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1、新数学数列高考复习知识点 一、选择题 1周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、 春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立 春、春分日影长之和为31.5 尺，前九个节气日影长之和为85.5 尺，则小满日影长为（） A1.5 尺B2.5 尺C3.5 尺D4.5 尺 【答案】 C 【解析】 【分析】 结合题意将其转化为数列问题,并利用等差数列通项公式和前n 项和公式列方程组,求出首项 和公差 ,由此能求出结果. 【详解】 解:从冬至日起 ,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒 种这十二个节气其日影长
2、依次成等差数列 n a,冬至、立春、春分日影长之和为31.5 尺 ,前 九个节气日影长之和为85.5 尺 , 111 91 3631.5 9 8 985.5 2 aadad Sad , 解得 1 13.5a ,1d, 小满日影长为 11 13.510( 1)3.5a （尺） . 故选 C. 【点睛】 本题考查等差数列的前n 项和公式 ,以及等差数列通项公式的运算等基础知识,掌握各公式并 能熟练运用公式求解,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于基础题 . 2将正整数20 分解成两个正整数的乘积有120，2 10，4 5三种，其中4 5是这三 种分解中两数差的绝对值最小的，我们称4 5为 2
3、0 的最佳分解 .当p q（p q且 * ,p qN）是正整数 n的最佳分解时我们定义函数( )f nqp，则数列 5 n f * nN的前 2020 项的和为（） A 1010 51 B 1010 51 4 C 1010 51 2 D 1010 51 【答案】 D 【解析】 【分析】 首先利用信息的应用求出关系式的结果，进一步利用求和公式的应用求出结果 【详解】 解：依题意，当n为偶数时， 22 (5 )550 nn n f ； 当n为奇数时， 111 222 (5 )5545 nnn n f ， 所以 011009 20204(555)S， 1010 51 4 51 g， 1010 5 1
4、 故选： D 【点睛】 本题考查的知识要点：信息题的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转 换能力及思维能力，属于中档题 3元代数学家朱世杰在算学启蒙中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（ 1秤15 斤，1斤 16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银 一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一 半若银的数量不变，按此法将银依次分给7 个人，则得银最少的一个人得银（） A9两B 266 127 两C 266 63 两D 250 127 两 【答案】 B 【解析】 【分析】 先计算出银的质量为266两，设分银最少的为a两，
5、由题意可知7人的分银量构成首项为 a，公比为 2的等比数列，利用等比数列的求和公式可求得 a的值 . 【详解】 共有银16 16 10266两， 设分银最少的为a两，则 7 人的分银量构成首项为a，公比为2 的等比数列， 故有 7 12 266 12 a ，所以 266 127 a， 故选： B 【点睛】 本题以元代数学家朱世杰在算学启蒙中提出的问题为背景，贴近生活，考查了等比数 列的求和问题，本题注重考查考生的阅读理解能力、提取信息能力、数学建模能力以及通 过计算解决问题的能力，属中等题 4已知数列n a 的前 n项和为 n S，若 2 nn San，则 9 S（） A993 B766 C1
6、013 D885 【答案】 C 【解析】 【分析】 计算 11a，1121nnaa，得到 21 n n a ，代入计算得到答案. 【详解】 当1n时， 1 1a； 当2n时， 11 21 nnnn aSSa， 1121nnaa， 所以1 n a是首项为2，公比为 2 的等比数列，即21 n n a， 1 222 n nn Sann， 10 9 2111013S 故选：C. 【点睛】 本题考查了构造法求通项公式，数列求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用. 5已知数列na的通项公式是 221 sin 2 n n an，则 12312 aaaa（） A0 B55 C66 D78 【答案】 D
7、 【解析】 【分析】 先分n为奇数和偶数两种情况计算出 21 sin 2 n 的值，可进一步得到数列 n a 的通项 公式，然后代入 12312 aaaa转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果. 【详解】 解：由题意得，当n为奇数时， 213 sinsinsinsin1 2222 n n， 当n为偶数时， 21 sinsinsin1 222 n n 所以当n为奇数时， 2 n an ；当 n为偶数时， 2 n an ， 所以 12312 aaaa 222222 12341112 222222 (21 )(43 )(1211 ) (21)(21)(43)(43)(12 11)(1211) 1
8、23411 12 121+12 2 （） 78 故选： D 【点睛】 此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差 数列的求和公式，属于中档题. 6已知数列 n a满足 1 2 nn aa，且 134 ,a a a成等比数列 .若 n a的前 n 项和为 n S，则 n S的最小值为（） A 10B 14 C 18D 20 【答案】 D 【解析】 【分析】 利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得 n S，再利用二次函数的性质，可得当 4n或5时，n S取到最小值 . 【详解】 根据题意，可知 n a为等差数列，公差 2d， 由 134 ,a a a成等比
