《线性代数知识点归纳[汇编]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数知识点归纳[汇编]（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 20 页 线线性代数复性代数复习习要点要点 第一部分第一部分 行列式行列式 1.1. 排列的逆序数排列的逆序数 2.2. 行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则 3.3. 行列式的性质及行列式的计算行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义行列式的定义 1.1. 行列式的计算：行列式的计算： ( (定义法定义法) ) 1 2 12 1 2 11121 21222() 12 12 () n n n n nj jj njjnj j jj nnnn aaa aaa Da aa aaa 1 （降阶法）（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的
2、任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. . 推论推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. . 1122 , 0,. ijijinjn Aij a Aa Aa A ij 第 2 页 共 20 页 ( (化为三角型行列式化为三角型行列式) )上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. . 11 22 11 22 * 0* 0* 00 nn n
3、n b b Ab bb b 若若都是方阵（不必同阶）都是方阵（不必同阶）, ,则则AB与 = =()mn AOAAO A B OBOBB OAA A B BOBO 1 关于副对角线：关于副对角线： (1) 2 11 2121 121 11 () n n nn nn nnn nn aOa aa a aa aOaO 1 范德蒙德行列式：范德蒙德行列式： 12 222 12 1 111 12 n ij n j i n nnn n xxx xxxxx xxx 111 型公式：型公式：ab 1 (1) () n abbb babb anb abbbab bbba ( (升阶法升阶法) )在原行列式中增加
4、一行一列，保持原行列式不变的方法. ( (递推公式法递推公式法) ) 对对阶行列式阶行列式找出找出与与或或, ,之间的一种关系之间的一种关系称为递推公式，其中称为递推公式，其中n n D n D 1n D 1n D 2n D , , ,等结构相同，再由递推公式求出等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法的方法称为递推公式法. . n D 1n D 2n D n D ( (拆分法拆分法) ) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算使问题
5、简化以例计算. . ( (数学归纳法数学归纳法) ) 2.2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；nA 1 ( 1) n nkn k k k EAS k Sk 3. 证明的方法：0A 、；AA 、反证法； 第 3 页 共 20 页 、构造齐次方程组，证明其有非零解；0Ax 、利用秩，证明；( )r An 、证明 0 是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：( 1)( 1) ijij ijijijij MAAM 第二部分第二部分 矩矩阵阵 1.1. 矩阵的运算性质矩阵的运算性质 2.2. 矩阵求逆矩阵求逆 3.3. 矩阵的秩的性质矩阵的秩的性质 4.4. 矩阵方程的求解矩阵方程的求解
6、1.1. 矩阵的定义矩阵的定义 由由个数排成的个数排成的行行列的表列的表称为称为矩阵矩阵. .m nmn 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa A aaa m n 记作：记作：或或 ij m n Aa m n A 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. . 矩阵相等矩阵相等: : 两个矩阵同型，且对应元素相等两个矩阵同型，且对应元素相等. . 矩阵运算矩阵运算 a.a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. . b.b. 数与矩阵相乘：数数与矩阵相乘：数与矩阵与矩
7、阵的乘积记作的乘积记作 或或，规定为，规定为. .AAA() ij Aa c.c. 矩阵与矩阵相乘：设矩阵与矩阵相乘：设, , , ,则则，() ijm s Aa () ijs n Bb () ijm n CABc 其中其中 1 2 121 122 (,) j j ijiiisijijissj sj b b caaaa ba ba b b 注：注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律矩阵乘法不满足：交换律、消去律, , 即公式即公式不成立不成立. 00 ABBA ABA 或B=0 a.a. 分块对角阵相乘：分块对角阵相乘：, , 1111 2222 , AB AB AB 1111 2222 A B
8、AB A B 11 22 n n n A A A 第 4 页 共 20 页 b.b. 用对角矩阵用对角矩阵乘一个矩阵乘一个矩阵, ,相当于用相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量；向量； 左左 行行 1111211 111 121 1 22122222122222 1212 00 00 00 nn nn mmmmnmmmmmmn abbbababab abbba ba ba b B abbba ba ba b c.c. 用对角矩阵用对角矩阵乘一个矩阵乘一个矩阵, ,相当于用相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量向量.
