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1、基础模型 : ABC中, AD是 BC边中线 思路 1： 延长 AD到 E，使 DE=AD ，连接 BE 思路 2：间接倍长 ,延长 MD 到 N，使 DN=MD ，连接 CN 思路 3, 作 CFAD于 F，作 BE AD的延长线于E 1如图，在 ABC中，AC=5 ，中线 AD=7，则 AB边的取值范围是（） A1AB29 B4AB24 C5AB19 D9AB19 2如图， ABC中，AB=AC ，点 D 在 AB上，点 E在 AC的延长线上， DE交 BC于 F，且 DF=EF ， 求证： BD=CE D A BC E D A BC F E D CB A N D CB A M 3如图，在
2、 ABC中，AD 为中线，求证： AB+AC 2AD 4小明遇到这样一个问题，如图1，ABC中，AB=7，AC=5 ，点 D 为 BC的中点，求 AD 的取 值范围 小明发现老师讲过的 “ 倍长中线法 ” 可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线 延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的 做法是：如图 2，延长 AD 到 E，使 DE=AD ，连接 BE，构造 BED CAD ，经过推理和计算使 问题得到解决 请回答： （1）小明证明 BED CAD用到的判定定理是：（用字母表示） （2）AD的取值范围是 小明还发现：倍长中线法最重要的一点
3、就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图 3，在正方形 ABCD中，E为 AB边的中点，G、F分别为 AD，BC边上的点，若 AG=2 ，BF=4 ， GEF=90 ，求 GF的长 5已知：在 ABC中，AD 是 BC边上的中线， E是 AD上一点，且 BE=AC ，延长 BE交 AC于 F， 求证： AF=EF 6已知：如图， ABC （ABAC）中，D、E在 BC上，且 DE=EC ，过 D 作 DFBA交 AE于点 F， DF=AC 求证： AE平分BAC 7-10,换汤不换药 (多题一解 ) 7如图， D 是ABC的 BC边上一点且 CD=A
4、B ，BDA= BAD ，AE是ABD的中线 求证： C=BAE 8如图，已知 D是ABC的边 BC上的一点， CD=AB ，BDA= BAD ，AE是ABD的中线 （1）若 B=60 ，求 C的值； （2）求证： AD是EAC的平分线 9如图，已知： CD=AB ，BAD= BDA，AE是ABD的中线，求证： AC=2AE 10已知，如图， AB=AC=BE ，CD为ABC中 AB边上的中线，求证： CE=2CD 11已知：如图， ABC中， C=90 ，CMAB于 M，AT平分 BAC交 CM 于 D，交 BC于 T， 过 D作 DEAB交 BC于 E，求证： CT=BE 12如图，点O
5、为线段 MN 的中点， PQ与 MN 相交于点 O，且 PMNQ，可证 PMO QNO根据上述结论完成下列探究活动：如图，在四边形ABCD中，ABDC ，E为 BC边的中 点， BAE= EAF ，AF与 DC的延长线相交于点F试探究线段 AB与 AF、CF之间的数量关系， 并证明你的结论； (图 3 是原题的第 2 问) 13如图，在 ABC中，AD交 BC于点 D，点 E是 BC的中点， EF AD交 CA的延长线于点 F， 交 EF与于点 G若 BG=CF ，求证： AD为ABC的角平分线 14如图，已知在 ABC中， CAE= B，点 E是 CD的中点，若 AD平分 BAE （1）求证
6、： AC=BD ； （2）若 BD=3，AD=5，AE=x ，求 x 的取值范围 15已知在 ABC中，AD 是 BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角 三角形，如图，求证： EF=2AD 1.解：如图，延长 AD至 E，使 DE=AD ， AD是ABC的中线， BD=CD ， 在ABD和ECD中， ABD ECD （SAS ） ，AB=CE ， AD=7，AE=7 +7=14， 14+5=19，145=9，9CE 19， 2证明：如图，过点D作 DG AE，交 BC于点 G； 3证明： 4解： （1）如图 2 中，延长 AD到 E，使 DE=AD ，连接 BE 在BED
