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1、连续系统的振动,2020年10月14日,振动力学,2,教学内容,多自由度系统的振动,2020年10月14日,振动力学,3,连续系统的振动,4.3 薄板的振动 在工程结构中，除梁、柱基本构件外，还经常会遇到一种板的基本构件。在本节中将简单介绍薄板的振动问题。 薄板是指其厚度要比长、宽这两方面的尺寸小得多板，薄板在上下表面之间存在着一对称平面，此平面称为中面，且假定： （1）板的材料由各向同性弹性材料组成； （2）振动时薄板的挠度要比它的厚度要小； （3）自由面上的应力为零； （4）原来与中面正交的横截面在变形后始终保持正交，即薄板在变形前中面的法线在变形后仍为中面的法线。,2020年10月14日
2、,4,连续系统的振动,4.3.1 矩形薄板的横向振动 1.振动微分方程 为了建立应力、应变和位移之间的关系，现取一空间直角坐标系Oxyz，且坐标原点及xOy坐标面皆放在板变形前的中面位置上，如图4.27所示。设板上任意一点a的位置，将由变形前的坐标 x、y、z来确定。,2020年10月14日,5,连续系统的振动,根据假定（2），板的横向变形和面内变形u、v是相互独立的。为此，其弯曲变形可由中面上各点的横向位移w(x,y,t)所决定。 根据假定（3），可认为处处为零。 根据假定（4），剪切应变分量 不难看出，板上任意一点a(x,y,z)沿x,y,z三个方向的位移分量u,v,w分别为,2020年1
3、0月14日,振动力学,6,连续系统的振动,根据弹性力学中应变与位移的几何关系可以求出各点的三个主要是应变分量为,2020年10月14日,振动力学,7,连续系统的振动,再根据胡克定律，从而获得相对应的三个主要应力分量为： 现画薄板微元的受力图如图4.28所示。,2020年10月14日,振动力学,8,连续系统的振动,图4.28中Mx、 Mxy和 Qx、My、Myx和Qy分别为OB面、OC面上所受到的单位长度的弯矩、扭矩和横切剪力。弯矩和扭矩都用沿其轴的双剪头表示。Mx、My是由正应力x、 x引起的合力矩。扭矩是由剪切力xy引起的合力矩。 p(x,y,t)=P(x,y)f(t)为具有变量分离形式的外
4、载荷集度，沿z轴方向。应用动静法计算时，沿z轴负方向有一虚加惯性力 ，则有,2020年10月14日,振动力学,9,连续系统的振动,整理后，可得,2020年10月14日,振动力学,10,连续系统的振动,整理后，可得,2020年10月14日,振动力学,11,连续系统的振动,整理后，可得 将式（4.92）、式（4.93）代入式（4.91）得 因,2020年10月14日,振动力学,12,连续系统的振动,将式（4.90）代入式（4.95），积分后得 再将式（4.96）代入式（4.94），即可得到薄板微元的运动微分方程为,2020年10月14日,振动力学,13,连续系统的振动,这是一个四阶的线性非齐次的偏
5、微分方程。 2. 矩形板横向振动微分方程的解 矩形板的横向自由振动的微分方程为 此方称同样可应用分离法来求解，设解为,2020年10月14日,振动力学,14,连续系统的振动,将式（4.99）代入式（4.98）可得 式中 再根据板的边界条件来求解固有频率。注意到对于一般边界条件来说精确解是难于找到的。 为了寻求一个封闭解，现考察在什么条件下，式（4.100）可用分离变量法来求解。,2020年10月14日,振动力学,15,连续系统的振动,令 将上式代入式（4.100）中，可得 （4.102） 上式可改写为,2020年10月14日,振动力学,16,连续系统的振动,现讨论式（4.103a）中，首先要满
6、足边界条件，设 根据上两式，有 则-4=4，故有,2020年10月14日,振动力学,17,连续系统的振动,将上两式代入式（4.103a）中，可写为 即有 于是变量得到了分离，要满足式（4.105）的三角函数为,2020年10月14日,振动力学,18,连续系统的振动,类似地也可得出另一个平行的能使分离变量的条件为 现设x方向板的长度为a，y方向板的长度为b，且当x=0和x=a边为简支，则满足此边界的条件=m/，故式(4.107)可写为,2020年10月14日,振动力学,19,连续系统的振动,令 代入式（4.100）有 即为 上式的解为 （4.110）,2020年10月14日,振动力学,20,连续
7、系统的振动,式中 再由y=0及y=b的边界条件，由式（4.110）可求得Cim(i=1,2,34) 的齐次方程组，再令其系数行列式为零，可得到固有频率方程式，从而求出固有频率。,2020年10月14日,振动力学,21,连续系统的振动,【例4.6】求解四边简支矩形薄板的自由振动 【解】本题边界条件为 设 则满足边界条件。将上式代入方程（4.100），得,2020年10月14日,振动力学,22,连续系统的振动,将上式两边乘以 ，并对整个面积进行积分 ，并考虑 ，则得固有频率为 因此可得，四边简支矩形薄板在自由振动时的挠度函数为,2020年10月14日,振动力学,23,连续系统的振动,2020年10月14日,振动力学,24,
