《高中数学函数模型及其应用课时提能训练-苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学函数模型及其应用课时提能训练-苏教版（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2019-2020 学年高中数学 2.12 函数模型及其应用课时提能训练苏教版 一、填空题 ( 每小题 5 分，共 40 分) 1. 某厂日产手套总成本y( 元) 与手套日产量x( 副) 的关系式为y=5x+4 000 ，而手套出厂价格为每副10 元， 则该厂为了不亏本，日产手套至少为_副 . 2. 某商店已按每件80 元的成本购进某商品1 000 件, 根据市场预测, 销售价为每件100 元时可全部售完, 定 价每提高1元时销售量就减少5 件, 若要获得最大利润, 销售价应定为每件_元. 3. 如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y) 与行走时间 (x) 之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家
2、的位 置，则张大爷散步行走的路线可能是_. 4. 某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运， 据市场分析，每辆客车营运的总利润y( 万元 ) 与营运年 数 x 的关系如图所示( 近似抛物线的一段) ，则每辆客车 营运 _年可使其营运年平均利润最大. 5. 如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0 a12) 、4 m， 不考虑树的粗细. 现在想用16 m 长的篱笆 , 借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD, 设此矩形花圃的面积为S m 2 ,S 的最大值为f(a),若将这棵树围在花圃内, 则函数 u=f(a) 的图象大致是_. 6. 某工厂生产某种产品固
3、定成本为2 000 万元，并且每生产一单位产品，成本增加10 万元 . 又知总收入K 是单位产品数Q的函数 ,K(Q)=40Q- 2 1 Q 20 , 则总利润L(Q) 的最大值是 _. 7. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间 t 的函数，其图象可能是_. 8.(2011 福建高考 ) 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a， 最高销售限价b(b a) 以及常数x(0 x1) 确定实际销售价格c=a+x(b-a)，这里， x 被称为乐观系数. 经 验表明 , 最佳乐观系数x 恰好使得 (c-a) 是(
4、b-c) 和(b-a) 的等比中项 , 据此可得 , 最佳乐观系数x 的值等于 _. 二、解答题 ( 每小题 15 分，共 45 分 ) 9.(2012 苏州模拟 ) 某公司生产的A种产品，它的成本是每件2 元，售价是每件3 元，年销售量为100 万 件. 为获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告. 根据经验， 每年投入的广告费是x( 单位：十万元 ) 时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且 y 是 x 的二次函数，它们的关系如表： x( 十万元 ) 0 1 2 y 1 1.5 1.8 (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式； (2) 如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试
5、写出年利润S(十万元 ) 与广告费x( 十万元 ) 的函数 关系式； (3) 如果投入的年广告费为x,x 1,3 十万元，问年广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费 的增大而增大？ 10. 某公司有价值a 万元的一条流水线, 要提高该流水线的生产能力, 就要对其进行技术改造, 从而提高产品 附加值 , 改造需要投入 , 假设附加值y 万元与技术改造投入x 万元之间的关系满足:y 与 a-x 和 x 的乘积成 正比 ; x= a 2 时,y=a 2; 0 x 2 ax t, 其中 t 为常数 , 且 t 0,1 . (1) 设 y=f(x),求 f(x)的表达式 , 并求 y=f(x)的定
6、义域 ; (2) 求出附加值y 的最大值 ,并求出此时的技术改造投入. 11.(2012 盐城模拟 )某市出租汽车的收费标准如下：在 3 km以内 ( 含 3 km)的路程统一按起步价7 元收费， 超过 3 km 以外的路程按2.4 元/km 收费 . 而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分：一是固定费 用约为 2.3 元；二是燃油费， 约为 1.6 元/km; 三是折旧费， 它与路程的平方近似成正比，且当路程为100 km 时，折旧费约为0.1 元. 现设一次载客的路程为x km. (1) 试将出租汽车一次载客的收费F与成本 C分别表示为x 的函数； (2) 若一次载客的路程不少于2
7、km，则当 x 取何值时，该市出租汽车一次载客每千米的收益y(y= FC x ) 取得最大值？ 【探究创新】 (15 分) 某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP( 即人均纯收入) 在 0.5 千美元 8 千美元的地区销售该公 司 A饮料的情况的调查中发现：人均GDP 处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向两边递减. (1) 下列几个模拟函数中(x 表示人均GDP, 单位 : 千美元 ,y 表示年人均A饮料的销量 , 单位 : 升), 用哪个模拟 函数来描述年人均A饮料销量与地区的人均GDP 关系更合适 ?说明理由 . y=ax 2+bx, y=kx+b, y=log ax+b, y=a
