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1、1,第六章 简单的超静定问题,2,6-1 超静定问题及其解法,. 关于超静定问题的概述,第六章 简单的超静定问题,(a),(b),3,图a所示静定杆系为减小杆1 ,2中的内力或节点A的位移(如图b)而增加了杆3。此时有三个未知内力FN1 ,FN2 ,FN3，但只有二个独立的平衡方程 一次超静定问题。,第六章 简单的超静定问题,4,图a所示简支梁为减小内力和位移而如图b增加了中间支座C成为连续梁。此时有四个未知约束力FAx, FA, FB, FC，但只有三个独立的静力平衡方程 一次超静定问题。,超静定问题(statically indeterminate problem)：单凭静力平衡方程不能求
2、解约束力或构件内力的问题。,第六章 简单的超静定问题,5,. 解超静定问题的基本思路,例1,超静定结构(statically indeterminate structure),解除“多余”约束,基本静定系(primary statically determinate system),(例如杆3与接点A的连接),第六章 简单的超静定问题,6,在基本静定系上加上原有荷载及“多余”未知力,并使“多余”约束处满足变形(位移)相容条件,相当系统 (equivalent system),第六章 简单的超静定问题,7,于是可求出多余未知力FN3 。,由位移相容条件 ，利用物理关系(位移或变形计算公式)可得补
3、充方程：,第六章 简单的超静定问题,8,补充方程为,于是可求出多余未知力FC。,第六章 简单的超静定问题,例2,9,. 注意事项,(1) 超静定次数=“多余”约束数=“多余”未知力=位移相容条件数=补充方程数，因而任何超静定问题都是可以求解的。,(2) 求出“多余”未知力后，超静定结构的内力和位移等均可利用相当系统进行计算。,(3) 无论怎样选择“多余”约束，只要相当系统的受力情况和约束条件确实与原超静定系统相同，则所得最终结果是一样的。,第六章 简单的超静定问题,10,(4) “多余”约束的选择虽然是任意的，但应以计算方便为原则。,如上所示连续梁若取B处铰支座为“多余”约束，则求解比较复杂。
4、,第六章 简单的超静定问题,11,6-2 拉压超静定问题,. 拉压超静定基本问题,例题6-1 求图a所示等直杆AB上,下端的约束力，并求C截面的位移。杆的拉压刚度为EA。,解: 1. 有两个未知约束力FA , FB(见图a)，但只有一个独立的平衡方程 FA+FB-F=0 故为一次超静定问题。,第六章 简单的超静定问题,12,2. 取固定端B为“多余”约束。相应的相当系统如图b，它应满足相容条件BF+BB=0，参见图c，d。,第六章 简单的超静定问题,3. 补充方程为,由此求得,所得FB为正值，表示FB的指向与假设的指向相符，即向上。,13,得 FA=F-Fa/l=Fb/l。,5. 利用相当系统
5、(如图)求得,4. 由平衡方程 FA+FB-F=0,第六章 简单的超静定问题,14,例题 求图a所示结构中杆1, 2, 3的内力FN1 , FN2 , FN3。杆AB为刚性杆，杆1, 2 , 3的拉压刚度均为EA。,第六章 简单的超静定问题,15,解：1. 共有五个未知力，如图b所示，但只有三个独立的静力平衡方程，故为二次超静定问题。,2. 取杆1与结点C处的连接以及杆2与结点D处的连接为多余约束，得基本静定系如图c。,第六章 简单的超静定问题,16,3. 相当系统应满足的变形相容条件如图d所示为,F,(d),第六章 简单的超静定问题,4. 根据相容条件，利用物理方程得补充方程：,即 FN1=
6、2FN3, FN2=2FN1=4FN3,17,5. 将上述二个补充方程与由平衡条件MA=0所得平衡方程,联立求解得,第六章 简单的超静定问题,FN1=2FN3, FN2=2FN1=4FN3,18,. 装配应力和温度应力,(1) 装配应力,超静定杆系(结构)由于存在“多余”约束，因此如果各杆件在制造时长度不相匹配，则组装后各杆中将产生附加内力装配内力，以及相应的装配应力。,第六章 简单的超静定问题,19,图a中所示杆系(E1A1=E2A2)中杆3的长度较应有长度短了De，装配后各杆的位置将如图中虚线所示。此时，杆3在结点 A 处受到装配力FN3作用(图b)，而杆1,2在汇交点A 处共同承受与杆3
