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1、- 1 - 三角形三角形 几何几何 A 级级概念：（要求深刻理解、熟概念：（要求深刻理解、熟练练运用、主要用于几何运用、主要用于几何证证明）明） 1三角形的角平分三角形的角平分线线定定义义： ： 三角形的一个角的平分三角形的一个角的平分线线与与这这个角个角 的的对边对边相交，相交，这这个角的个角的顶顶点和交点点和交点 之之间间的的线线段叫做三角形的角平分段叫做三角形的角平分线线. （如（如图图） ） A BCD 几何表达式几何表达式举举例：例： (1) AD 平分平分 BAC BAD= CAD (2) BAD= CAD AD 是角平分是角平分线线 2三角形的中三角形的中线线定定义义： ： 在三
2、角形中，在三角形中，连结连结一个一个顶顶点和它的点和它的 对边对边的中点的的中点的线线段叫做三角形的中段叫做三角形的中 线线.（如（如图图） ） A B CD 几何表达式几何表达式举举例：例： (1) AD 是三角形的中是三角形的中线线 BD = CD (2) BD = CD AD 是三角形的中是三角形的中线线 3三角形的高三角形的高线线定定义义： ： 从三角形的一个从三角形的一个顶顶点向它的点向它的对边对边画画 垂垂线线， ，顶顶点和垂足点和垂足间间的的线线段叫做三段叫做三 角形的高角形的高线线. （如（如图图） ） A BCD 几何表达式几何表达式举举例：例： (1) AD 是是 ABC
3、的高的高 ADB=90 (2) ADB=90 AD 是是 ABC 的高的高 4三角形的三三角形的三边边关系定理：关系定理： 三角形的两三角形的两边边之和大于第三之和大于第三边边，三，三 角形的两角形的两边边之差小于第三之差小于第三边边.（如（如图图） ） A BC 几何表达式几何表达式举举例：例： (1) AB+BCAC (2) AB-BCAC 5等腰三角形的定等腰三角形的定义义： ： 有两条有两条边边相等的三角形叫做等腰三相等的三角形叫做等腰三 几何表达式几何表达式举举例：例： (1) ABC 是等腰三角形是等腰三角形 - 2 - 角形角形. （如（如图图） ） A BC AB = AC (
4、2) AB = AC ABC 是等腰三角形是等腰三角形 6等等边边三角形的定三角形的定义义： ： 有三条有三条边边相等的三角形叫做等相等的三角形叫做等边边三三 角形角形. （如（如图图） ） A B C 几何表达式几何表达式举举例：例： (1) ABC 是等是等边边三角形三角形 AB=BC=AC (2) AB=BC=AC ABC 是等是等边边三角形三角形 7三角形的内角和定理及推三角形的内角和定理及推论论： ： （ （1）三角形的内角和）三角形的内角和 180；（如；（如图图） ） （ （2）直角三角形的两个）直角三角形的两个锐锐角互余；（如角互余；（如图图） ） （ （3）三角形的一个外角等
5、于和它不相）三角形的一个外角等于和它不相邻邻的两个内角的和；（如的两个内角的和；（如 图图） ） （ （4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻邻的内角的内角. （ （1） ） （ （2） ） （ （3）（）（4） ） 几何表达式几何表达式举举例：例： (1) A+ B+ C=180 (2) C=90 A+ B=90 (3) ACD= A+ B (4) ACD A 8直角三角形的定直角三角形的定义义： ： 有一个角是直角的三角形叫直角有一个角是直角的三角形叫直角 三角形三角形.（如（如图图） ） A BC 几何表达式几何表达式举举例：例： (1) C=9
