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1、Comment T1: 宋体三号加粗 Comment T2: 一级标题宋体四号加 粗 Comment T3: 二级标题宋体小四加 粗 Comment T4: 正文宋体五号 Comment T5: 三级标题宋体五号加 粗 1 第一讲第一讲 圆的方程圆的方程 一、知识清单一、知识清单 （一）圆的定义及方程（一）圆的定义及方程 定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准 方程 (xa)2(yb)2r2(r0)圆心：(a，b)，半径：r 一般 方程 x2y2DxEyF0 (D2E24F0) 圆心：， ( D 2， E 2) 半径： 1 2 D2E24F 1、圆的标准方程与一般方程的互化、圆
2、的标准方程与一般方程的互化 （1）将圆的标准方程 (xa)2(yb)2r2 展开并整理得 x2y22ax2bya2b2r20，取 D2a，E2b，Fa2b2r2，得 x2y2DxEyF0. （2）将圆的一般方程 x2y2DxEyF0 通过配方后得到的方程为： (x )2(y )2 D 2 E 2 D2E24F 4 当 D2E24F0 时，该方程表示以( ， )为圆心，为半径的圆； D 2 E 2 1 2 D2E24F 当 D2E24F0 时，方程只有实数解 x ，y ，即只表示一个点( ， )； D 2 E 2 D 2 E 2 当 D2E24Fr2. （2）若 M(x0，y0)在圆上，则(x0
3、a)2(y0b)2r2. （3）若 M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2. (三三)直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 方法一： 方法二： （四）圆与圆的位置关系（四）圆与圆的位置关系 1 外离 2 外切 3 相交 4 内切 5 内含 （五）圆的参数方程（五）圆的参数方程 （六）温馨提示（六）温馨提示 1、方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的条件是： （1）B0； （2）AC0； （3）D2E24AF0. 2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算 （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上 （2）圆心在任一弦的中垂线上 （3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三
4、点共线 3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，点 M(x，y)是 线段 AB 的中点，则 x ，y . 12 2 xx 12 2 yy Comment T7: 宋体小四加粗 Comment T8: 注意例题符号使用 3 二、典例归纳 考点一：有关圆的标准方程的求法 【例 1】 圆的圆心是 ，半径是 . 22 2 0 xaybmm 【例 2】 点(1,1)在圆(xa)2(ya)24 内，则实数 a 的取值范围是() A(1,1) B(0,1) C(，1)(1，) D(1，) 【例 3】 圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1,2)的圆的方程为() A
5、x2(y2)21 Bx2(y2)21 C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)21 【例 4】 圆(x2)2y25 关于原点 P(0,0)对称的圆的方程为() A(x2)2y25Bx2(y2)25 C(x2)2(y2)25 Dx2(y2)25 【变式 1】已知圆的方程为，则圆心坐标为 12240 xxyy 【变式 2】已知圆 C 与圆关于直线 对称，则圆 C 的方程为 2 2 11xyyx 【变式 3】 若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x3y0 和 x 轴都相切，则 该圆的标准方程是() A(x3)2 21 B(x2)2(y1)21 (y 7 3) C(x1)2(y3)21
6、 D. 2(y1)21 (x 3 2) Comment T9: 宋体五号加粗 4 【变式 4】已知的顶点坐标分别是，求外接ABC1,5A 5,5B6, 2CABC 圆的方程. 方法总结方法总结： 1利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于 a，b，r 的方程组 2利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形 结合思想的运用 考点二、有关圆的一般方程的求法考点二、有关圆的一般方程的求法 【例 1】 若方程 x2y24mx2y5m0 表示圆，则的取值范围是()m A . m1 Bm 或 m1 Cm Dm1 1 4 1 4 1 4 【例 2】 将圆 x2y22x4y10 平
