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1、 1 一一 基础构图：基础构图： y=（以下几种分类的函数解析式就是这个）（以下几种分类的函数解析式就是这个）32 2 xx 和和最小，差最大最小，差最大 在对称轴上找一点 P，使得 PB+PC 的和最小，求 出 P 点坐标 在对称轴上找一点 P，使得 PB-PC 的差最大，求 出 P 点坐标 求面积最大求面积最大 连接 AC,在第四象限找一点 P，使得面积最大，求出 P 坐标ACP 讨论直角三角讨论直角三角 连接 AC,在对称轴上找一点 P，使得为直角三角形，ACP 求出 P 坐标或者在抛物线上求点 P，使ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形 讨论等腰三角讨论等腰三角 连接 AC,在对称
2、轴上找一点 P，使得为等腰三角形，ACP 求出 P 坐标 讨论平行四边形讨论平行四边形 1、点 E 在抛物线的对称轴上，点 F 在抛物线上， 且以 B，A，F，E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点 F 的坐标 Ox y AB C D Ox y AB C D Ox y AB C D Ox y AB C D 2 二二 综合题型综合题型 例例 1 (中考变式）中考变式）如图，抛物线如图，抛物线cbxxy 2 与与 x x 轴交与轴交与 A(1,0),B(-3A(1,0),B(-3，0)0)两点，顶点为两点，顶点为 D D。交。交 Y Y 轴于轴于 C C (1)(1)求该抛物线的解析式与求该抛物
3、线的解析式与ABC 的面积。的面积。 (2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点在抛物线第二象限图象上是否存在一点 M，使，使MBC 是以是以BCM 为直角的直角三角形，若存为直角的直角三角形，若存 在，求出点在，求出点 P 的坐标。若没有，请说明理由的坐标。若没有，请说明理由 (3)若若 E 为抛物线为抛物线 B、C 两点间图象上的一个动点两点间图象上的一个动点(不与不与 A、B 重合重合)，过，过 E 作作 EF与与X轴垂直轴垂直，交，交 BC 于于 F，设，设 E 点横坐标为点横坐标为 x.EF 的长度为的长度为 L， 求求 L 关于关于 X 的函数关系式？关写出的函数关系式？关写出 X
4、的取值范围？的取值范围？ 当当 E 点运动到什么位置时，线段点运动到什么位置时，线段 EF 的值最大，并求此时的值最大，并求此时 E 点的坐标？点的坐标？ (4)在（在（5）的情况下直线）的情况下直线 BC 与抛物线的对称轴交于点与抛物线的对称轴交于点 H。当。当 E 点运动到什么位置时点运动到什么位置时,以点以点 E、F、H、D 为顶点的四边形为平行四边形？为顶点的四边形为平行四边形？ (5)在（在（5）的情况下点）的情况下点 E 运动到什么位置时，使三角形运动到什么位置时，使三角形 BCE 的面积最大？的面积最大？ 3 例例 2 考点考点： 关于面积最值关于面积最值 如图，在平面直角坐标系
5、中，点 A、C 的坐标分别为(1， 0)、(0，)，点 B 在 x 轴上已知某3 二次函数的图象经过 A、B、C 三点，且它的对称轴为直线 x1，点 P 为直线 BC 下方的二次函数 图象上的一个动点（点 P 与 B、C 不重合） ，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 F （1）求该二次函数的解析式； （2）若设点 P 的横坐标为 m，试用含 m 的代数式表示线段 PF 的长； （3）求PBC 面积的最大值，并求此时点 P 的坐标 例例 3 考点考点：讨论等腰：讨论等腰 如图，已知抛物线 y x 2bxc 与 y 轴相交于 C，与 x 轴相交于 A、B，点 A 的坐标为（2，0） ，
6、2 1 点 C 的坐标为（0，1） （1）求抛物线的解析式； （2）点 E 是线段 AC 上一动点，过点 E 作 DEx 轴于点 D，连结 DC，当DCE 的面积最大时， 求点 D 的坐标； （3）在直线 BC 上是否存在一点 P，使ACP 为等腰三角形，若存在，求点 P 的坐标，若不存在， 说明理由 例例 4 考点考点：讨论直角三角：讨论直角三角 D B C OA y x E B C OA 备用图 y x y xBA F P x1 C O 4 如图，已知点A（一1，0）和点B（1，2），在坐标轴上 确定点P，使得ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（ ） (A）2个 （B）4个 （C
7、） 6个（D）7个 已知：如图一次函数 yx1 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；二次函数 yx 2 1 2 1 2bxc 的图象与一次函数 y x1 的图象交于 B、C 两点，与 x 轴交于 D、E 两点且 D 点坐标 2 1 为（1，0） （1）求二次函数的解析式； （2）求四边形 BDEC 的面积 S； （3）在 x 轴上是否存在点 P，使得PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的 点 P，若不存在，请说明理由 例例 5 考点考点：讨论四边形：讨论四边形 已知：如图所示，关于 x 的抛物线 yax 2xc（a0）与 x 轴交于点 A（2，0） ，点 B
8、（6，0） ， 与 y 轴交于点 C （1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标； （2）在抛物线上有一点 D，使四边形 ABDC 为等腰梯形，写出点 D 的坐标，并求出直线 AD 的 解析式； （3）在（2）中的直线 AD 交抛物线的对称轴于点 M，抛物线上有一动点 P，x 轴上有一动点 Q是否存在以 A、M、P、Q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点 Q 的坐标； 如果不存在，请说明理由 OA B y C x DE 2 BA y O C x 5 综合练习：综合练习： 1、平面直角坐标系 xOy 中，抛物线与 x 轴交于点 A、点 B，与 y 轴的正半轴 2 44yaxaxac 交于
9、点 C，点 A 的坐标为(1, 0)，OBOC，抛物线的顶点为 D。 (1) 求此抛物线的解析式； (2) 若此抛物线的对称轴上的点 P 满足APBACB，求点P的坐标； (3) Q 为线段 BD 上一点，点 A 关于AQB 的平分线的对称点为，若，求点 Q 的 A 2QBQA 坐 标和此时的面积。QAA 2、在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴交于点，与xOy 2+2 yaxaxcy3 0，C 轴交于 A、B 两点，点 B 的坐标为。x0 3， （1） 求二次函数的解析式及顶点 D 的坐标； （2） 点 M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线 OM 把四边形 ACDB 分成面积为 1
