 Cl 至多与 l1，l2中的一条相交 Dl 至少与 l1，l2中的一条相交 解析：由直线 l1和 l2是异面直线可知l1与 l2不平行，故 l1，l2中至 少有一条与 l 相交 答案：D 5在正方体 ABCDA1B1C1D1的所有面对角线中，与AB1成异面 直线且与 AB1成 60 的有() A1 条B2 条 C3 条D4 条 解析： 如图，AB1C 是等边三角形，所以每个内角都为60 ，所以面对 角线中，所有与 B1C 平行或与 AC平行的直线都与AB1成 60 角所以 异面的有 2 条 又AB1D1也是等边三角形，同理满足条件的又有2 条，共
14、4 条， 故选 D. 答案：D 二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分) 6. 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点，有以下四个结论： 直线 AM 与 CC1是相交直线； 直线 AM 与 BN 是平行直线； 直线 BN 与 MB1是异面直线； 直线 AM 与 DD 1是异面直线 其中正确的结论为 _(注：把你认为正确的结论的序号都 填上) 解析： 直线 AM 与 CC1是异面直线，直线 AM 与 BN 也是异面直线， 所以错误点 B，B1，N 在平面 BB1C1C 中，点 M 在此平面外，所 以 BN，MB1是异面直线同理AM，DD1也是异
15、面直线 答案： 7已知正方体 ABCDABCD中： (1)BC与CD所成的角为 _ _ ； (2)AD与BC所成的角为 _ _ 解析：连结 BA，则 BACD，连结 AC， 则ABC就是 BC与 CD所成的角由 ABC为正三 角形 ABC60 ， 由 ADBC，AD 与 BC所成的角就是 CBC. 易知CBC45 . 答案：(1)60 (2)45 8如图，点 P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱 的中点，则直线PQ 与 RS是异面直线的一个图是_(填序号 ) 解析：中 PQRS，中 RSPQ，中 RS和 PQ 相交 答案： 三、解答题 (每小题 10 分，共 20 分) 9在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为棱 A1A，C1C 的中 点，求证：四边形MBND1为平行四边形 证明：取 B1B 的中点 P，连接 C1P，MP. 因为 N 为 C1C 的中点，由正方体性质知C1N 綊 PB，所以四边形 C1PBN 为平行四边形，所以C1P 綊 BN，(*) 又因为 M，P 分别为 A1A，B1B 的中点，有 MP 綊 A1B1. 又由正方体性质知A1B1綊 C1D1， 所以 MP 綊 C1D1， 所以四边形 D1MPC1为平行四边形， 所以 C1P 綊 MD1. 由(*) 知 MD1綊 BN， 所以四边形 MBND1为平行四边形 10在正方体 AB
