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1、,第十二章 弯曲变形,工程力学,121 概述 122 梁的挠曲线近似微分方程及其积分,123 按叠加原理求梁的挠度与转角,124 梁的刚度条件,第十二章 弯曲变形,125 梁的弯曲应变能,125 简单超静定梁的求解方法,12 概 述,弯曲变形,研究范围：等直梁在平面弯曲时位移的计算。 研究目的：对梁作刚度校核； 解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。,1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w(x)表示。 符号： 与 w 轴同向为正，反之为负。w(x),2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用 表示，逆时针转动为正，反之为负。,二、挠曲线：变形后，梁的轴线变为纵向对称面内的一条光滑连
2、续的曲线，称为挠曲线。其方程： w =w (x) 挠曲线方程,三、转角与挠曲线的关系：,弯曲变形,一、度量梁变形的两个基本位移量,小变形,12-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分,一、挠曲线近似微分方程,挠曲线近似微分方程,弯曲变形,小变形,对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：,二、积分法求挠曲线方程（弹性曲线）,1.微分方程的积分,弯曲变形,支座边界条件：,连续条件：,光滑条件：,弯曲变形,2.待定系数的确定,讨论： 适用于小变形情况下、线弹性材料、平面弯曲。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 积分常数由挠曲线变形的条件确定。 支座边界条件 连续条件 光滑条件
3、 优点：使用范围广，直接求出挠曲线的精确解；基本方法。 缺点：计算较繁。,弯曲变形,例1 求等截面直梁的挠曲线、最大挠度及最大转角。,建立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程并积分,应用位移边界条件求积分常数,弯曲变形,解：,L,写出挠曲线方程并画出曲线,最大挠度及最大转角,弯曲变形,解：建立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程并积分,弯曲变形,例2 求等截面直梁的挠曲线、最大挠度及最大转角。,应用位移边界条件求积分常数,弯曲变形,写出挠曲线方程并画出曲线,最大挠度及最大转角,弯曲变形,弯曲变形,例3 用积分法求梁（刚度为EI）的 wA 和 B 。,解：求支反力，列弯矩方程：,建立微分方程并积分：
4、,用边界条件确定积分常数：,C,L/2,L/2,A,B,弯曲变形,例3 用积分法求下列各梁（刚度为EI）的 wA 和 B 。,C,L/2,L/2,A,B,列挠度方程和转角方程，求指定截面的挠度和转角：,例4 用积分法求梁（刚度为EI）的 wA 和 B 。,解：求支反力，列弯矩方程：,建立微分方程并积分：,C,L,a,A,B,P,弯曲变形,例4 用积分法求梁（刚度为EI）的 wA 和 B 。,C,L,a,A,B,P,弯曲变形,用边界条件确 定积分常数：,列挠度方程和转角方程，求指定截面的挠度和转角：,C,L,a,A,B,P,弯曲变形,例5 试画出下列梁的挠曲线大致形状，并写出边界条件。,试画出下
5、列梁的挠曲线大致形状，并写出边界条件。,解：作弯矩图：,边界条件：,解：作弯矩图：,边界条件：,解：作弯矩图：,边界条件：,解：作弯矩图：,边界条件：,12-3 按叠加原理求梁的挠度与转角,一、载荷叠加（直接叠加法）： 多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。,弯曲变形,弯曲变形,弯曲变形,q,A,B,F,A,B,A,B,M,例1 按叠加原理求A点转角和C点挠度。,解、载荷分解如图,由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。,弯曲变形,q,F,F,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,表1,弯曲变形,q,F,F,=,+,A,A,A,B,B,B
6、,C,a,a,叠加,例2 按叠加原理求C点挠度。,解：载荷无限分解如图,由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。,叠加,弯曲变形,C,表1,dF,例3 用叠加法求下列各梁（刚度为EI）的 wB 和 B 。,解：,弯曲变形,2,例4 用叠加法求下列各梁（刚度为EI）的 wB 和 B 。,解：,弯曲变形,2,弯曲变形,例5 用叠加法求下列各梁（刚度为EI）的 wC 。,wC1,wC2,wC,解：,1,例6 用叠加法求下列各梁（刚度为EI）的 wA 和 B 。,解：将载荷分解：,（a）,=,+,弯曲变形,表2,=,+,弯曲变形,二、结构形式叠加（逐段刚化法）：,例7 用叠加法求梁（刚度为EI）
