《2021-2021学年高中数学人教A版必修2学案：1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积Word版含解析修订》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2021学年高中数学人教A版必修2学案：1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积Word版含解析修订（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、13.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 知识导图 学法指导 1.求几何体的表面积，要充分利用柱体、锥体、台体的结构特征， 准确把握各个面的形状与数量关系，尤其是侧面展开图与原几何体的 关系 2求体积问题则要准确把握底面积和高，尤其是四面体，确定哪 个面为底面要依据条件看哪个面的面积容易求出 3充分利用展开图和截面图，将空间问题转化为平面问题 高考导航 本节知识是高考的重点内容，考查频率很高，常考题型如下： (1)几何体的表面积或体积的计算，以选择题、填空题为主，分值 5 分 (2)与后面要学习的点、线、面的位置关系的知识综合，作为解答 题中的一问，考查几何体体积的计算，分值58 分. 知识点柱
2、体、锥体、台体的表面积 1棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，因此它们 的表面积等于各个面的面积之和，也就是展开图的面积 2圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱(底面半径为 r，母线长为 l) 圆锥(底面半径为 r，母线长为 l) 圆台(上、下底面 半径分别为 r， r，母线长为 l) 侧面展 开图 底面积S底2 r2S底 r 2 S底(r 2r2) 侧面积S侧2 rl S侧 rl S侧(rr)l 表面积S表2 r(rl)S表 r(rl) S表(r 2r2) (rr)l 3.体积公式 图形体积公式 柱 体 棱 柱 底面积为 S，高为 h，VSh 圆 柱 底面半径
3、为 r，高为 h，V r 2h 锥 体 棱 锥 底面积为 S，高为 h, V1 3Sh 圆 锥 底面半径为 r，高为 h，V1 3 r 2h 台 体 棱 台 上底面积为 S，下底面积为 S， 高为 h，V 1 3(S SSS)h 圆 台 上底半径为 r，下底半径为 R，高 为 h，V 1 3( r 2rRR2)h 1 .多面体与旋转体表面积的计算方法 (1)多面体展开图的面积即为多面体的表面积，在实际计算中，只 要弄清楚多面体的各个面的形状并计算其面积，然后求其和即可，一 般不把多面体真正展开 (2)求旋转体的表面积时， 要清楚常见旋转体的侧面展开图是什么， 关键是求其母线长与上、下底面的半径
4、 2 .柱体、锥体、台体体积之间的关系 柱体、锥体、台体的关系如下： 根据以上关系，在台体的体积公式中，令S S，得柱体的体积 公式；令 S 0，得锥体的体积公式，其关系如图： 小试身手 1判断下列命题是否正确 . (正确的打“”，错误的打“”) (1)锥体的体积等于底面面积与高之积() (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差() 答案：(1)(2) 2已知正六棱柱的高为6，底面边长为 4，则它的表面积为 () A48(33)B48(32 3) C24( 62) D144 解析：由题意，知侧面积为 664144， 两底面积之和为 2 3 4 42648 3，所以表面积 S48(33) 答案
5、：A 3若圆锥的母线长为8，底面周长为 6 ，则其体积是 () A24 B24 C3 55 D3 55 解析：设圆锥的母线长为l，高为 h，底面半径为r，由底面周长 为 2 r6 ，得 r3，所以 hl 2r2 823255.由圆锥的体积 公式可得 V 1 3 r 2h3 55. 答案：C 4圆台 OO的母线长为 6，两底面半径分别为2,7，则圆台的侧 面面积是 _ 解析：圆台的上底面半径r2，下底面半径 r7，母线长 l6， 则圆台的侧面面积S侧(rr)l (27)654. 答案：54 类型一空间几何体的表面积 例 1(1)底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对 角线长为6，则这个
6、棱柱的侧面积是() A2B4C6D8 (2)若一个圆锥的轴截面是边长为4 cm 的等边三角形， 则这个圆锥 的侧面积为 _cm 2，表面积为 _cm2. 【解析】(1)由已知得底面边长为1，侧棱长为622.S侧 1248. (2)如图所示， 轴截面是边长为 4 cm的等边三角形，OB2 cm， PB4 cm， 圆锥的侧面积 S侧 248 (cm 2)， 表面积 S表8 2212 (cm 2) 【答案】(1)D(2)8 12 (1)先由面对角线长求边长，再由体对角线求侧棱长，进而求解 (2)由轴截面求出底面半径，再利用圆锥的侧面积公式求圆锥的侧 面积，进而求表面积 方法归纳 1多面体的表面积转化
7、为各面面积之和 2解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转 化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来 解决 3旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开 图的弧长圆台通常还要还原为圆锥 跟踪训练 1如图所示，有一滚筒是正六棱柱形 (底面是正六边形， 每个侧面都是矩形 )，两端是封闭的， 筒高 1.6 m，底面外接圆的半径是 0.46 m，问：制造这个滚筒需要_m 2 铁板(精确到 0.1 m2) 解析：因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46 m， 所以底面正六边形的边长是0.46 m. 所以 S侧ch60.461.64.416 (m 2) 所以
8、S表S侧S上底S下底4.4162 3 4 0.46 265.6 (m2) 故制造这个滚筒约需要5.6 m2铁板 答案：5.6 本题实质上是求解正六棱柱的表面积，根据底面外接圆半径可确 定该六棱柱底面边长，高已知，从而问题可解 类型二空间几何体的体积 例 2(1) 在正三棱柱 ABCA1B1C1中，D 为棱 AA1的中点，若BC1D 是面 积为 6 的直角三角形，则此三棱柱的体积为_； (2)一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为15，求这个正三棱锥 的体积 【解析】(1)由题意，设 ACa(a0)，CC1b(b0)，则 BD C1Da2 b2 4 ，BC1a2b2，由BC1D 是面积为 6 的直