7、相同的装配力FN3作用(图b)。,第六章 简单的超静定问题,(a),(b),20,求算FN3需利用位移(变形)相容条件(图a),列出补充方程,由此可得装配力FN3，亦即杆3中的装配内力为,第六章 简单的超静定问题,(拉力）,(a),21,至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内力(轴力)除以杆的横截面面积即得。,由此可见，计算超静定杆系(结构)中的装配力和装配应力的关键,仍在于根据位移(变形)相容条件并利用物理关系列出补充方程。,而杆1和杆2中的装配内力利用图b中右侧的图可知为,第六章 简单的超静定问题,22,例题6-3 两端用刚性块连接在一起的两根相同的钢杆1, 2(图a)，其长度l =200
8、 mm，直径d =10 mm。试求将长度为200.11 mm，亦即De=0.11 mm的铜杆3(图b)装配在与杆1和杆2对称的位置后(图c)各杆横截面上的应力。已知：铜杆3的横截面为20 mm30 mm的矩形，钢的弹性模量E=210 GPa，铜的弹性模量E3=100 GPa。,第六章 简单的超静定问题,23,解：1. 如图d所示有三个未知的装配内力FN1, FN2 , FN3，但对于平行力系却只有二个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。也许有人认为，根据对称关系可判明FN1=FN2，故未知内力只有二个，但要注意此时就只能利用一个独立的静力平衡方程：,所以这仍然是一次超静定问题。,第六章 简单的
9、超静定问题,(d),24,2. 变形相容条件(图c)为,这里的Dl3是指杆3在装配后的缩短值，不带负号。,3. 利用物理关系得补充方程：,第六章 简单的超静定问题,25,4. 将补充方程与平衡方程联立求解得：,所得结果为正，说明原先假定杆1,2的装配内力为拉力和杆3的装配内力为压力是正确的。,5. 各杆横截面上的装配应力如下：,第六章 简单的超静定问题,（拉应力）,（压应力）,26,(2) 温度应力,也是由于超静定杆系存在“多余”约束，杆件会因温度变化产生的变形受到限制而产生温度内力及温度应力。铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩，其横截面上会产生相当可观的温度应力。,第六章 简
10、单的超静定问题,27,例题6-4 试求两端与刚性支承连接的等截面杆(图a)当温度升高Dt 时横截面上的温度应力。杆的横截面面积为A，材料的弹性模量为E，线膨胀系数为l。,第六章 简单的超静定问题,(a),28,解: 1. 由平衡方程只能知道杆两端的轴向支约束力数值相等而指向相反，但不能给出约束力的值，可见这是一次超静定问题。,2. 以刚性支撑B为“多余”约束后的基本静定系由于温度升高产生的伸长变形Dlt和“多余”未知力FN产生的缩短变形DlF分别如图所示。,第六章 简单的超静定问题,29,3. 变形相容条件为,4. 补充方程为,5. 由此得多余未知力,6. 杆的横截面上的温度应力为,30,若该
11、杆为钢杆而l =1.210-5/(C)，E=210GPa，则当温度升高Dt =40时有,第六章 简单的超静定问题,（压应力）,31,6-3 扭转超静定问题,例题6-5 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受扭转力偶矩Me作用，如图a。已知杆的扭转刚度为GIp。试求杆两端的约束力偶矩以及C截面的扭转角。,第六章 简单的超静定问题,32,解: 1. 有二个未知约束力偶矩MA, MB，但只有一个独立的静力平衡方程,故为一次超静定问题。,第六章 简单的超静定问题,33,2. 以固定端B为“多余”约束，约束力偶矩MB为“多余”未知力。在解除“多余”约束后基本静定系上加上荷载Me和“多余”未知力偶矩MB