8、x+b. (2) 若人均 GDP为 1千美元时 , 年人均 A饮料的销量为2 升，人均 GDP 为 4 千美元时，年人均A饮料的销量 为 5 升, 把(1) 中你所选的模拟函数求出来, 并求出各个地区中, 年人均 A饮料的销量最多是多少? 答案解析 1. 【解析】 利润 z=10 x-y=10 x-(5x+4 000)0. 解得 x800. 答案： 800 2. 【解题指南】关键是将利润表示为提高售价的函数. 【解析】 设售价提高x 元, 则依题意得 y=(1 000-5x)(20+x)=-5x 2 +900 x+20 000 =-5(x-90) 2+60 500. 故当 x=90 时,yma
9、x=60 500, 此时售价为每件190 元. 答案： 190 3. 【解析】 由图象知张大爷离家的距离(y) 与时间 (x) 的关系，开始越来越远，中间保持不变，最后越来越 近直至到家，结合图形验证知吻合. 答案： 4. 【解析】 求得 :y=-(x-6) 2+11, y x =12-(x+ 25 x ) 12-10=2, y x 有最大值2，此时 x=5. 答案： 5 【方法技巧】函数 y=x+ a x (a0) 最值的求法： (1) 直接利用此函数的图象，观察求解； (2) 利用基本不等式求解，一定要注意等号成立的条件，如果等号取不到，则可求导判断该函数的单调性， 利用函数的单调性求最值
10、； (3) 先利用增减函数的定义或求导来判断函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最值 5. 【解析】 设矩形花圃的长为x m(a x12), 则此矩形花圃的面积S(x)=x(16-x)=64-(x-8) 2 , 当 0a 8 时,S(x) max=S(8)=64; 当 8a 12 时,S(x)max=S(a)=64-(a-8) 2, 故 u=f(a)= 2 64,0a8 . 64a8,8a 12 故函数 u=f(a) 的图象大致是. 答案： 【误区警示】本题易忽视S(x) 的定义域为a,12), 进而忽视对a 的讨论 , 而误填 . 6. 【解析】 总利润 L(Q)=40Q- 2 1 Q
11、20 -10Q-2 000 =- 1 20 (Q-300) 2+2 500. 故当 Q=300时 , 总利润最大值为2 500 万元 . 答案： 2 500 万元 7. 【解析】 从汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，可比较图象中所反映的速度，速 度是由慢到快，再到匀速，最后到减速，所以正确. 答案： 8. 【解题指南】将 c=a+x(b-a) 代入 (c-a) 2=(b-c)(b-a) 中化简得x 的方程进而求解出x 的值 . 【解析】 由题意得 :(c-a) 2=(b-c)(b-a), c=a+x(b-a),将其代入上式 , 得 a+x(b-a)-a 2=b-a-x(b-a
12、) (b-a) x 2(b-a)2=(b-a)2(1-x), b a, b-a 0, x 2=1-x, 即 x 2+x-1=0, 解得 x1= 15 2 ,x2= 15 2 , 又 0 x1, x= 15 2 . 答案： 15 2 9. 【解析】 (1) 设二次函数的关系式为y=ax 2+bx+c(a 0). 由关系表，得 1 a 10 c1 3 abc1.5b, 5 4a2bc1.8 c1 ，解得 函数的关系式为y= 2 13 xx1. 105 (2) 根据题意，得S=10y(3-2)-x=-x 2+5x+10. (3)S=-x 2+5x+10=-(x-5 2 ) 2+65 , 4 1 x3
13、, 当 1x2.5 时， S随 x 的增大而增大， 故当年广告费为1025 万元之间，公司获得的年利润随广告费的增大而增大. 10. 【解析】 (1) 设 y=k(a-x)x, 当 x= a 2 时,y=a 2, 可得 :k=4, y=4(a-x)x 定义域为0, 2at 12t ,t为常数 , 且 t 0,1 . (2)y=4(a-x)x=-4(x- a 2 ) 2+a2 当 2at 12t a 2 , 即 1 2 t 1,x= a 2 时,ymax=a 2 当 2at 12t a 2 , 即 0t 1 2 时,y=4(a-x)x在 0, 2at 12t 上为增函数, 当 x= 2at 12
14、t 时,ymax= 2 2 8a t 12t 当 1 2 t 1, 投入 x= a 2 时, 附加值 y 最大 , 为 a 2 万元 ; 当 0t 1 2 , 投入 x= 2at 12t 时 , 附加值 y 最大 , 为 2 2 8a t 12t 万元 . 11. 【解析】 (1)F(x)= 70 x3 70 x3 , 72.4x3x32.4x0.2x3 设折旧费z=kx 2，将 (100 ，0.1) 代入， 得 0.1=100 2k，解得 k= 5 1 , 10 所以 C(x)=2.3+1.6x+ 5 1 10 x 2. (2) 因为 y= FC x ， 所以 y= 5 5 4.71 x1.
15、62x3 x10 . 2.51 0.8(x)x3 x10 ， ， 当 x3 时，由基本不等式， 得 y0.8- 6 25 2 10 =0.79( 当且仅当x=500 时取等号 ) 当 2x 3 时，由 y 在 2，3上单调递减，得 ymax= 5 4.72 210 -1.6=0.75- 5 2 10 0.79. 答：该市出租汽车一次载客路程为500 km 时，每千米的收益y 取得最大值 . 【探究创新】 【解析】 (1) 用函数 y=ax 2+bx 来描述年人均 A饮料销量与地区的人均GDP的关系更合适. 因为函数y=kx+b,y=log ax+b,y=a x+b 在其定义域内都是单调函数 , 不具备先递增后递减的特征. (2) 依题意知 , 函数图象过点 (1,2) 和(4,5), 则有 1 a ab2 4 , 16a4b59 b 4 解得 y=- 1 4 x 2+9 4 x(0.5 x8), y=- 1 4 x 2+9 4 x =- 1 4 (x- 9 2 ) 2+81 16 81 16 , 在各地区中, 当 x= 9 2 时, 年人均 A饮料销量最多是 81 16 升.