7、分的直线是() Axy10 Bxy30 Cxy10 Dxy30 【例 3】 圆 x22xy230 的圆心到直线 xy30 的距离为_ 3 【变式 1】 已知点是圆上任意一点，P 点关于直线P 22 :450C xyxay 的对称点也在圆 C 上，则实数= 210 xy a 【变式 2】 已知一个圆经过点、，且圆心在上，求圆的3,1A1,3B 320 xy 方程. 5 【变式 3】 平面直角坐标系中有四点，这四点能否0,1 ,2,1 ,3,4 ,1,2ABCD 在同一个圆上？为什么？ 【变式 4】 如果三角形三个顶点分别是 O(0,0)，A(0,15)，B(8,0)，则它的内切圆方程为 _ 方法
8、总结： 1利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于 D，E，F 的方程组 2熟练掌握圆的一般方程向标准方程的转化 考点三、与圆有关的轨迹问题 【例 1】 动点 P 到点 A(8,0)的距离是到点 B(2,0)的距离的 2 倍，则动点 P 的轨迹方程为() Ax2y232Bx2y216 C(x1)2y216 Dx2(y1)216 【例 2】 方程表示的曲线是（ ） 2 25yx A. 一条射线 B. 一个圆 C. 两条射线 D. 半个圆 【例 3】 在中，若点的坐标分别是（-2,0）和（2,0） ，中线 AD 的长度是 3，则ABC,CB 点 A 的轨迹方程是（ ） A. B. 22 3xy 22
9、 4xy C. D. 22 90 xyy 22 90 xyx 【例 4】 已知一曲线是与两个定点 O(0,0)，A(3,0)距离的比为 的点的轨迹求这个曲线的 1 2 方程，并画出曲线 6 【变式 1】 方程所表示的曲线是（ ） 2 111xy A. 一个圆 B. 两个圆 C. 一个半圆 D. 两个半圆 【变式 2】 动点 P 到点 A(8,0)的距离是到点 B(2,0)的距离的 2 倍，则动点 P 的轨迹方程为() Ax2y232Bx2y216 C(x1)2y216 Dx2(y1)216 【变式 3】 如右图，过点 M(6,0)作圆 C：x2y26x4y90 的割线，交圆 C 于 A、B 两
10、点，求线段 AB 的中点 P 的轨迹 【变式 4】 如图，已知点 A(1,0)与点 B(1,0)，C 是圆 x2y21 上的动点，连接 BC 并延 长至 D，使得|CD|BC|，求 AC 与 OD 的交点 P 的轨迹方程 方法总结：方法总结：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： 7 （1）直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然 后化简 (2)定义法：根据直线、圆等定义列方程 (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程 (4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等 考点四：与圆有关的最值问题 【例 1】 已知圆 x2y22x
11、4ya0 关于直线 y2xb 成轴对称，则 ab 的取值范围 是_ 【例 2】 已知 x，y 满足 x2y21，则的最小值为_ y2 x1 【例 3】 已知点 M 是直线 3x4y20 上的动点，点 N 为圆(x1)2(y1)21 上的动点， 则|MN|的最小值是() A. B1 C. D. 9 5 4 5 13 5 【例 4】已知实数 x，y 满足(x2)2(y1)21 则 2xy 的最大值为_，最小值为 _ 【变式 1】 P(x，y)在圆 C：(x1)2(y1)21 上移动，则 x2y2的最小值为_ 【变式 2】 由直线 yx2 上的点 P 向圆 C：(x4)2(y2)21 引切线 PT(
12、T 为切点)，当 |PT|最小时，点 P 的坐标是() A(1,1) B(0,2) C(2,0) D(1,3) 【变式 3】 已知两点 A(2,0)，B(0,2)，点 C 是圆 x2y22x0 上任意一点，则ABC 面 积的最小值是_ 【变式 4】已知圆 M 过两点 C(1，1)，D(1,1)，且圆心 M 在 xy20 上 8 （1）求圆 M 的方程； （2）设 P 是直线 3x4y80 上的动点，PA、PB 是圆 M 的两条切线，A，B 为切点， 求四边形 PAMB 面积的最小值 方法总结：方法总结：解决与圆有关的最值问题的常用方法 （1）形如 u的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题 yb xa （2） 形如 taxby 的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题； （3）形如(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题 （4）一条直线与圆相离，在圆上找一点到直线的最大（小）值： （其中 d 为圆dr 心到直线的距离）
