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1、1 高中数学必修二高中数学必修二 空间几何体空间几何体 1.1 空间几何体的结构 棱柱棱柱 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边 形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、 五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如 五棱柱 EDCBAABCDE 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行 且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 棱锥棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形， 由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形
2、的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、 五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 EDCBAP 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点 到截面距离与高的比的平方。 棱台棱台 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间 的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、 五棱台等 表示：用各顶点字母，如四棱台 ABCDABCD 几何特征：上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点 圆柱圆柱 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的 曲面所围成的几何体 几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴
3、与底面 圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。 2 圆锥圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的 曲面所围成的几何体 几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面 展开图是一个扇形。 圆台圆台 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之 间的部分 几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点； 侧面展开图是一个弓形。 球体球体 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的 几何体 几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等 于半径。 1.2 空间几何体的三视图和直观图 1.中心投影与平行投影 中心投影：把光由一点向外散射形成的投影
4、叫做中心投影。 平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。 2.三视图 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：斜二测画法直观图：斜二测画法 斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于 x，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 3 1.3 空间几何体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，为斜高，l 为母线） h chS 直棱柱侧面积 rhS2 圆柱侧 2 1 chS 正棱
5、锥侧面积rlS 圆锥侧面积 )( 2 1 21 hccS 正棱台侧面积lRrS)( 圆台侧面积 lrrS2 圆柱表 lrrS 圆锥表 22 RRlrlrS 圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式 VSh 柱 2 VShr h 圆柱 1 3 VSh 锥 hrV 2 3 1 圆锥 1 () 3 VSS SS h 台 22 11 ()() 33 VSS SS hrrRRh 圆台 球体的表面积和体积公式：球体的表面积和体积公式：V= ； S= 球 3 4 3 R 球面 2 4 R 空间点、直线、平面的位置关系空间点、直线、平面的位置关系 公理公理 1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所
6、有的点都在这个平面内。如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 （即直线在平面内，或者平面经过直线）（即直线在平面内，或者平面经过直线） 应用：判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理 1：,Al Bl ABl 公理公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论：推论：一直线和直线外一点确定一平面； 两相交直线确定一平面； 两平行直线确定一平面。 公理公理 2 及其推论作用：及其推论作用：它是空间内确定平面的依据 它是证明平面重合的依据 公理公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点：如果两个不重合的
7、平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号：平面 和 相交，交线是 a，记作 a。 符号语言：,PABABl Pl 作用： 它是判定两个平面相交的方法。 它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。 它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。 公理公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行 空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系 位置关系公共点的个数 相交直线在同一个平面内，有且仅有一个公共点共面直线 平行直线在同一个平面内，没有公共点 异面直线不同在任何一个平面内，没有
8、公共点 4 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 位置关系公共点的个数 直线在平面内直线上有两个点在平面内，则这条直线上的所有 点都在平面内 直线和平面相交直线与平面有且仅有一个公共点直线在平面外 直线和平面平行直线与平面没有公共点 空间直线与直线之间的位置关系空间直线与直线之间的位置关系 异面直线定义：异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线性质异面直线性质：既不平行，又不相交。 异面直线判定：异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直 线 异面直线所成角异面直线所成角：直线 a、b 是异面直线，经过空间任意一点 O，分别引直线 a a，bb
9、，则把直线 a和 b所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a 和 b 所成的角。两条 异面直线所成角的范围是（0，90， 若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。两条异面直线互相垂直。 说明说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：根据异面直线的定义；异面直线的判定 定理 （2）在异面直线所成角定义中，空间一点 O 是任取的，而和点 O 的位置无关。 求异面直线所成角步骤： A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶 点选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角 （7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平
10、行，那么这两角相等或互补。）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。 三种位置关系的符号表示：三种位置关系的符号表示：a aA a （8）平面与平面之间的位置关系：）平面与平面之间的位置关系：平行没有公共点； 相交有一条公共直线。b 空间中的平行问题空间中的平行问题 直线和平面平行：直线和平面平行：直线 与平面没有公共点，则称直线 与平面平行，记作 /l ll 两个平面平行：两个平面平行：没有公共点的两个平面叫做平行平面。 （1）直线与平面平行的判定及其性质）直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理线面平行的判定定理：平面平面外外一条直线与此平面一条直
11、线与此平面内内一条直线平行一条直线平行,则该直线与此平面平行。则该直线与此平面平行。 b a / / / / a ba ab 5 线线平行线面平行 线面平行的性质定理：线面平行的性质定理：如如果果一一条条直直线线和和一一个个平平面面平平行行，经经过过这这条条直直线线的的平平 面面和和这这个个平平面面相相交交，那那么么这这条条直直线线和和交交线线平平行行。 线面平行线线平行 （2）平面与平面平行的判定及其性质）平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理两个平面平行的判定定理: 如果一个平面内的两条如果一个平面内的两条相交相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行直线都平行于另一个平
12、面，那么这两个平面平行 线面平行面面平行 如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 平行于同一个平面的两个平面平行平行于同一个平面的两个平面平行 两个平面平行的性质定理两个平面平行的性质定理 （1）如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 / 且 a /a （面面平行线面平行） （2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 a / l l ba b a a / / / / / / /
13、 / , a b abP a b / / / 6 ba b a/ / （面面平行线线平行） （3）如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 空间角问题空间角问题 （1）直线与直线所成的角）直线与直线所成的角 两平行直线所成的角：规定为。 0 两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。 两条异面直线所成的角：过空间任意一点 O，分别作与两条异面直线 a，b 平行的直线 ，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所ba , 成的角。 范围
14、：0, 2 （2）直线和平面所成的角）直线和平面所成的角 平面的平行线与平面所成的角：规定为。 平面的垂线与平面所成的角：规定为 0 。 90 平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这 条直线和这个平面所成的角。 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算” 。 在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线， 在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上 的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。 范围：0, 2 （3）二面角和二面角的平面角）二面角和二面
15、角的平面角 二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做 二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两 个面内面内分别作垂直于垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫 二面角的平面角。 直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个 平面垂直，那么所成的二面角为直二面角 求二面角的方法 ll且/ 7 定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角 垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角 为二面角的平面角 范围：0, 空间中的垂直问题空间中的垂直问题 （1）线线、面面、线面垂直的定义）线线、面面、线面垂直的定义 两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂 直。 线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面 垂
