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1、 甘肃政法学院本科学年论文（设计）题 目 浅议线性方程组的几种求解方法学 号： 姓 名： 指导教师： 成 绩：_完成时间： 2012 年 11 月目录第一章 引言 1第二章 线性方程组的几种解法 12.1 斯消元法12.1.1 消元过程 12.1.2 回代过程 22.1.3 解的判断 22.2 克莱姆法则32.3 LU 分解法 42.4 追赶法6第三章 结束语 8致 谢 8 参考文献 9 浅议线性方程组的几种求解方法摘 要:线性方程组是线性代数的核心内容之一，其解法研究是代数学中经典且重要的研究课题.下面将综述几种不同类型的线性方程组的解法，如消元法、克莱姆法 则、直接三角形法、 、追赶法，并
2、以具体例子介 绍不同解法的应用技巧 . 在这些解法中，高斯消元法方法，具有表达式清晰，使用范围广的特点.另外，这些方法有利于快速有效地解决线性方程组的求解问题，为解线性方程组 提供一个简易平台，促 进了理 论与实际的结合。关键词:线性方程组;解法;应用 Several methods of solving linear equation groupAbstract: The system of linear equations is one of linear algebra core contents, its solution research is in the algebra the
3、classics also the important research topic. This article summarized several kind of different type system of linear equations solution, like the elimination, the Cramer principle, the generalized inverse matrix law, the direct triangle law, the square root method, pursue the law, and by concrete exa
4、mple introduction different solution application skill. In these solutions, the generalized inverse matrix method, has the expression to be clear, use scope broad characteristic. Moreover, these methods favor effectively solve the system of linear equations solution problem fast, provides a simple p
5、latform for the solution system of linear equations, promoted the theory and the actual union.Key word: Linear equations; Solution ; Example 1浅议线性方程组的几种求解方法第一章 引言线性方程组理论是高等数学中十分重要的内容，而线性方程组的解法是利用线性方程组理论解决问题的关键.下面将介绍线性方程组的消元法、追赶法、直接三角形法等求解方法，为求解线性方程组提供一个平台。首先，我们讨论一般线性方程组，这里所指的一般线性方程组形式为 snsss nbxaxab
6、xaxa.21 22212 11(1)式中 代表未知量， 称为方程组的(1,2)ixn (1,;,2)ij j 系数， 称为常数项.则线性方程组(1)称为齐次线性方程组，如jb果常数项全为零，即 .120sbb令 , , 12212nssnaaA 12nxX12sbB则可用矩阵乘法表示为 ，A,.mnmCC第二章 线性方程组的几种解法2.1 高斯消元法高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出 x 向量。现举例说明如下 : )3(224416331x2.1.1 消元过程第一步：将(1)3 使 的系数化
7、为 1 得 （1）1x 232xx再将(2)、(3)式中 x1的系数都化为零，即由(2)-2(1)得2由(3)-4(2)得第二步：将(3)除以 ，使 x2系数化为 1 得3再将(4)式中 x2系数化为零，即由(4)-(- ) (5)，得34)6(.183x第三步：将(6)除以 ，使 x3系数化为 1，得18经消元后，得到如下三角代数方程组：)3(120231x2.1.2 回代过程由(7)得 x 3=-1,将 x3代入(5)得 x2=-2,将 x2 、x 3代入(2)得 x2=1所以，本题解为（x）=（1,2,-1） T 2.1.3 解的判断设方程组的增广矩阵记为 A，则 经过初等行变换可化为如
