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1、高二数学选修 22 测试题 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1 、若函数( )yf x在区间( , )a b内可导，且 0 ( , )xa b则 00 0 ()() lim h f xhf xh h 的值为（） A 0 ()fx B 0 2()fx C 0 2()fx D0 2、一个物体的运动方程为 2 1tts其中s的单位是米， t的单位是秒，那么 物体在 3秒末的瞬时速度是（） A 7米/ 秒 B 6 米/ 秒 C 5米/ 秒 D 8米/ 秒 3、函数 3 yxx的递增区间是（） A),0( B)1 ,( C ),( D), 1( 4、 32 ( )32f xaxx, 若 (
2、1)4f, 则a的值等于（） A 3 19 B 3 16 C 3 13 D 3 10 5、若曲线 4 yx的一条切线 l 与直线480 xy垂直，则 l 的方程为（） A430 xy B 450 xy C 430 xy D 430 xy 6、如图是导函数 / ( )yfx的图象，那么函数( )yf x在下面哪个区间是减函数 A. 13 (,)x x B. 24 (,)xx C. 46 (,)xx D. 56 (,)xx 7、设 * 2 11111 ( )() 123 S nn nnnnn N，当2n时，(2)S（） 1 2 11 23 111 234 1111 2345 8、如果 10N的力能
3、使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离 平衡位置 6cm处，则克服弹力所做的功为（） (A)0.28J (B)0.12J (C)0.26J (D)0.18J 9、 有一段“三段论”推理是这样的： 对于可导函数( )f x，如果 0 ()0fx，那么 0 xx是函数( )f x的极值点，因为函 数 3 ( )f xx在0 x处的导数值(0)0f，所以，0 x是函数 3 ( )f xx的极值点 . 以上推理中（） A大前提错误 B 小前提错误 C 推理形式错误 D 结论正确 10、已知直线kxy是xyln的切线，则 k 的值为（） （A） e 1 （B） e 1 （C） e 2
4、 （D ） e 2 11、在复平面内 , 复数 1 + i 与31i 分别对应向量OA和OB, 其中 O为坐标原 点, 则AB=（） A.2 B.2 C. 10 D. 4 12、 若点 P在曲线 yx 33x2(3 3) x 3 4上移动，经过点 P的切线的倾斜角 为 ，则角 的取值范围是 ( ) A0 ， 2 ) B 0 ， 2 ) 2 3 ，) C 2 3 ，) D 0 ， 2 )( 2 ，2 3 二、填空题（每小题5 分，共 30 分） 13、dxxx)2)1(1( 1 0 2 14、函数 322 ( ),f xxaxbxa在1x时有极值 10 ，那么ba,的值分别为 _。 15、已知)
5、(xf为一次函数，且 1 0 ( )2( )f xxf t dt ，则)(xf=_. 16、函数 g( x)ax 32(1a)x23ax 在区间 ，a 3 内单调递减，则 a 的取值 范围是 _ 三、解答题（每小题12 分，共 60 分） 17、 （本小题 10 分）已知等腰梯形 OABC的顶点 AB，在复平面上对应的复数分 别为1 2i 、2 6i ，且 O是坐标原点， OABC求顶点 C所对应的复数z 18、 （本小题 12 分） 2 0 ( )(28)(0) x F xttdt x （1）求( )F x的单调区间； （2）求函数( )F x在13，上的最值 19 （本小题 12 分）设(
6、 )yf x是二次函数，方程( )0f x有两个相等的实根， 且( )22fxx （1）求( )yfx的表达式； （2） 若直线(01)xtt把( )yf x的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等 分，求t的值 20、 （本小题 12分）某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间定价为每天 元时，房间会全部住满；房间单价增加元，就会有一个房间空闲，如果 游客居住房间，宾馆每间每天需花费元的各种维护费用。房间定价多少时， 宾馆利润最大？ 21、 （本小题满分 12 分） 证明：ba a b b a 22、 （本小题 12 分）已知数列 n a的前n项和 * 1() nn SnanN （1）计算 1 a，
7、 2 a， 3 a， 4 a； （2）猜想 n a的表达式，并用数学归纳法证明你的结论 参考答案 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 B C C D A BC D A A B B 13、1 4 14、4, 1115、( )1f xx16、1,( 17、解：设i()zxyxyR， 由OABC，OCAB，得 OABC kk， CBA zzz， 即 2222 26 12 34 y x xy ， ， OABC，3x，4y舍去 5z 18、解：依题意得， 23232 0 0 11 ( )(28)88 33 x x F xttdttttxxx，定义域 是(0)， （1）
8、2 ( )28Fxxx, 令( )0Fx，得2x或4x， 令( )0Fx，得42x， 由于定义域是(0)， 函数的单调增区间是(2)，单调递减区间是(0 2)， （2）令( )0Fx，得2(4)xx舍， 由于 20 (1) 3 F， 28 (2) 3 F，(3)6F， ( )F x在13，上的最大值是(3)6F，最小值是 28 (2) 3 F 19、解：（1）设 2 ( )(0)f xaxbxc a， 则( )2fxaxb 由已知( )22fxx，得 1a ， 2b 2 ( )2f xxxc 又方程 2 20 xxc有两个相等的实数根， 440c，即1c 故 2 ( )21f xxx； （2）
9、依题意，得 0 22 1 (21)(21) t t xxdxxxdx， 32320 1 11 33 t t xxxxxx ， 整理，得 32 26610ttt，即 3 2(1)10t， 3 1 1 2 t 20、)(xL=)20)( 10 180 50(x x =.680180,136070 10 1 2 xxx 令 , 070 5 1 )( xxL解得350 x. 当)350,180(x时，,0)( xL 当)680,180(x时0)( xL 因此 , 350 x时是函数)(xL的极大值点 ,也是最大值点.所以 ,当每个房间每天的定 价为 350 元时 ,宾馆利润最大 21、证明：要证ba
10、a b b a ， 只需证)(baabbbaa 即证)()(baabbaabba 即证ababba 即证abba2，即0)( 2 ba 该式显然成立，所以ba a b b a 22、解：（1）依题设可得 1 11 21 2 a ， 2 11 62 3 a ， 3 11 123 4 a ， 4 11 2045 a ； （2）猜想： 1 (1) n a n n 证明：当 1n 时，猜想显然成立 假设 * ()nk kN时，猜想成立， 即 1 (1) k a k k 那么，当1nk时， 11 1(1) kk Ska， 即 11 1(1) kkk Saka 又 1 1 kk k Ska k ， 所以 11 1 (1) 1 kk k aka k ， 从而 1 11 (1)(2)(1)(1)1 k a kkkk 即 1nk 时，猜想也成立 故由和，可知猜想成立