6、0 ABC 是直角三角形是直角三角形 (2) ABC 是直角三角形是直角三角形 C=90 9等腰直角三角形的定等腰直角三角形的定义义： ：几何表达式几何表达式举举例：例： D A BC A BC A BC - 3 - 两条直角两条直角边边相等的直角三角形叫相等的直角三角形叫 等腰直角三角形等腰直角三角形.（如（如图图） ） A B C (1) C=90 CA=CB ABC 是等腰直角三角形是等腰直角三角形 (2) ABC 是等腰直角三角是等腰直角三角 形形 C=90 CA=CB 10全等三角形的性全等三角形的性质质： ： （ （1）全等三角形的）全等三角形的对应边对应边相等；（如相等；（如图图
7、） ） （ （2）全等三角形的）全等三角形的对应对应角相等角相等.（如（如图图） ） 几何表达式几何表达式举举例：例： (1) ABC EFG AB = EF (2) ABC EFG A= E 11全等三角形的判定：全等三角形的判定： “SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”. （如（如图图） ） （ （1）（）（2） ） （ （3） ） 几何表达式几何表达式举举例：例： (1) AB = EF B= F 又又 BC = FG ABC EFG (2) (3)在在 RtABC 和和 RtEFG 中中 AB=EF 又又 AC = EG RtABC RtEFG 12角平分角平分线线的性的性质
8、质定理及逆定定理及逆定 理：理： （ （1）在角平分）在角平分线线上的点到角的两上的点到角的两边边 几何表达式几何表达式举举例：例： (1) OC 平分平分 AOB 又又 CD OA CE OB A BCG E F A BCG E F A B C E F G - 4 - 距离相等；（如距离相等；（如图图） ） （ （2）到角的两）到角的两边边距离相等的点在角距离相等的点在角 平分平分线线上上.（如（如图图） ） A O B C D E CD = CE (2) CD OA CE OB 又又 CD = CE OC 是角平分是角平分线线 13 线线段垂直平分段垂直平分线线的定的定义义： ： 垂直于一
9、条垂直于一条线线段且平分段且平分这这条条线线段段 的直的直线线，叫做，叫做这这条条线线段的垂直平段的垂直平 分分线线.（如（如图图） ） A B E F O 几何表达式几何表达式举举例：例： (1) EF 垂直平分垂直平分 AB EF AB OA=OB (2) EF AB OA=OB EF 是是 AB 的垂直平分的垂直平分线线 14 线线段垂直平分段垂直平分线线的性的性质质定理定理 及逆定理：及逆定理： （ （1） ）线线段垂直平分段垂直平分线线上的点和上的点和这这条条 线线段的两个端点的距离相等；（如段的两个端点的距离相等；（如 图图） ） （ （2）和一条）和一条线线段的两个端点的距离段的
10、两个端点的距离 相等的点，在相等的点，在这这条条线线段的垂直平段的垂直平 分分线线上上.（如（如图图） ） AB C M N P 几何表达式几何表达式举举例：例： (1) MN 是是线线段段 AB 的垂直的垂直 平分平分线线 PA = PB (2) PA = PB 点点 P 在在线线段段 AB 的垂直平的垂直平 分分线线上上 15等腰三角形的性等腰三角形的性质质定理及推定理及推论论： ： （ （1）等腰三角形的两个底角相等；（即等）等腰三角形的两个底角相等；（即等边对边对等角）（如等角）（如图图） ） （ （2）等腰三角形的）等腰三角形的“顶顶角平分角平分线线、底、底边边中中线线、底、底边边上
11、的高上的高” 三三线线合一；（如合一；（如图图） ） （ （3）等）等边边三角形的各角都相等，并且都是三角形的各角都相等，并且都是 60.（如（如图图） ） 几何表达式几何表达式举举例：例： (1) AB = AC B= C (2) AB = AC 又又BAD= CAD BD = CD - 5 - A BC （ （1） ） A BCD （ （2） ） A B C （ （3） ） AD BC (3) ABC 是等是等边边三角三角 形形 A= B= C =60 16等腰三角形的判定定理及推等腰三角形的判定定理及推论论： ： （ （1）如果一个三角形有两个角都相等，那么）如果一个三角形有两个角都相等