8、下的阶梯形矩阵(必要是可重新排列未知量的顺序)：)7(.5(.0)4(.630423.3x)2(12130.0.0. . .0. 12122 111 rnrnrndccdcA其中 cii0(i=1，2， r)于是可知：(1)当 dr+1=0，且 r=n 时，原方程组有唯一解(2)当 dr+1=0，且 rk 时，l kr=0, 且 lkk=1，因为所以， nrrjkkjj nkulau1,.1nrrjkkjjl1nrrjkkjula16同理可推出计算 L 的第 k 列的公式：因此得到如下算法杜利特（Doolittle）算法:(1)将矩阵分解为 A=LU,对 k=1,2,n1,.1/)( ,.1k
9、nrkrjkiirrjkkjjl niulau：公 式(2)解 Ly=b(3)解 Ux=y例: 求解线性方程组 1231,47.x解 由直接三角分解法第二、三步可得21021434ALU于是线性方程组变为 ，bLUx求解线性方程组 ，得 ；Ty)7,21( Ty),1(求解线性方程组 ，得 .4x22.4 追赶法在许多实际问题中，都会要求解系数矩阵为对角占优的三对角方程组1,.2:2krrk nylby公 式 nkrkrk uxx1 1,./)(3：公 式nrkrjkii niulal1 ,.1/)(7，111 2222111iii iinnnxkbcabcaxkb 简记作 ，Axk其中 满足
10、下列对角占优条件：(1) ;10bc(2) , , ( 2,3, , );iiiaic0i 1n(3) .n由系数矩阵 的特点，可以将 分解为两个三角矩阵的乘积，即 ，AAALU其中 为下三角矩阵， 为单位上三角矩阵.LU求解线性方程组 等价于解两个三角方程组 与 ，先后求xkLykxy与 ，从而得到以下解三角方程组的追赶法公式：yx第一步：计算的递推公式 ， ， ，3， ，1cb1()iicba(2i;1)n第二步：解 ： ， ， ;Lyk1 11iiiiiyk,)n第三步：解 ： ， ， . Uxnx(,n例 : 求解三对角线性方程组 12342010x解 设有三角分解，111222 23
11、33 344bcpqaabp由矩阵乘法易得 11,2.3,iipqca8将已知系数矩阵的元素代人上式有 375,21,4321pqp解线性方程组 ,11223340pyp得 ,7,5,213yy再解线性方程组 ,112234xyq得原线性方程组的为 .123(,)(0,1)TTx第三章 结束语本文针对不同的线性方程组给出了一些计算方法，及线性方程组的应用实例. 高斯消元法是通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出 x 向量;LU 分解法的优点是当方程组左端系数矩阵不变，仅仅是方程组右端列向量改变，即外加激励信号变化时，能够方便地求解方程
12、组；追赶法是以 分解为基础的求解方法，LU因此它的不足之处是当某个 时，就不能进行，但是当方程组的系数矩阵0ku中有很多零元素时，利用三对角方程组系数矩阵的稀疏性，使零元素不参加A运算，可以类似于追赶法来简化计算过程，从而极大地节省了计算量和存储量.这也是追赶法的最大特点.根据线性方程组自身所具有的特点，可以选择相应合适的方法，而对于那些特殊类型的线性方程组的解法，有待进一步的讨论与研究。9致 谢时光匆匆，如白驹过隙。在论文完成之际，不免感叹时光易逝，韶华难追相对，面对顺利完成的论文，我满怀欣喜。首先要感谢的是我的论文指导老师。本论文能够顺利完成，离不开赵老师的悉心指导和严格要求，赵老师在论文
13、的选题、研究理论，直至撰写、修改和定稿等各个环节均严格把关，并投入了大量的时间和精力。赵老师治学严谨，学识渊博，为我营造了一种良好的研究氛围。赵老师严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力，令人如沐春风，倍感温馨。再次感谢计算机科学学院为我们提供了升本的机会，感谢政法学院提供了如此优秀的师资力量，及各位老师的教诲，使我受益匪浅，我的成长和他们每一个人都是分不开的。参 考 文 献1 白梅花. 线性方程组若干应用实例举例J.科技资讯,2011,(27):200-201.2 卢刚.线性代数M. 北京：高等教育出版社,2002.64-72.3 李庆扬，易大义. 数值分析M.4 版.武汉：华中科技大学出版社,2006.177-185.4 苏育才，姜翠波，张跃辉. 矩阵理论M.北京：科学出版社,2006.200-206.5 首都师范大学数学系组编. 数值分析M.北京：科学出版社,2000.28-32.本科生学年论文（设计）成绩表姓名 专业 计算机科学与技术 班级指定论文题目浅议线性方程组的几种求解方法任选 指导教师评语及评分指导教师评语：指导教师评分_ 指导教师签字：_年 月 日主管院长签字_（盖公章）年 月 日
