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1、一（本题满分10分） 请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状 态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感 2 L的电流强度。 【解答】根据基尔霍夫定律得： 1 113 2223 321 L xRxxu L xRxx Cxxx 改写为 113 111 223 22 312 11 1 11 R xxxu LLL R xxx LL xxx CC ，输出方程为 2 yx 写成矩阵形式为 11 111 22 22 33 1 2 3 1 01 1 00 0 11 0 010 R LL xxL R xxu LL xx CC x yx x 二 （本题满分 10 分） 单输入单输出离
2、散时间系统的差分方程为 (2)5 (1)3 ( )(1)2 ( )y ky ky kr kr k 回答下列问题： （1）求系统的脉冲传递函数； （2）分析系统的稳定性； （3）取状态变量为 1( ) ( )x ky k， 21 ( )(1)( )xkx kr k ，求系统的状态空间表达式； （4）分析系统的状态能观性。 【解答】 （1）在零初始条件下进行z 变换有： 2 53( )2( )zzY zzR z 系统的脉冲传递函数： 2 ( )2 ( )53 Y zz R zzz （2）系统的特征方程为 2 ( )530D zzz 特征根为 1 4.3z， 2 0.7z， 1 1z，所以离散系统不
3、稳定。 （3）由 1( ) ( )x ky k， 21 ( )(1)( )x kx kr k，可以得到 21 (1)(2)(1)(2)(1)xkx kr ky kr k 由已知得 (2)(1)2 ( )5 (1)3 ( )y kr kr ky ky k112 ( )5(1)3( )r kx kx k 21 2 ( )5( )( )3 ( )r kxkr kx k 12 3( )5( )3 ( )x kxkr k 于是有： 212 (1)3( )5( )3 ( )x kx kxkr k 又因为 12 (1)( )( )x kxkr k 所以状态空间表达式为 11 22 1 2 (1)( )011
4、 ( ) (1)35( )3 ( ) ( )10 ( ) x kx k r k x kx k x k y k x k （4）系统矩阵为 01 35 G，输出矩阵为10c， 01 1001 35 cG 能观性矩阵为 o 10 01 c Q cG ， o rank2Q，系统完全能观。 三 （本题满分 10 分） 回答下列问题： （1）简述线性系统的对偶原理； （2）简述线性定常系统的状态稳定性与输出稳定性的相互关系； （3）r输入r输出 2r 阶线性解耦系统等效于多少个独立的单输入单输出系统？ 【解答】 （1）若线性系统 1 与线性系统 2 互为对偶，则系统1 的能控性等价于系统2的能观性， 系统
5、 1的能观性等价于系统2 的能控性。 （2）若线性定常系统的状态稳定，则输出必稳定，反之，若线性定常系统的输出稳定， 则状态未必稳定。当且仅当线性定常系统的传递函数没有零极点对消现象时，其状态稳 定性和输出稳定性才是等价的。 （3）r输入r输出 2r 阶线性解耦系统等效于 r 个独立的单输入单输出系统。 四 （本题满分 10 分） 设有一个 2 阶非线性系统，其状态方程为 1122 22 cosxxxx xx ，判断该系统在坐标 原点处的稳定性，并证明你的判断。 【解】此系统在坐标原点处不稳定。 【证明】 取李雅普诺夫函数 22 12 ( )Vxxx，显然是正定函数，此外，沿着状态轨线的导数为
6、： 2 112211222 ( )222cos2Vx xx xxxxxxx 22 11222 22cos2xx xxx 22 11222 2cos2xx xxx 222222 112222222 11 2coscos2cos 42 xx xxxxxxx 2 22 12222 11 2cos2cos 22 xxxxx 显然是正定的，所以该系统在坐标原点处不稳定。 五 （本题满分 10 分） 设某控制系统的模拟结构图如下， 试判断系统的能控性、能观性和稳定性。 【解答】 根据模拟结构图可得状态空间表达式 112 21 23xxxu xxu 1 yx 写成矩阵形式为 11 22 1 2 231 10
7、1 10 xx u xx x y x 23 10 A ， 1 1 b ，10c。 系统的特征方程为 2 23 det230 1 IA 显然系统渐近稳定。 系统的能控性矩阵为 15 11 c QbAb ，显然， c Q 满秩，所以系统状态 完全能控。 系统的能观性矩阵为 10 23 o c Q cA ，显然， o Q满秩，所以系统状态完全能观。 六 （本题满分 10 分） 某系统的状态空间表达式为 001 160 01 u y xx x 设计一个全维状态观测器，使观测器的两个极点均为10。 【解答】 设全维观测器方程为 11 22 001 01 160 ll uy ll xx 11 22 01
8、160 ll uy ll xx 观测器特征多项式为 112 21 22 0 det6 1616 ll ll ll I 观测器期望特征多项式为 2 2 1020100 根据多项式恒等的条件得 2 1 620 100 l l 解得 1 2 100 14 l l ，全维状态观测器方程为 01001100 120014 uyxx 七. （本题满分 10 分） 证明对于状态空间表达式的线性变换，其特征方程保持不变。 【证明】设原线性系统为 xAxBu yCxDu 其特征方程为det0sIA 设线性变换为xTz，变换后的线性系统为 11 zTATzTBu yCTzDu 该系统的特征方程为 1 det0sI
9、TAT 写成 11 det0sT TTAT 1 det0sTIA T 1 detdetdet0sTIAT 1 detdetdet0sTTIA 1 detdet0sT TIA detdet0sIIA det0sIA 显然，其特征方程保持不变。证毕 八. （本题满分 10 分） 开环系统的结构如图所示： 试 用 状 态 反 馈 的方 法 ， 使 闭 环 系 统 单 位 阶 跃 响应 的过 渡 过 程 时 间5.65 s t秒 （0.02） ，超调量为4.32% P ，其中一个闭环特征值为5。求状态反馈控制律 的数学表达式。 【解答】将上述方块图该画成模拟结构图，如下： 写成状态空间表达式为 12
10、223 33 1 55 2 xx xxx xxu yx ，即 0100 0550 0012 100 u y xx x 闭环系统单位阶跃响应的过渡过程时间5.65 s t秒（0.02） ，可得： 4 5.65 s n t ，0.707 n ， 超调量为 2 1 4.32% P e，解得0.707，所以1 n 。期望闭环特征多项 式为 222 52521 nn ssssss *32 ( )5215 25fssss 设状态反馈控制律为 123 ukkkx，代入可得闭环系统的状态方程 123 010 055 2221kkk xx 闭环特征多项式为 123 00010 ( )detdet00055 002221 s f sss skkk IA 123 10 det055 2221 s s kksk 32 3231 625 101010skskksk 根据多项式恒等条件可得： 3 23 1 62526.414 5101015 28.07 105 k kk k 解得： 1 2 3 0.5 0.1 0.207 k k k ，状态反馈控制律为 123123 0.50.10.207ukkkxxxx 。
