《高考数学一轮总复习18.1绝对值型不等式教案理新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮总复习18.1绝对值型不等式教案理新人教A版（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十八章不等式选讲 高考导航 考试要求重难点击命题展望 1. 理解绝对值的几何意义，并能用它证明绝对 值 三 角 不 等 式 等 较 简 单 的 不 等 式 . |a b| |a| |b| ； |a b| |a c| |c b|. 2. 能用绝对值的几何意义解几类简单的绝对值 型不等式，如|ax b| c或 |ax b| c，以及 |x a| |x b| c 或|x a| |x b| c 类 型. 3. 了解证明不等式的基本方法：比较法、综合 法、分析法、反证法和放缩法. 4. 了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用 它证明一些简单不等式及其他问题. 5. 了解柯西不等式的几种不同形式：二维形
2、式 (a2 b2)(c2 d2)(ac bd)2 、 向 量 形 式 | | | | | |、一般形式 ? n i n i n i iiii baba 11 2 1 22 )( ， 理解它们的几何意义. 掌握柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类 型的函数极值中的应用. 6. 了解排序不等式的推导及意义并能简单应 本章重点： 不 等 式 的 基 本 性质；基本不 等 式 及 其 应 用、 绝对值型 不 等 式 的 解 法及其应用； 用比较法、 分 析法、综合法 证明不等式； 柯西不等式、 排 序 不 等 式 及其应用 . 本章难点： 三 个 正 数 的 算 术 几 何 平 均 不 等 式 及其应
3、用； 绝 对 值 不 等 式 的解法；用反 本专题在数学必 修 5“不等式”的 基础上，进一步学 习一些重要的不 等式， 如绝对值不 等式、柯西不等 式、 排序不等式以 及它们的证明， 同 时了解证明不等 式的一些基本方 法，如比较法、 综 合法、分析法、 反 证法、放缩法、 数 学归纳法等， 会用 绝对值不等式、 平 均值不等式、 柯西 不等式、排序不等 式等解决一些简 单问题 . 高考中， 只考查上述知识 用. 7. 会用数学归纳法证明贝努利不等式： . )1,0,1(1)1(的正整数为大于nxxnxx n 证法、放缩法 证明不等式； 运 用 柯 西 不 等 式 和 排 序 不 等 式 证
4、 明 不等式 . 和方法，不对恒等 变形的难度和一 些技巧作过高的 要求 . 知识网络 18.1 绝对值型不等式 典例精析 题型一解绝对值不等式 【例 1】设函数f(x)|x 1| |x 2|. (1) 解不等式f(x)3； (2) 若 f(x)a 对 xR恒成立，求实数a 的取值范围 . 【解析】 (1) 因为 f(x)|x 1| |x 2| .23,-2 2,1 , 1 1,23 xx x xx 所以当 x1 时， 32x3，解得 x0； 当 1x2 时， f(x)3 无解； 当 x2 时， 2x33，解得 x3. 所以不等式f(x) 3 的解集为 ( ， 0) (3 ， ). (2) 因
5、为 f(x) .23,-2 2,1 ,1 1,23 xx x xx 所以 f(x)min1. 因为 f(x)a 恒成立， 所以 a1，即实数 a 的取值范围是( ， 1). 【变式训练1】设函数f(x) |x 1| |x 2| a. (1) 当 a 5 时，求函数f(x) 的定义域； (2) 若函数 f(x) 的定义域为R，试求 a 的取值范围 . 【解析】 (1) 由题设知 |x 1| |x 2| 50，如图，在同一坐标系中作出函数y |x 1| |x 2| 和 y5 的图象，知定义域为( ， 2 3 ， ). (2) 由题设知，当xR时，恒有 |x 1| |x 2| a0，即 |x 1|
6、|x 2| a， 又由 (1) 知|x 1| |x 2| 3， 所以 a3，即a 3. 题型二解绝对值三角不等式 【例2】已知函数f(x)|x 1| |x 2| ，若不等式|a b| |a b| |a|f(x)对 a0， a、b R恒成立，求实数x 的范围 . 【解析】由 |a b| |a b| |a|f(x)且a0 得 |a b| |a b| |a| f(x). 又因为 |a b| |a b| |a| |a bab| |a| 2，则有 2f(x). 解不等式 |x 1| |x 2| 2 得 1 2x 5 2. 【变式训练2】 (2013 深圳模拟 ) 若不等式 |x 1| |x 3| a 4
7、 a对任意的实数 x 恒成 立，则实数a 的取值范围是. 【解析】 ( ， 0) 2. 题型三利用绝对值不等式求参数范围 【例 3】(2012 辽宁质检 ) 设函数 f(x) |x 1| |x a|. (1) 若 a 1，解不等式f(x) 3； (2) 如果 ? x R ，f(x) 2，求a 的取值范围 . 【解析】 (1) 当 a 1 时， f(x)|x 1| |x 1|. 由 f(x) 3 得 |x 1| |x 1| 3， 当 x 1 时，不等式化为1x1x3，即 2x3， 不等式组 3)( 1, xf x 的解集为 (， 3 2 ； 当 1x1 时，不等式化为1 xx13，不可能成立，
8、不等式组 3)( 1,1 xf x 的解集为 ?； 当 x1 时，不等式化为x1 x13，即 2x3， 不等式组 3)( 1, xf x 的解集为 3 2， ). 综上得 f(x) 3 的解集为 ( ， 3 2 3 2， ). (2) 若 a 1，f(x)2|x 1| 不满足题设条件. 若 a1， f(x) 1,1),(-2 1,1 , 12 xax xaa axax f(x)的最小值为1a. 由题意有1a2，即 a 1. 若 a1， f(x) ,1),(-2 ,1 ,1 1, 12 axax axa xax f(x)的最小值为a1，由题意有a12，故 a3. 综上可知a 的取值范围为( ，
9、1 3 ， ). 【变式训练3】关于实数x 的不等式 |x 1 2(a 1)2| 1 2(a 1)2 与 x23(a 1)x 2(3a 1)0 (a R)的解集分别为A，B.求使 A? B的 a 的取值范围 . 【解析】由不等式|x 1 2(a 1)2| 1 2 (a 1)2 ? 1 2 (a 1)2x 1 2(a 1)2 1 2(a 1)2 ， 解得 2axa2 1，于是 A x|2a xa2 1. 由不等式x23(a 1)x 2(3a1)0? (x 2)x (3a 1) 0， 当 3a12，即 a 1 3时， Bx|2 x3a 1 ， 因为 A? B，所以必有 1,31 ,22 2 aa
10、a 解得 1a3； 当 3a 12，即 a 1 3时， Bx|3a 1x2， 因为 A? B，所以 2,1 ,213 2 a aa 解得 a 1. 综上使 A? B的 a 的取值范围是a 1 或 1a3. 总结提高 1. “绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的 条件 . 2. 绝对值不等式的解法中，| |xa 的解集是 ( a， a) ；| |xa 的解集是 ( ， a) (a ， ) ，它可以推广到复合型绝对值不等式|ax b c，|axb c 的解 法，还可以推广到右边含未知数x 的不等式， 如|3x1 x 1? 1x3x1x 1. 3. 含有两个绝对值符号的不等式，如|xa|xbc和|xa |xb c型 不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要 是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x 前面系数不 为 1 类型的上述不等式，使用范围更广.
