《平面向量知识点归纳[参照]》由会员分享,可在线阅读,更多相关《平面向量知识点归纳[参照](3页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1 平面向量平面向量 一向量有关概念一向量有关概念: 1向量的概念向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示,注意不能说向不能说向 量就是有向线段量就是有向线段,为什么?(向量可以平移) 。如:如: 2零向量零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作:,注意零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的;0 3单位向量单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是);AB | AB AB 4相等向量相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性; 5平行向量(也叫共线向量)平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量、叫
2、做平行向量,记作:,规定零规定零abab 向量和任何向量平行向量和任何向量平行。 提醒提醒: 相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等; 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包 含两条直线重合; 平行向量无传递性平行向量无传递性!(因为有);0 三点共线共线;ABC、 AB AC 、 6相反向量相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如如aa 下列命题:(1)若,则。 (2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。 (3)ab ab 若,则是平行四边形。 (4)若是平行四边形,则。 (5)若,ABDC
3、ABCDABCDABDC ,ab bc 则。 (6)若,则。其中正确的是_(答:(4) (5) )ac / , /ab bc /ac 二向量的表示方法二向量的表示方法: 1几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如,注意起点在前,终点在后;AB 2符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如,等;abc 3坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与轴、轴方向相同的两个单位向量,为基底,则平面内xyij 的任一向量可表示为,称为向量的坐标,叫做向量的坐标a,axiy jx y , x yaa, x ya 表示。如果向量的起点在原点向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三平面向量的基本定
4、理三平面向量的基本定理:如果 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量 a,有且只 有一对实数、,使 a=e1e2。如如 1 2 1 2 (1 1)若,则_(答:) ;(1,1),ab (1, 1),( 1,2)c c 13 22 ab (2 2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是 A. B. 12 (0,0),(1, 2)ee 12 ( 1,2),(5,7)ee C. D. 12 (3,5),(6,10)ee 12 13 (2, 3),( ,) 24 ee (答:B) ; (3 3)已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示,AD BE ABC,BC AC,
5、ADa BEb BC , a b 为_(答:) ; 24 33 ab (4 4)已知中,点在边上,且,则的值是_ABCDBC DBCD2 ACsABrCDsr (答:0) 四实数与向量的积四实数与向量的积:实数与向量的积是一个向量,记作,它的长度和方向规定如下:aa 当0 时,的方向与的方向相同,当0 时,的方向与的方向相反, 1, 2aa aaaa 当0 时,注意注意:0。0a a 2 五平面向量的数量积五平面向量的数量积: 1两个向量的夹角两个向量的夹角:对于非零向量,作,ab,OAa OBb AOB 称为向量,的夹角,当0 时,同向,当时,反向,当时,0ababab 2 ,垂直。ab 2
6、平面向量的数量积平面向量的数量积:如果两个非零向量,它们的夹角为,我们把数量叫做与ab|cosa b a 的数量积(或内积或点积) ,记作:,即。规定:零向量与任一向量的数量积是ba ba bcosa b 0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量注意数量积是一个实数,不再是一个向量。如如 (1 1)已知,与的夹角为,则等于_ 11 (1, ),(0,), 22 abcakb dab c d 4 k (答:1) ; (2 2)已知,则等于_2,5,3aba b ab (答:) ;23 (3 3)已知是两个非零向量,且,则的夹角为_, a b abab 与aab (答:)30 3在在上的投影上的投