7、的 wA 和 B 。,解：用逐段刚化法：,=,+,+,=,弯曲变形,表1,表2,B1,B2,例8 已知：梁的刚度为EI，欲使wD 0，求：P 与 q 的关系及 wC 。,解：,弯曲变形,例8 已知：梁的刚度为EI，欲使wD 0，求：P 与 q 的关系及 wC 。,解：,弯曲变形,解：,F,F,例9 用叠加法求梁（刚度为EI）的 wC 和 C 。,C,A,B,l/2,l/2,a,解：,例10 用叠加法求梁（刚度为EI）的 wC 和 C 。,l,a,12-4 梁的刚度条件,一、梁的刚度条件,其中 称为许用转角；w 称为许用挠度。通常依此条件进行如下三种刚度计算：,、校核刚度：,、设计截面尺寸； 、
8、确定许可载荷。,弯曲变形,例11 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的=0.00001m,B点的=0.001弧度,试核此杆的刚度。,=,+,+,=,弯曲变形,=,+,+,图1,图2,图3,解：结构变换，查表求简单 载荷变形。,弯曲变形,表1,表2,=,+,+,图1,图2,图3,弯曲变形,叠加求复杂载荷下的变形,校核刚度,弯曲变形,习题 已知：P=20kN，E=200GPa，规定A处的许可转角为： =0.50 。 试确定轴的直径。,解：用逐段刚化法：（设轴的直径为d）,=,+,弯曲变形,表1,二、提高梁弯曲刚度的措施,弯曲变形,增大EI
9、。 减小跨度。 改善梁的受力情况。 增加支承。,减小最大弯矩,弯曲变形, 合理布置外力（包括支座），使 M max 尽可能小。,弯曲变形, 同类材料，“E”值相差不多，不能提高刚度。 不同类材料，E相差很多（钢E=200GPa , 铜E=100GPa）, 故可选用不同的材料以达到提高刚度的目的。但是，改换材 料，其原料费用也会随之发生很大的改变！,弯曲变形,弯曲应变能的计算：,125 梁的弯曲应变能,弯曲变形,应变能等于外力功。不计剪切应变能并略去,例1 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。,解：外力功等于应变能,应用对称性，得：,思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？,弯曲变形,C,12
10、-6 简单超静定梁的求解方法,处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。,解法：建立静定基相当系统,确定超静定次数，用反力代替多余约束得到原结构的静定基相当系统（基本结构）。,=,弯曲变形,A,B,x,w,几何方程变形协调方程,+,弯曲变形,=,物理方程变形与力的关系,补充方程,求解其它问题（反力、应力、 变形等）,表2,弯曲变形,A,B,求解其它问题（反力、应力、变形等）,由几何方程（变形协调方程）和物理方程（变形与力的关系）建立补充方程。,弯曲变形,求多余约束反力，必要时需建立平衡方程。,求解其它问题（反力、应力、变形及强度与刚度计算。）,解超静定梁的方法：建立静定基
11、相当系统：确定超静定次数，用反力代替多余约束，得到静定基相当系统（基本结构）。,几何方程 变形协调方程：,解：建立静定基相当系统,=,例1 结构如图，求B点反力。,LBC,弯曲变形,C,=,+,=,LBC,弯曲变形,C,+,物理方程变形与力的关系,补充方程,反力与 EI、EA 有关,表2,例2 已知：梁AB、CD长度均为L，抗弯刚度均为EI，求：B点的挠度。,解：此结构为一次超静定，取静定基相当系统如图所示：,利用变形协调条件建立补充方程：,弯曲变形,表1,表2,利用叠加法求B点的挠度：,弯曲变形,例3 已知：梁AB在自由端受集中力P、DF为加固梁，两梁在C点可视为简支支承，抗弯刚度均为EI，
12、求： （1）C处反力F，（2）梁AB的最大弯矩和B点的挠度比无加固时减少多少？,解：此结构为一次超静定，取静定基相当 系统如图所示：,利用变形协调条件建立补充方程：,弯曲变形,表2,弯曲变形,弯曲变形,作业：求如图所示梁的挠曲线方程和转角方程，梁的刚度为EI,l/2,l/2,B,C,弯曲试验安排： 每班两组，每组半小时。 试验地点：探工楼313 试验老师：高绍勤 弯曲试验时间调整： 12月14日周五上午10：00至11：00 052061 12月14日周五上午11：00至12：00 052062 本周四011063班弯曲试验课取消,具体时间待定。 试验报告由各班学习委员收齐后，交到我的办公室（探工楼502） 本周四1、2节正常上课,本章作业：,第一次： 122，123（a）（c），125， 第二次： 127，129 , 1212，1221,