9、数列，可得 2 314 aa a ， 111 2 ()4(6)aa a，解得 1 8a. 22 (1)981 829() 224 n n n Snnnn. 根据单调性，可知当4n或5时， n S取到最小值，最小值为20. 故选： D. 【点睛】 本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前n项和的最值，考查函数与方程 思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当4n或5时 同时取到最值 . 7数列n a 的通项公式为n anc nN 则 “2c” 是 “ n a 为递增数列 ” 的（） 条件 A必要而不充分B充要C充分而不必要D即不充分也不必要 【答案】 A 【解析
10、】 【分析】 根据递增数列的特点可知 1 0 nn aa，解得 1 2 cn，由此得到若 n a 是递增数列，则 3 2 c，根据推出关系可确定结果. 【详解】 若“ n a 是递增数列 ” ，则 1 10 nn aancnc， 即 22 1ncnc，化简得： 1 2 cn， 又 nN ， 13 22 n， 3 2 c， 则2c? n a是递增数列， n a是递增数列2c， “2c” 是“n a 为递增数列 ” 的必要不充分条件 故选： A. 【点睛】 本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础 题. 8若 n a为等差数列， n S是其前n项和，且 11
11、22 3 S，则 6 tan()a的值为（） A 3 B 3 C 3 3 D 3 3 【答案】 B 【解析】 【分析】 由 1116 2aaa,即可求出 6 a进而求出答案 【详解】 111 116 1122 11 23 aa Sa，6 2 3 a，6 2 tantan3 3 a， 故选 B. 【点睛】 本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质以及等差数列前 n项和性质即可，属 于基础题型 . 9已知数列na为等比数列， n S是它的前n项和，若 231 2aaa，且 4 a与72a的等差 中项为 5 4 ，则 5 S（） A 35B33C 31D29 【答案】 C 【解析】 试题分析：
12、由题意得，设等比数列的公比为q，则 2 23111 2a aa q a qa ，所以42a， 又 3 4744 5 222 4 aaaa q，解得 1 1 ,16 2 qa，所以 5 5 1 5 1 16(1 ( ) ) (1) 2 31 1 1 1 2 aq S q ，故选 C 考点：等比数列的通项公式及性质 10设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 15 0S， 16 0S，则 n S取最大值时n的值为 （） A6B 7C8D13 【答案】 C 【解析】 【分析】 根据题意推导出数列 n a为单调递减数列，且当8n时，0 n a，当9n时，0 n a， 由此可得出结果. 【详解】 1
13、15 158 15 150 2 aa SaQ， 116 1689 16 80 2 aa Saa，8 0a ， 9 0a， 所以，等差数列 n a的公差 98 0daa，则数列 n a为单调递减数列. 当8n时， 0 n a，当9n时， 0 n a， 因此，当8n时， n S取最大值 . 故选：C. 【点睛】 本题考查利用等差数列前n项和的最值求对应的n的值，主要分析出数列的单调性，考查 分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 11已知数列n a 的前 n 项和 2* 23 n Snn nN ，则n a 的通项公式为（） A21 n anB21 n anC41 n anD41 n an 【答案】
14、 C 【解析】 【分析】 首先根据 2 23 n Snn求出首项 1 a的值，然后利用 1nnn aSS 求出2n时n a的表达 式，然后验证 1 a的值是否适合，最后写出 n a的式子即可 . 【详解】 因为 2 23 n Snn， 所以，当2n时， 22 1 232(1)3(1)41 nnn aSSnnnnn ， 当1n时， 11 235aS ，上式也成立， 所以 41 n an ， 故选 C. 【点睛】 该题考查的是有关数列的通项公式的求解问题涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即 1 1 ,1 ,2 n nn S n a SSn ，算出之后再判断1n时对应的式子是否成立，最后求得结果.
15、 12已知 n a是单调递增的等比数列，满足 3526 16,17aaaa，则数列 n a的前n 项和 n S A 1 2 2 n B 1 2 2 n C 1 1 2 2 n D 1 1 2 2 n 【答案】 D 【解析】 【分析】 由等比数列的性质和韦达定理可得 26 aa， 为方程 2 17160 xx的实根，解方程可得 q 和 a1，代入求和公式计算可得 【详解】 352616,17aaaa ， 由等比数列的性质可得 2626 1617aaaa， 26 aa， 为方程 2 17160 xx 的实根 解方程可得 2626 116161aaaa，或， 等比数列 an单调递增， 26 116a
16、a， 1 1 2 2 qa， 1 1 12 1 2 2 122 n n n S 故选 D 【点睛】 本题考查等比数列的求和公式，涉及等比数列的性质和一元二次方程的解法，属中档题 13已知 n a 是公差d不为零的等差数列，其前 n项和为 n S ，若348 ,aaa 成等比数列， 则 A 14 0,0a ddSB 14 0,0a ddS C 14 0,0a ddSD 14 0,0a ddS 【答案】 B 【解析】 等差数列，成等比数列， ， ，故 选B. 考点： 1.等差数列的通项公式及其前项和； 2.等比数列的概念 14在递减等差数列 n a 中， 2 132 4a aa 若 113a，则数列 1 1 nn a a 的前n项和的最 大值为 ( ) A 24 143 B 1 143 C 24 13 D 6 13 【答案】 D 【解析】 设公差为 ,0d d ，所以由 2 132 4a aa ，1 13a ，得 2 13(132 )(13)42ddd（正舍），即132(1)152 n ann， 因为 1 11111 ()
