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1、第 1 页 共 11 页 专题函数常见题型归纳专题函数常见题型归纳 三个不等式关系： （1）a，bR，a2b22ab，当且仅当 ab 时取等号 （2）a，bR，ab2，当且仅当 ab 时取等号 ab （3）a，bR，()2，当且仅当 ab 时取等号 a2b2 2 ab 2 上述三个不等关系揭示了 a2b2 ，ab ，ab 三者间的不等关系 其中，基本不等式及其变形：a，bR，ab2(或 ab()2)，当且仅当 ab ab 2 ab 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值利用 基本不等式求最值：一正、二定、三等号 【题型一题型一】利用利用拼凑法拼凑法构造不等关系构造
2、不等关系 【典例 1】 （扬州市扬州市 20152016 学年度第一学期期末学年度第一学期期末11）已知且1， ， ， ba ，则的最小值为 .7log3log2ab ba 1 1 2 b a 【解析】且，解得1， ， ， ba7log3log2ab ba 3 2log7 log a a b b 或，即 1 log 2 ab log3 ab 1， ， ， ba 1 log 2 ab 2 ab 2 11 11 11 aa ba 1 2113 1 a a 练习：1（南京市、盐城市 2015 届高三年级第一次模拟10）若实数, x y满足 0 xy，且 22 loglog1xy，则 22 xy xy
3、 的最小值为 解析：由 log2x+log2y=1 可得 log2xy=1=log22，则有 xy=2，那么 yx yx 22 = yx xyyx 2)( 2 =（xy）+ yx 4 2 yx yx 4 )(=4，当且仅当（xy）= yx 4 ，即 x=3+1，y=31 时等号成立，故 yx yx 22 的最小值为 4 2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017 届高三上学期期末）若实数满足, x y 第 2 页 共 11 页 ，则的最小值为 1 33(0) 2 xyxx 31 3xy 3.（无锡市 2017 届高三上学期期末）已知，且，则0,0,2abc2ab 的最小值为 . 5 2
4、2 accc babc 【典例 2】 （南京市 2015 届高三年级第三次模拟12）已知 x，y 为正实数，则 4x 4xy 的最大值为 y xy 解析：由于= 4x 4xy y xy )(4( )4()(4 yxyx yxyyxx 22 22 54 84 yxyx yxyx =1+=1+1+= ， 22 54 3 yxyx xy 3 45 xy yx 542 3 x y y x 4 3 当且仅当 4=，即 y=2x 时等号成立 y x x y 【典例 3】若正数、满足,则的最小值为_.ab3ababab 解析：由,得,解得, a bR 22 3() ,()4() 120 2 ab ababa
5、bab (当且仅当且,即时,取等号).6abab3abab3ab 变式：1.若,且满足,则的最大值为_., a bR 22 ababab 解析：因为,所以由, a bR 2 2222 () 2 ab abababab 2 ()ab ,解得(当且仅当且,即时,取等号).2()0ab02abab 22 abab1ab 2.设，则的最小值为_ 40, 0yx822xyyxyx2 3.设，则的最大值为_ Ryx,14 22 xyyxyx 210 5 2 4.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017 届高三上学期期中）已知正数，满ab 足，则的最小值为 19 5ab ab ab 【题型二题型二】含
6、条件的最值求法含条件的最值求法 【典例 4】 （苏州市 2017 届高三上期末调研测试）已知正数满足，则yx,1 yx 第 3 页 共 11 页 的最小值为 1 1 2 4 yx 练习 1 （江苏省镇江市高三数学期末14）已知正数满足，则yx,1 11 yx 的最小值为 . 1 9 1 4 y y x x 解析：对于正数 x，y，由于+=1，则知 x1，y1，那么 x 1 y 1 +=（+） （1+1）=（+） （+）（ 1 4 x x 1 4 y y 1 4 x x 1 4 y y x 1 y 1 1 4 x x 1 4 y y x x1 y y1 +）2=25，当且仅当=时等号成 x x
7、x x1 1 4 y y y y1 1 4 1 4 x x y y1 1 4 y y x x1 立 2.（20132014 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）11）已知正数 , x y 满足 22xy，则 8xy xy 的最小值为 解析： 81818288 14529 222 xyxyxyxy xyyxyxyxyx ，当且仅当 8 2 xy yx 时，取等号故答案为：9 3 （南通市 2015 届高三第一次调研测试12）已知函数的图像经过点(0) x yab b ，如下图所示，则的最小值为 .(1,3)P 41 1ab 解析：由题可得 a+b=3，且 a1，那么+=（a1+b） （+）=
8、（4+ 1 4 ab 1 2 1 1 4 ab 1 2 1 第 4 页 共 11 页 +1）（2+5）=，当且仅当=时等号成立 b a1 1 4 a b 2 1 1 41 a b b a 2 9 b a1 1 4 a b 4 （江苏省苏北四市 2015 届高三第一次模拟考试12）己知 a，b 为正数，且直线 60axby与直线 2(3)50 xby互相平行，则 2a+3b 的最小值为 _ 【解析】由于直线 ax+by6=0 与直线 2x+（b3）y+5=0 互相平行，则有 2 a = 3b b ，即 3a+2b=ab，那么 2a+3b=（2a+3b） ab ba23 =（2a+3b） （ b