9、角三角形， 得 a 21 4b 2 2a2b 2，得 b22a2，又1 2 3 2a 26，a28，b216， 即 b4.SABC 3 4 a 2，V 3 4 848 3., (2)如图所示为正三棱锥SABC.设 H 为正三角形 ABC的中心，连 接 SH，则 SH即为该正三棱锥的高连接AH 并延长交 BC 于 E，则 E 为 BC的中点，且 AEBC. ABC 是边长为 6 的正三角形， AE 3 2 63 3，AH 2 3AE2 3. 在 RtSHA中，SA15，AH2 3， SHSA 2AH2 15123. 在ABC 中，SABC1 2BC AE 1 2 63 39 3， VSABC 1
10、 39 3 39，即这个正三棱锥的体积为 9. 【答案】(1)8 3(2)9 (1)利用截面的面积求出三棱柱的底面边长及高，然后利用体积公 式求体积 (2)求棱锥的体积关键是求其高，需要在正棱锥的特征三角形中求 解 方法归纳 1常见的求几何体体积的方法 公式法：直接代入公式求解等积法：如四面体的任何一个 面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可分割 法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积 2求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分 利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算 跟踪训练 2如图，过圆柱的两条母线AA1和 BB1
11、的截面 A1ABB1 的面积为 S，母线 AA1的长为 l，A1O1B190 ，求此圆柱的体积 解析：S截面 A1ABB1S，AA1l， A1B1 S l .在 RtA1O1B1中，O1A1 2 2 S l 2S 2l ， V 圆柱 r2h2S 2l 2 l S 2 2l . 根据母线长及截面的面积便可确定AB 的长，结合底面直角三角 形便可求得底面半径 类型三组合体的表面积和体积 例 3梯形 ABCD 中，ADBC，ABC90 ，ADa，BC2a， DCB60 ， 在平面 ABCD 内过点 C 作 lBC， 以 l 为轴将梯形 ABCD 旋转一周，求旋转体的表面积和体积 【解析】由题意知以l
12、 为轴将梯形 ABCD 旋转一周后形成的几 何体为圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥，如图所示 在梯形 ABCD 中，ABC90 ， ADBC， ADa， BC2a， DCB 60 ， CD BCAD cos60 2a，ABCDsin60 3a， DDAA2AD2BC2AD2a， DO1 2DDa. 由上述计算知，圆柱的母线长为3a，底面半径为2a；圆锥的母 线长为 2a，底面半径为 a. 圆柱的侧面积S122a3a4 3 a2，圆锥的侧面积S 2 a 2a2 a 2， 圆柱的底面积 S3(2 a)24 a2，圆锥的底面积S4 a2， 组合体上底面面积S5S3S43 a 2， 旋转体的表面
13、积SS1S2S3S5(4 39) a 2. 又由题意知形成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积， 且 V 柱(2a)23a4 3 a3， V锥1 3 a23a 3 3 a 3. 旋转体的体积 VV 柱V锥4 3 a3 3 3 a 311 3 3 a 3. 旋转体的表面积等于圆柱侧面积、圆锥侧面积与圆柱上下底面积 之和减去圆锥底面积，旋转体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积 方法归纳 求组合体的表面积与体积的方法 (1)分析结构特征 弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量 (2)设计计算方法 根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面 ”面积的处 理利用 “切割”“补形”的方法求
14、体积 (3)计算求值根据设计的计算方法求值 跟踪训练 3如图，在ABC 中，AB8，BC10，AC6，DB 平面 ABC，且 AEFCBD，BD3，FC4，AE5，则此几何体的 体积为_ 解析： 用“补形法 ”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA BBCC8，由已知得 BAC90 ，所以V 几何体 1 2V 三棱柱 1 2 SABC AA1 2 1 268 896. 答案：96 将所求几何体补成一个直三棱柱，利用棱柱的体积公式即可求得 该几何体的体积 . 基础巩固 (25 分钟， 60 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分) 1如图所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则该圆锥的表面积
15、为() AB2 C3 D4 解析：设圆锥的母线长为l，则 l123 22，所以圆锥的表 面积为 S 1(12)3. 答案：C 2若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为 3，则该棱台的体 积为() A26 B28 C30 D32 解析：所求棱台的体积V 1 3(416 416)328. 答案：B 3若圆柱的底面半径为1，其侧面展开图是一个正方形，则这个 圆柱的侧面积是 () A4 2 B3 2 C2 2 D 2 解析：依题意，圆柱的母线长l2 r，故 S侧2 rl4 2r242. 答案：A 4正方体 ABCDA1B1C1D1中，以顶点 A、C、B1、D1为顶点的 正三棱锥的全面积为4 3，则
16、该正方体的棱长为 () A.2 B2 C4 D2 2 解析：设正方体棱长为 a，侧面的对角线长为2a，所以正三棱锥 ACB1D1的棱长为2a，其表面积为 4 3 4 (2a)24 3，可得 a2 2，即 a2. 答案：A 5在ABC 中，AB2，BC 3 2，ABC120 ，将 ABC 绕直 线 BC 旋转一周，所形成的几何体的体积是() A.9 2 B. 7 2 C.5 2 D. 3 2 解析：如图， ABC 绕直线 BC 旋转一周，所形成的几何体是以 ACD 为轴截面的圆锥中挖去一个以ABD 为轴截面的圆锥后剩余的 部分 因为 AB2，BC3 2，ABC120 ， 所以 AEABsin60 3，BEAB cos60 1，CE 5 2. V1 1 3 AE 2 CE5 2 ，V21 3 AE 2 BE ， 所以 VV1V2 3 2. 故选 D. 答案：D 二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分) 6201