7、和CAD中， BED CAD（SAS ） （2） BED CAD ，BE=AC=5 ，AB=7，2AE12， 22AD12，1AD6 解决问题：如图3 中， 解：延长 GE交 CB的延长线于 M 四边形 ABCD是正方形， ADCM，AGE= M， 在AEG和BEM中， AEG BEM，GE=EM ，AG=BM=2 ， EF MG，FG=FM ， BF=4 ，MF=BF +BM=2+4=6，GF=FM=6 5证明：如图，延长AD到点 G，使得 AD=DG ，连接 BG AD是 BC边上的中线（已知），DC=DB ， 在ADC和GDB中，ADC GDB （SAS ） ， CAD= G，BG=AC
8、 又BE=AC ，BE=BG ， BED= G， BED= AEF ， AEF= CAD ， 即： AEF= FAE ，AF=EF 6证明：如图，延长FE到 G，使 EG=EF ，连接 CG 在 DEF和CEG中， ， DEF CEG DF=GC ， DFE= G DFAB，DFE= BAE DF=AC ，GC=AC G=CAE BAE= CAE 即 AE平分 BAC 7证明：延长 AE到 F，使 EF=AE ，连接 DF，AE是ABD的中线 BE=ED ， 在ABE与FDE中 ， ABE FDE （SAS ） ，AB=DF ，BAE= EFD ， ADB是ADC的外角， DAC +ACD=
9、ADB= BAD， BAE +EAD= BAD ，BAE= EFD ， EFD +EAD= DAC +ACD ， ADF= ADC ， AB=DC ，DF=DC ， 在ADF与ADC中 ， ADF ADC （SAS ） C= AFD= BAE 8 （1）解： B=60 ，BDA=BAD ， BAD= BDA=60 ，AB=AD ， CD=AB ，CD=AD ， DAC= C， BDA= DAC +C=2C， BAD=60 ， C=30 ； （2）证明：延长 AE到 M，使 EM=AE ，连接 DM， 在ABE和MDE中， ABE MDE， B=MDE，AB=DM， ADC= B+BAD= MD
10、E+BDA= ADM， 在MAD 与CAD ， MADCAD ，MAD=CAD ， AD是EAC的平分线 9证明：延长 AE至 F，使 AE=EF ，连接 BF， 在ADE与BFE中， AED FEB ， BF=DA ，FBE= ADE， ABF= ABD+FBE ， ABF= ABD +ADB=ABD+BAD= ADC ， 在ABF与ADC中， ABF CDA ，AC=AF ， AF=2AE ，AC=2AE 10证明：取 AC的中点 F，连接 BF ； B为 AE的中点， BF为AEC的中位线， EC=2BF ； 在ABF与ACD中， ABF ACD （SAS ） ，CD=BF ，CE=2C
11、D 11证明：过 T作 TF AB于 F， AT平分 BAC ，ACB=90 ， CT=TF （角平分线上的点到角两边的距离相等） ， ACB=90 ，CMAB， ADM+DAM=90 ，ATC +CAT=90 ， AT平分 BAC ， DAM=CAT ， ADM=ATC ， CDT= CTD ，CD=CT ， 又CT=TF （已证） ，CD=TF ， CMAB，DEAB， CDE=90 ，B=DEC ， 在CDE和TFB中， CDE TFB （AAS ） ， CE=TB ，CE TE=TB TE ，即 CT=BE 12解： （1）AB=AF +CF 如图 2，分别延长 DC 、AE，交于 G
12、点， 根据图得 ABE GCE ，AB=CG ， 又 ABDC ， BAE= G 而BAE= EAF ， G=EAF ， AF=GF ， AB=CG=GF +CF=AF +CF ； 13解：延长 FE ，截取 EH=EG ，连接 CH ， E是 BC中点， BE=CE ， BEG= CEH ， 在BEG和CEH中， BEG CEH （SAS ） ， BGE= H， BGE= FGA= H，BG=CH ， CF=BG ，CH=CF ， F=H=FGA ， EF AD， F=CAD ，BAD= FGA ， CAD= BAD， AD平分 BAC 14 （1）证明：延长 AE到 F，使 EF=EA ，
13、连接 DF， 点 E是 CD的中点， EC=ED ， 在DEF与CEA中， DEF CEA ，AC=FD ， AFD= CAE ， CAE= B， AFD= B， AD平分 BAE ， BAD= FAD ， 在ABD与AFD中， ABD AFD ，BD=FD ，AC=BD ； （2）解：由（ 1）证得 ABDAFD ，DEF CEA ，AB=AF ， AE=x ，AF=2AE=2x ，AB=2x， BD=3，AD=5，在 ABD中，解得： 1x4， x 的取值范围是 1x4 15 证明：延长 AD至点 G，使得 AD=DG ，连接 BG ，CG ， AD=DG ，BD=CD ， 四边形 ABGC是平行四边形， AC=AF=BG ，AB=AE=CG ，BAC +ABG=180 ， EAF +BAC=180 ， EAF= ABG ， 在EAF和BAG中， ， EAF BAG（SAS ） ， EF=AG ， AG=2AD ， EF=2AD