9、3 + a 2 ）= b a6 + a b6 +132 a b b a 66 +13=25，当且仅当 b a6 = a b6 ，即 a=b 时等号成立 5.常数 a，b 和正变量 x，y 满足 ab16， .若 x2y 的最小值为 64，则 a x 2b y 1 2 ab_. 答案：64；(考查基本不等式的应用). 6.已知正实数满足，则的最大值为 , a b 12 1 22ab bba a ab 答案： 2 2 2 3 【题型三】代入消元法 【典例 5】 （苏州市 2016 届高三调研测试14）已知，则的 1 4 ab ,(0,1)a b 12 11ab 最小值为 解析：由得 ， 1 4 a
10、b 1 4 a b 2 22 12 11 42412271 1 411451451ab bbbb bbbbbb 令 则当且仅当71bt 22 7149494 2 1114 18 451427183 427 bt bbtt t t 即 等号成立 3 2 2 t 3 22 14 第 5 页 共 11 页 练习 1 （江苏省扬州市 2015 届高三上学期期末12）设实数 x，y 满足 x22xy10， 则 x2y2的最小值是 解析：由 x22xy10 可得 y=，那么 x2y2= x2=x2+2 2 1 2 x x 22 2 (1) 4 x x 5 4 2 1 4x 1 2 =，当且仅当x2=，即
11、x4=时等号成立 2 2 51 44 x x 1 2 5 2 1 2 5 4 2 1 4x 1 5 2 （苏州市苏州市 2014 届高三调研测试届高三调研测试13）已知正实数 x，y 满足，则 x + y 的 最小值为 解析：正实数 x，y 满足 xy+2x+y=4，（0 x2） x+y=x+= =（x+1）+3，当且仅当 第 6 页 共 11 页 时取等号x+y 的最小值为故答案为： 3 （南通市（南通市 2014 届高三第三次调研测试届高三第三次调研测试9）已知正实数满足，则, x y(1)(1)16xy 的最小值为 xy 解析：正实数 x，y 满足（x1） （y+1）=16，x+y=1
12、1 16 y x ，当且仅当 y=3， （x=5）时取等号x+y 的最小值为8 1 16 121 1 16 y yy y 8故答案为：8 4.（扬州市 2017 届高三上学期期中）若，且，则使得取2, 0ba3ba 2 14 ba 得最小值的实数= 。a 5.设实数 x、y 满足 x 2xy10，则 xy 的取值范围是_ 2 6.已知，且，求的最大值为_Rzyx,1zyx3 222 zyxxyz 【题型四题型四】换元法换元法 【典例 6】 （南京市、盐城市（南京市、盐城市 2016 届高三年级第二次模拟考试届高三年级第二次模拟考试13）已知函数 f(x) ax2xb(a，b 均为正数)，不等式
13、 f(x)0 的解集记为 P，集合 Qx|2tx2t若对于任意正数 t，PQ，则 的最大值是 1 a 1 b 【解析】由题意可知任意正数 t，集合 Qx|2tx2t，构成的集合的交集 t Q 为，即，令 22420,42fabba 2 111132 4242 a abaaaa ，当且仅当，等号成32au 2 119991 4 4104182 410 u abuu u u 1u 立，或（舍）故则 的最大值是 1,a 1 3 a 0,b 1 2 a 1 a 1 b 1 2 2（2016 年江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州高考数学一模试卷年江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州高考数学一模试卷14）已知正数
14、a，b，c 满足 b+ca，则 +的最小值为 第 7 页 共 11 页 解法一：正数 a，b，c 满足 b+ca， + +=（ + ）+ =+ 当且仅当=时取等号 故答案为： 解法二：由 得，令，则，acb1 ba cc b x c a y c 1xy ，所以 1bc x cabxy ，当且 11111111 2122 212212222 bc xxx cabxyxx 仅当时等号成立故的最小值为 21 2 x ba c c b 1 2 2 练习 1 （江苏省南京市江苏省南京市 2016 届高三第三次模拟届高三第三次模拟14）若实数 x，y 满足 2x2xyy21， 则 22 2 522 xy
15、xxyy 的最大值为 解析：由 2x2xyy21 可得，21xyxy，令2xyt，则 1 xy t ， 11 3 xt t ， 12 3 yt t ，代入 22 2 522 xy xxyy 得 2 2 1 1 t t t t ，令 1 tm t ，则 22 2 2 1 12 12 224 t mm t mm tm tm ，当且仅当2m 时取等号，故 22 2 522 xy xxyy 的最大值为 2 4 2设, x y是正实数,且1xy,则 22 21 xy xy 的最小值是_. 解:设2xs,1yt ,则4st , 第 8 页 共 11 页 所以 22 21 xy xy = 22 (2)(1)41 (4)(2) st st stst 4141 ()()6()2st stst . 因为 411 411 49 ()()(5) 444 ts st ststst 所以 22 1 214 xy xy . 3.若实数 x，y 满足 2x2xyy21，则的最大值为 x2y 5x22xy2y2 2 4 4 （江苏省苏、锡