12、，如图b；它应满足的位移相容条件为,注：这里指的是两个扭转角的绝对值相等。,第六章 简单的超静定问题,34,另一约束力偶矩MA可由平衡方程求得为,3. 根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：,由此求得“多余”未知力，亦即约束力偶矩MB为,第六章 简单的超静定问题,35,4. 杆的AC段横截面上的扭矩为,第六章 简单的超静定问题,从而有,36,例题6-6 由半径为a的铜杆和外半径为b的钢管经紧配合而成的组合杆，受扭转力偶矩Me作用，如图a。试求铜杆和钢管横截面上的扭矩Ta和Tb，并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。,第六章 简单的超静定问题,(a),37,解: 1. 铜杆和钢管的横截面上
13、各有一个未知内力矩 扭矩Ta和Tb(图b)，但只有一个独立的静力平衡方程Ta+Tb= Me，故为一次超静定问题。,第六章 简单的超静定问题,2. 位移相容条件为,38,3. 利用物理关系得补充方程为,4. 联立求解补充方程和平衡方程得：,第六章 简单的超静定问题,39,第六章 简单的超静定问题,5. 铜杆横截面上任意点的切应力为,钢管横截面上任意点的切应力为,40,上图示出了铜杆和钢管横截面上切应力沿半径的变化情况。需要注意的是，由于铜的切变模量Ga小于钢的切变模量Gb，故铜杆和钢管在r = a处切应力并不相等，两者之比就等于两种材料的切变模量之比。这一结果与铜杆和钢管由于紧配合而在交界处切向
14、的切应变应该相同是一致的。,第六章 简单的超静定问题,41,6-4 简单超静定梁,.超静定梁的解法,第六章 简单的超静定问题,解超静定梁的基本思路与解拉压超静定问题相同。求解图a所示一次超静定梁时可以铰支座B为“多余”约束，以约束力FB为“多余”未知力。解除“多余”约束后的基本静定系为A端固定的悬臂梁。,基本静定系,42,基本静定系在原有均布荷载q和“多余”未知力FB作用下(图b)当满足位移相容条件(参见图c,d) 时该系统即为原超静定梁的相当系统。,若该梁为等截面梁，根据位移相容条件利用物理关系(参见教材中的附录)所得的补充方程为,第六章 简单的超静定问题,43,从而解得“多余”未知力,第六
15、章 简单的超静定问题,所得FB为正值表示原来假设的指向(向上)正确。固定端的两个约束力利用相当系统由静力平衡条件求得为,44,该超静定梁的剪力图和弯矩图亦可利用相当系统求得，如图所示。,思考 1. 该梁的反弯点(弯矩变换正负号的点)距梁的左端的距离为多少？,2. 该超静定梁可否取简支梁为基本静定系求解？如何求解？,第六章 简单的超静定问题,45,例题6-7 试求图a所示系统中钢杆AD内的拉力FN。钢梁和钢杆的材料相同，弹性模量E已知；钢杆的横截面积A和钢梁横截面对中性轴的惯性矩I 亦为已知。,第六章 简单的超静定问题,46,解: 1. 该系统共有三个未知力(图b)FN ,FB ,FC ，但平面
16、平行力系仅有两个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。,2. 取杆和梁在点A处的连接铰为“多余”约束，相应的“多 余”未知力为FN。位移(变形)相容条件(参见图b)为wA=DlDA。,第六章 简单的超静定问题,47,3. 物理关系(参见图c,d)为,需要注意，因DlDA亦即图b中的 是向下的，故上式中wAF为负的。,第六章 简单的超静定问题,48,4. 于是根据位移(变形)相容条件得补充方程：,由此求得,第六章 简单的超静定问题,49,例题6-8 试求图a所示等截面连续梁的约束力FA , FB , FC，并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯曲刚度EI=5106 Nm2。,第六章 简单的超静定问题,50,解: 1. 两端铰支的连续梁其超静定次数就等于中间支座的数目。此梁为一次超静定梁。,第六章 简单的超静定问题,51,2. 为便于求解，对于连续梁常取中间支座截面处阻止左,右两侧梁相对转动的内部角约束为“多余”约束，从而以梁的中间支座截面上的弯矩作为“多余”未知力，如图b。,第六章 简单的超静定问题,此时基本静定系为两跨相邻的简支梁，它们除承