9、. 右右 列列 1112111 112 121 2122221 212222 121122 00 00 00 nmn nmn mmmnmmmmmn bbbaaba ba b bbbaaba ba b B bbbaaba ba b d.d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. . 方阵的幂的性质：方阵的幂的性质：， mnm n A AA ()( ) mnmn AA 矩阵的转置：把矩阵矩阵的转置：把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作. .AA T A a.a.
10、对称矩阵和反对称矩阵对称矩阵和反对称矩阵: : 是对称矩阵是对称矩阵 . .A T AA 是反对称矩阵是反对称矩阵 . .A T AA b.b. 分块矩阵的转置矩阵：分块矩阵的转置矩阵： T TT TT ABAC CDBD 伴随矩阵：伴随矩阵： ，为为中各个元素的代数余子式中各个元素的代数余子式. . 11211 12222* 12 n T n ij nnnn AAA AAA AA AAA ij AA , , . * AAA AA E 1 * n AA 1 1 AA 分块对角阵的伴随矩阵：分块对角阵的伴随矩阵： * * * ABA BAB * ( 1) ( 1) mn mn AA B BB A
11、 第 5 页 共 20 页 2.2. 逆矩阵的求法逆矩阵的求法 方阵方阵可逆可逆 . .A0A 伴随矩阵法伴随矩阵法 ： 1 A A A 注注 1 abdb cdcaadbc 1 主换位 副变号 初等变换法初等变换法 1 ()()A EE A 初等行变换 分块矩阵的逆矩阵分块矩阵的逆矩阵： 1 1 1 AA BB 1 1 1 AB BA 1 111 ACAA CB OBOB 1 1 11 AOAO CBB CAB , , 1 2 3 11 1 1 2 1 3 a a a a a a 3 2 1 11 1 1 2 1 3 a a a a a a 配方法或者待定系数法配方法或者待定系数法 （逆矩阵
12、的定义（逆矩阵的定义） 1 ABBAEAB 3.3. 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为可画出一条阶梯线，线的下方全为；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖0 线后面的第一个元素非零线后面的第一个元素非零. . 当非零行的第一个非零元为当非零行的第一个非零元为 1 1，且这些非零元所在列的其他元素都是，且这些非零元所在列的其他元素都是时，时，0 称为称为行最简形矩阵行最简形矩阵 4.4. 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换
13、初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等矩阵的逆初等矩阵的逆初等矩阵的行列式初等矩阵的行列式 矩阵转置的性质：矩阵转置的性质：() TT AA()T TT ABB A T AA 11 ()() TT AA ()() TT AA 矩阵可逆的性质：矩阵可逆的性质： 11 ()AA 111 ()ABB A 1 1 AA 11 ()() kkk AAA 伴随矩阵的性质：伴随矩阵的性质： 2 () n AAA ()ABB A 1n AA 11 ()() A A AA ()() kk AA ( ) ()1 ( )1 0 ( )1 nr An r Ar An r An 若 若 若 ABA B k k AA（无条
14、件恒成立）（无条件恒成立）AAA AA E 第 6 页 共 20 页 () ij rr ij cc( , )E i j 1 ( , )( , )E i jE i j ( , )E i j 1 () i rk i ck( ( )E i k 1 1 ( ) ( ) k E i kE i ( )E i kk () ij rrk ij cck( , ( )E i j k 1 , ( ) , ()E i j kE i jk , ( )E i j k1 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：矩阵的初等变换和初等矩阵的关系： 对对施行一次初等施行一次初等变换得到的矩阵变换得到的矩阵, ,等于用相应的初等矩阵等于用相应的初等矩阵乘乘；A 行行 左左 A 对对施行一次初等施行一次初等变换得到的矩阵变换得到的矩阵, ,等于用相应的初等矩阵等于用相应的初等矩阵乘乘. .A 列列 右右 A 注意：注意： 初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵. 5. 矩阵的秩矩阵的秩 关于关于矩阵秩的描述：矩阵秩的描述