7、影为,它是一个实数,但不一定大于 0。如如ba|cosb 已知,且,则向量在向量上的投影为_(答:)3| a5| b12 ba a b 5 12 4 4的几何意义的几何意义:数量积等于的模与在上的投影的积。a ba ba|a ba 5向量数量积的性质向量数量积的性质:设两个非零向量,其夹角为,则:ab ;0aba b 当,同向时,特别地,;当与反向时,aba ba b 2 22 ,aa aaaa ab ;非零向量,夹角的计算公式:;。如如a ba b abcos a b a b | |a ba b (1 1)已知,如果与的夹角为锐角,则的取值范围是_)2 ,( a)2 ,3( b a b (答
8、:或且) ; 4 3 0 1 3 六向量的运算六向量的运算: 1几何运算几何运算: 向量加法:利用“平行四边形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量,如此之外,向 量加法还可利用“三角形法则”:设,那么向量叫做与的和,即,ABa BCb AC a b ;abABBCAC 向量的减法:用“三角形法则”:设,由减向量的终,ABa ACbabABACCA 那么 点指向被减向量的终点。注意:此处减向量与被减向量的起点相同。如如 (1 1)化简:_;_;_ABBCCD ABADDC ()()ABCDACBD (答:;) ;AD CB 0 (2 2)若正方形的边长为 1,则_ABCD,ABa
9、 BCb ACc |abc (答:) ;2 2 2坐标运算坐标运算:设,则: 1122 ( ,),(,)ax ybxy 向量的加减法运算向量的加减法运算:,。如如 12 (abxx 12) yy 3 (1 1)已知点,若,则当_时,点 P 在第一、(2,3), (5,4)AB(7,10)C()APABACR 三象限的角平分线上 (答:) ; 1 2 (2 2)已知作用在点的三个力,则合力的终点(1,1)A 123 (3,4),(2, 5),(3,1)FFF 123 FFFF 坐标是 (答:(9,1) ) 实数与向量的积实数与向量的积:。 1111 ,ax yxy 若,则,即一个向量的坐标等于表
10、示这个向量的有向线 1122 ( ,), (,)A x yB xy 2121 ,ABxx yy 段的终点坐标减去起点坐标。如如 设,且,则 C、D 的坐标分别是_(2,3), ( 1,5)AB 1 3 ACAB 3ADAB (答:) ; 11 (1,),( 7,9) 3 平面向量数量积平面向量数量积:。如如 1212 a bx xy y 已知向量(sinx,cosx), (sinx,sinx), (1,0),若 x,求向量、的夹角;abc 3 ac 向量的模向量的模:。如如 2 22222 |,|axyaaxy 已知均为单位向量,它们的夹角为,那么_ (答:) ; , a b 60|3 |ab
11、 13 两点间的距离两点间的距离:若,则。 1122 ,A x yB xy 22 2121 |ABxxyy 七向量的运算律七向量的运算律: 1交换律:,;abba aa a bb a 2结合律:,;,abcabc abcabc aba bab 3分配律:,。,aaaabab abca cb c 如如 下列命题中: ; ; cabacba)( cbacba)()( 2 ()ab 2 |a ; 若,则或;若则; 2 2| |abb 0 ba0 a0 b,a bc b ac 2 2 aa ;。其中正确的是_(答:) 2 a bb a a 22 2 ()a bab 22 2 ()2abaa bb 提醒
12、:(提醒:(1 1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同 乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量, 切记两向量不能相除切记两向量不能相除( (相约相约) );(2 2)向量的)向量的“乘法乘法”不满足结合律不满足结合律,即,为什么?cbacba)()( 八向量平行八向量平行( (共线共线) )的充要条件的充要条件:0。如如/abab 22 ()(|)a ba b 1212 x yy x (1)(1)若向量,当_时与共线且方向相同(答:2) ;( ,1),(4, )axbx xa b (2
13、2)已知,且,则 x_(答:4) ;(1,1),(4, )abx 2uab 2vab /uv (3 3)设,则 k_时,A,B,C 共线(答:2 或 11)( ,12),(4,5),(10, )PAkPBPCk 九向量垂直的充要条件九向量垂直的充要条件: .0| |aba babab 1212 0 x xy y 如如 (1)(1)已知,若,则 (答:) ;( 1,2),(3,)OAOBm OAOB m 3 2 (2 2)以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB,则点 B 的坐标是_ 90B (答:(1,3)或(3,1) ) ; (3 3)已知向量,且,则的坐标是_ (答:)( , ),na b nm nm m ( ,)(, )bab a或