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1、Key. 四点共圆的证明 五个基本判断方法: 1.若四个点到一个定点的距离相等,则这四个点共圆。 2.若一个四边形的一组对角互补(和为180),则这个四边形的四个点共圆。 3.若一个四边形的外角等于它的内对角,则这个四边形的四个点共圆。 4.若两个点在一条线段的同旁,并且和这条线段的两端连线所夹的角相等,那么这两个点和这条线的两个端点共圆。 5. 同斜边的直角三角形的顶点共圆。,1.若四个点到一个定点的距离相等,则这四个点共圆。,如图,菱形ABCD的对角线AC和BD相交于O点,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,求证:E,F,G,H四个点在以O为圆心的同一个圆上,分析指导:利用直
2、角三角形斜边的中点等于斜边的一半,再利用菱形的四边相等即可证出。,2.若一个四边形的一组对角互补(和为180),则这个四边形的四个点共圆,若A+C=180或B+D=180,则点A、B、C、D四点共圆,已知:四边形ABCD中,A+C=180求证:四边形ABCD内接于一个圆(A,B,C,D四点共圆,证明:用反证法过A,B,D作圆O,假设C不在圆O上,则C在圆外或圆内,若C在圆外,设BC交圆O于C,连结DC,根据圆内接四边形的性质得A+DCB=180,A+C=180DCB=C这与三角形外角定理矛盾,故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。C在圆O上,也即A,B,C,D四点共圆。,3.若一个四边形
3、的外角等于它的内对角,则这个四边形的四个点共圆。,若B=CDE,则A、B、C、D四点共圆证法同上,例 如图 所示,已知四边形 ABCD 是平行四边形,过 点 A 和点 B 的圆与 AD、BC 分别交于 E、F 点。求证: C、D、E、 F 四点共圆。,分析: 欲证 C、D、E、F 四点共圆,可证以该四点构成的四 边形中,一组对角互补或外角等于内对角即可。 由此,连接 EF 构成四边形 EFCD 后,证明BFE = D 即可。 证明: 连接 EF, 四边形 ABFE 是圆内接四边形, A + BFE = 180。 又 四边形 ABCD 是平行四边形, A + D = 180。 BFE = D。
4、C、D、E、F 四点共圆,4.若两个点在一条线段的同旁,并且和这条线段的两端连线所夹的角相等,那么这两个点和这条线段的两个端点共圆。,若A=D或ABD=ACD,则A、B、C、D四点共圆,用反证法:已知:同侧ABC和CBD,共有底边CB,A=D,求证:A、B、C、D四点共圆证明: 假设四点不在同一圆上,作ABC外接圆,则D点不在圆上, 因二角共用AB弧,则AD,与实际不符,所以只有D点在ABC外接圆上,故A、B、C、D四点共圆。,5.同斜边的直角三角形的顶点共圆 如图1,四边形ABCD中,A=C=90,求证:A、B、C、D四点共圆. 如图2,A=C=90,求证:A、B、C、D四点共圆. 分析指导:可以直接根据圆的定义证明A、B、C、D四点到某一定点的距离相等.取斜边的中点O.,再连接A.C,利用斜边中点等于斜边一半证OA=OB=OC=OD。,