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1、高中高一数学必修1 各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合 有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性：1. 确定性； 2.互异性； 3.无序性 说明： (1) 对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2) 任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3) 集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样。 (4) 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、
2、集合的表示： 如 我校的篮球队员， 太平洋 , 大西洋 , 印度洋 , 北冰洋 1. 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 2集合的表示方法：列举法与描述法。 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象 是否属于这个集合的方法。 语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式x-32 的解集是 xR| x-32或x| x-32 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作: N正整数集 : N*或 N+整数集 : Z有理数集
3、:Q实数集 : R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合 A 的元素，就说a 属于集合A 记作 a A ，相反， a 不属于集合A 记作 aA 4、集合的分类： 1有限集含有有限个元素的集合 2无限集含有无限个元素的集合 3空集不含任何元素的集合例： x|x 2=5 、集合间的基本关系 1. “包含”关系子集 注意：BA有两种可能（ 1）A是 B的一部分，； （2）A与 B是同一集合。 反之 : 集合 A不包含于集合B,或集合 B不包含集合A, 记作 AB或 BA 2 “相等”关系 (5 5，且 5 5，则 5=5) 实例：设 A=x|x 2-1=0 B=-1
4、,1 “元素相同” 结论：对于两个集合A与 B ，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时 , 集合 B的任何一个元素都 是集合 A的元素，我们就说集合A等于集合B ，即： A=B 任何一个集合是它本身的子集。A A 真子集 : 如果 A B,且 A B 那就说集合A是集合 B的真子集，记作AB(或 BA) 如果 AB, BC , 那么 AC 如果 A B 同时 BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 、集合的运算 1交集的定义：一般地，由所有属于A且属于 B的元素所组成的集合, 叫做 A,B 的交集记作A
5、 B(读作 A交 B) ，即 AB=x|x A，且 xB 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集。 记作： A B(读作 A并 B) ，即 AB=x|x A，或 xB 3、交集与并集的性质：AA = A, A = , A B = B A，A A = A,A = A ,A B = B A. 、全集与补集 S CsA A （1）补集：设S是一个集合，A是 S的一个子集（即 SA ） ，由 S 中所有不属于A的元素组成的集合，叫 做 S中子集 A的补集（或余集）记作： CSA 即 CSA =x xS且 xA （2）全集：如果集合S 含有我们所要研究
6、的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U 来表示。 （3）性质： CU(C UA)=A (C UA)A=(CUA)A=U 二、函数的有关概念 函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A中的任意一个数x，在 集合 B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A B为从集合 A到集合 B的一个函数记作： y=f(x)， xA其中， x 叫做自变量， x 的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集 合 f(x)| xA 叫做函数的值域 注意： 2如果只给出解析式 y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数
7、的定义域即是指能使这个式子有意义的 实数的集合；3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式 定义域补充 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1) 分式的分母不等于零； (2) 偶次方根的被开方数不小于零； (3) 对数式的真数必须大于零； (4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5) 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成. 它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6) 指数为零底不可以等于零 (7) 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。 构成函数的三要素
8、：定义域、对应关系和值域 再注意：（ 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如 果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） （ 2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。 相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 ( 两点必须同时具备) ( 见课本 21 页相关例2) 值域补充 (1)函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2)应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。 、
9、函数图象知识归纳 (1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集 合 C， 叫做函数y=f(x),(x A)的图象 C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)， 反过来，以满足y=f(x) 的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在 C上 . 即记为 C= P(x,y) | y= f(x) , xA 图象 C一般的是一条光滑的连续曲线( 或直线 ), 也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲 线或离散点组成。 (2) 画法 A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表
10、，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应 的点 P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法（请参考必修4 三角函数） 常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3) 作用： 1、直观的看出函数的性质； 2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。 快去了解区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示 什么叫做映射 一般地，设A 、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A中的任意一个元素x， 在集合 B中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A
11、B为从集合 A到集合 B的一个映射。记作“f ： AB” 给定一个集合A到 B的映射， 如果 a A,bB. 且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素a 的象， 元素 a 叫做元素b 的原象 说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应， 集合A、B及对应法则f是确定的； 对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的； 对于映射f：AB来说，则应满足： （）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； （）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； （）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 常用的函
12、数表示法及各自的优点： 1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象 的依据； 2 解析法：必须注明函数的定义域； 3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征； 4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征 注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值 补充一：分段函数（参见课本P24-25 ） 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表 达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达
13、式并用一个左大括号括起来， 并分别注明各部分的自变量的取值情况（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函 数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集 补充二：复合函数 如果 y=f(u),(uM),u=g(x),(xA), 则 y=fg(x)=F(x)，(x A) 称为 f 、g 的复合函数。 例如 : y=2 sinX y=2cos(X 2 +1) 函数单调性 (1) 设函数 y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2时，都 有 f(x 1)f(x2) ，那么就说 f(x)在区间 D上是增函数。区间D
14、称为 y=f(x)的单调增区间（睇清楚课本单调区间的 概念）如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1x2 时，都有f(x1) f(x2)，那么就说f(x)在这个 区间上是减函数. 区间 D称为 y=f(x)的单调减区间. 注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当 x1x2时，总有f(x 1)f(x2) 。 (2) 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有( 严格的 ) 单调性， 在单 调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左
15、到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： 1任取 x1，x2D，且 x11，且nN * 当n是奇数时， 正数的 n次方根是一个正数， 负数的 n次方根是一个负数 此时，a的n次方根用符号 n a表 示式子 n a叫做根式（ radical） ，这里n叫做根指数（radical exponent） ，a叫做被开方数（radicand ） 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数a的正的n次方根用符号 n a表 示，负的 n次方根用符号 n a表示正的 n次方根与负的n 次方根可以合并成 n a（a0） 由此可得：负数 没有偶次方根；0 的任
16、何次方根都是0，记作00 n 。 注意：当n是奇数时， aa nn ，当n是偶数时， )0( )0( | a a a a aa nn 2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： )1,0( * nNnmaaa nm n m ，)1, 0( 11 * nNnma a a a nm n m n m 0 的正分数指数幂等于0， 0 的负分数指数幂没有意义 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质 也同样可以推广到有理数指数幂 3实数指数幂的运算性质 （ 1） r a srr aa ),0(Rsra； （2） rssr aa )( ),0(Rsra； （3） srr aaab)( ),0(Rsra （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(aaay x 且叫做指数函数（exponential function） ，其中 x 是自 变量，函数的定义域为R注意：