10、 ：2 的 两部分，求出此时点的坐标；M （3） 点 P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点 P 在何处时的面积最大？最大面积CPB 是多少？并求出此时点 P 的坐标。 3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴负半轴交于点，顶点为，xOyxx m y2 2 2 xAB 且对称轴与轴交于点。xC （1）求点的坐标（用含的代数式表示） ；Bm （2）为中点，直线交轴于，若（0，2） ，求抛物线的解析式；DOBADyEE （3）在（2）的条件下，点在直线上，且使得的周长最小，在抛物线上，在MOBAMCPQ 直线上，若以为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标。BCQPMA、P 4、已知关于的方程。x
11、 2 (1)(4)30m xm x 6 （1） 若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；m （2） 若正整数满足，设二次函数的图象与轴交于m822m 2 (1)(4)3ym xm xx 两点，将此图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一AB、 个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象恰好有三个公共点3ykx 时，求出的值（只需要求出两个满足题意的 k 值即可） 。k 5 如图，抛物线 y=ax2+2ax+c（a0）与 y 轴交于点 C（0，4） ，与 x 轴交于点 A（4，0）和 B （1）求该抛物线的解析式； （2）点 Q 是线段 AB 上的动点，
12、过点 Q 作 QEAC，交 BC 于点 E， 连接 CQ当CEQ 的面积最大时，求点 Q 的坐标； （3）平行于 x 轴的动直线 l 与该抛物线交于点 P，与直线 AC 交于点 F，点 D 的坐标为（2，0） 问是否有直线 l，使ODF 是等腰三角形？ 若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 三、中考二次函数代数型综合题三、中考二次函数代数型综合题 题型一、抛物线与题型一、抛物线与x x轴的两个交点分别位于某定点的两侧轴的两个交点分别位于某定点的两侧 例 1已知二次函数yx 2(m1)xm2 的图象与x轴相交于A（x1，0） ，B（x2，0）两点，且 x1x2 （1）若x1x20，
13、且m为正整数，求该二次函数的表达式； （2）若x11，x21，求m的取值范围； （3）是否存在实数m，使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C（0，2） ，若存在，求出m的值；若 不存在，请说明理由； （4）若过点D（0，）的直线与（1）中的二次函数图象相交于M、N两点，且 ，求该直线 1 2 MD DN 1 3 的表达式 题型二、题型二、抛物线与 x 轴两交点之间的距离问题 例 2 已知二次函数 y= x 2+mx+m-5， 7 （1）求证：不论 m 取何值时，抛物线总与 x 轴有两个交点； （2）求当 m 取何值时，抛物线与 x 轴两交点之间的距离最短 题型三、抛物线方程的整数解问题题型三、抛
14、物线方程的整数解问题 例 1 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且 m5，则 22 2(1)0yxmxm 整数 m 的值为_ 例 2已知二次函数 yx 22mx4m8 （1）当 x2 时，函数值 y 随 x 的增大而减小，求 m 的取值范围； （2）以抛物线 yx 22mx4m8 的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正（M，N 两点AMN 在拋物线上） ，请问：AMN的面积是与 m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说 明理由； （3）若抛物线 yx 22mx4m8 与x轴交点的横坐标均为整数， 求整数 m 的值 题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的
15、对称性、数形结合题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合 例 1已知抛物线（其中 b0，c0）与 y 轴的交点为 A，点 A 关于抛物线对称轴的 2 yxbxc 对称点为 B(m,n)，且 AB=2. (1)求 m,b 的值 (2)如果抛物线的顶点位于 x 轴的下方，且 BO=。求抛物线所对应的函数关系式（友情提醒：20 请画图思考） 题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等）题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等） 例 1已知：二次函数的图象与 x 轴交于不同的两点 A（，0） 、B（，
16、0） 2 y4xxm 1 x 2 x （） ，其顶点是点 C，对称轴与 x 轴的交于点 D 1 x 2 x （1）求实数 m 的取值范围； （2）如果（+1） （+1）=8，求二次函数的解析式； 1 x 2 x （3）把（2）中所得的二次函数的图象沿 y 轴上下平移，如果平移后的函数图象与 x 轴交于点、 1 A ，顶点为点 C1，且是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式 1 B 111 ABC 综合提升综合提升 1已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），且| AB|2 ，图象 3 的对称轴为x1 A Ox y 8 （1）求二次函数的表达式； （2）若二次函数的图象都在直线yxm的下方，求m的取值范围 2已知二次函数y x 2mxm2 （1）若该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB ，求m的值； 5 （2）设该二次函数图象与y轴的交点为C，二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、
