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1、2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和,1记住等比数列的前n项和公式,能够利用公式求等比数列的前n项和 2掌握前n项和公式的推导方法,1在等比数列an中,若公比q1,则其前n项和Sn_. 答案:na1 2在等比数列an中,若公比q1,则其前n项和Sn_.,自学导引,1等比数列的前n项和公式与函数有哪些关系?,自主探究,当公比q1时,因为a10,所以Snna1,是n的正比例函数(常数项为0的一次函数) (2)当q1时,数列S1,S2,S3,Sn,的图象是函数yAqxA图象上的一群孤立的点当q1时,数列S1,S2,S3,Sn,的图象是正比例函数ya1x图象上的一群孤立的点 2数列
2、a,a2,a3,an,一定是等比数列吗? 答案:不一定,例如当a0时,数列就不是等比数列,1等比数列1,a,a2,a3,的前n项和为(),预习测评,【解析】要考虑到公比为1的情况,此时Snn. 答案:D,2数列2n1的前99项和为() A21001 B12100 C2991 D1299,答案:C,3若等比数列an的前3项的和为13,首项为1,则其公比为_,答案:3或4,答案:1,1等比数列前n项和公式的推导 设等比数列a1,a2,a3,an,它的前n项和是Sna1a2an. 由等比数列的通项公式可将Sn写成 Sna1a1qa1q2a1qn1. 式两边同乘以q得, qSna1qa1q2a1q3a
3、1qn. ,得(1q)Sna1a1qn,由此得q1时,,要点阐释,当q1时,Snna1. 以上的推导方法叫做“错位相减法”这是中学数学里比较重要的一种求和方法,要多用心体会,特别提示:(1)等比数列的前n项和的公式及通项公式涉及五个量:a1,q,n,an,Sn,只要知道其中任意三个量,都可以通过建立方程(组)等手段求出其余两个量,俗称“知三求二” (2)在应用公式求和时,应注意到公式的使用条件为q1,当q1时应按常数列求和,即Snna1.在解含字母参数的等比数列求和问题时,应分别讨论q1与q1两种情况,2等比数列的判定方法 (1)an1anq(an0,q是不为0的常数,nN*)an为等比数列
4、(2)ancqn(c,q均是不为0的常数,nN*)an是等比数列 (3) anan2(anan1an20,nN*)an是等比数列,题型一等比数列前n项和公式的基本运算,典例剖析,【例1】 在等比数列an中, (1)S230,S3155,求Sn; (3)a1an66,a2an1128,Sn126,求q.,方法点评:(1)这是一类基础题,要熟练应用等比数列的通项公式及前n项和公式,运用方程的思想,解决两个最基本的量:首项a1和公比q.在等比数列的求和问题中,经常使用整体代换的思想 (2)在使用等比数列的前n项和公式时,要注意讨论公比q1和q1两种情况,若本例(1)中的条件不变,如何求an的通项公式
5、?,题型二错位相减法求和,2求和:Snx2x23x3nxn(x0),(2)当x1时,Snx2x23x3nxn, xSnx22x33x4(n1)xnnxn1, (1x)Snxx2x3xnnxn1,题型三判断等比数列,【例3】 已知数列an的前n项和Sna2n1(a0,1;nN*),试判断an是否为等比数列,为什么? 解:an是等比数列,理由如下: a1S1a21,当n2时, anSnSn1(a2n1)(a2n21) (a21)a2n2, 此时,n1时,a1a21.,数列an的通项公式为an(a21)a2n2(nN*) 即数列an是首项为a21,公比为a2的等比数列 方法点评:将已知条件Sna2n
6、1与anSnSn1结合起来 ,得到n2时的通项公式an(a21)a2n2,特别注意的是,n1时即a1a21能否统一到an(a21)a2n2中去,如果能统一起来,则数列an为等比数列,否则数列an不是等比数列,(1)求a1,a2; (2)求证:数列an是等比数列,误区解密漏掉q1而导致错误 【例4】 在数列an中,ana2nan(a0)求an的前n项和Sn.,错因分析:等比数列求和,一定要注意公比是否等于1,否则将导致错误,课堂总结,2在等比数列中的五个量Sn,n,a1,q,an中,由前n项和公式结合通项公式,知道三个量便可求其余的两个量,同时还可以利用前n项和公式解与之有关的实际问题 3错位相减法是数列求和的重要方法,必须理解数列特征及掌握求和方法,