12、，那么这这两个角所两个角所对对 边边也相等；（即等角也相等；（即等角对对等等边边）（如）（如图图） ） （ （2）三个角都相等的三角形是等）三个角都相等的三角形是等边边三角形；（如三角形；（如图图） ） （ （3）有一个角等于）有一个角等于 60的等腰三角形是等的等腰三角形是等边边三角形；（如三角形；（如图图） ） （ （4）在直角三角形中，如果有一个角等于）在直角三角形中，如果有一个角等于 30，那么它所，那么它所 对对的直角的直角边边是斜是斜边边的一半的一半.（如（如图图） ） A BC （ （1） ） A B C （ （2）（）（3） ） A BC （ （4） ） 几何表达式几何表达式举
13、举例：例： (1) B= C AB = AC (2) A= B= C ABC 是等是等边边三角形三角形 (3) A=60 又又 AB = AC ABC 是等是等边边三角形三角形 (4) C=90 B=30 AC =2 1 AB 17关于关于轴对轴对称的定理称的定理 （ （1）关于某条直）关于某条直线对线对称的两个称的两个图图 形是全等形；（如形是全等形；（如图图） ） （ （2）如果两个）如果两个图图形关于某条直形关于某条直线线 对对称，那么称，那么对对称称轴轴是是对应对应点点连线连线 的垂直平分的垂直平分线线.（如（如图图） ） 几何表达式几何表达式举举例：例： (1) ABC、 、EGF
14、关于关于 MN 轴对轴对称称 ABC EGF (2) ABC、 、EGF 关于关于 MN 轴对轴对称称 OA=OE MN AE 18勾股定理及逆定理：勾股定理及逆定理：几何表达式几何表达式举举例：例： E F M O A B C N G - 6 - （ （1）直角三角形的两直角）直角三角形的两直角边边 a、 、b 的平方和等于斜的平方和等于斜边边 c 的平方，即的平方，即 a2+b2=c2；（如；（如图图） ） （ （2）如果三角形的三）如果三角形的三边长边长有下面有下面 关系关系: a2+b2=c2，那么，那么这这个三角个三角 形是直角三角形形是直角三角形.（如（如图图） ） A B C (
15、1) ABC 是直角三角是直角三角 形形 a2+b2=c2 (2) a2+b2=c2 ABC 是直角三角形是直角三角形 19 Rt 斜斜边边中中线线定理及逆定理：定理及逆定理： （ （1）直角三角形中，斜）直角三角形中，斜边边上的中上的中 线线是斜是斜边边的一半；（如的一半；（如图图） ） （ （2）如果三角形一）如果三角形一边边上的中上的中线线是是 这边这边的一半，那么的一半，那么这这个三角形是个三角形是 直角三角形直角三角形.（如（如图图） ） D A B C 几何表达式几何表达式举举例：例： ABC 是直角三角形是直角三角形 D 是是 AB 的中点的中点 CD = 2 1 AB (2)
16、CD=AD=BD ABC 是直角三角形是直角三角形 几何几何 B 级级概念：（要求理解、会概念：（要求理解、会讲讲、会用，主要用于填空和、会用，主要用于填空和选择题选择题） ） 一一 基本概念：基本概念： 三角形、不等三角形、不等边边三角形、三角形、锐锐角三角形、角三角形、钝钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角三角形、三角形的外角、全等三角形、 角平分角平分线线的集合定的集合定义义、原命、原命题题、逆命、逆命题题、逆定理、尺、逆定理、尺规规作作图图、 、辅辅助助线线、 、线线段垂直平段垂直平 分分线线的集合定的集合定义义、 、轴对轴对称的定称的定义义、 、轴对轴对称称图图形的定形的定义义、勾股数、勾股数. 二二 常常识识： ： 1三角形中，第三三角形中，第三边长边
